Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

.pdf

Скачиваний:

121

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 4137 38 39 40 41 > Следующая >>>

причем		І/і \| т	а ж = 2^(1,84) =		1,16.

В рассматриваемом приближении				всегда	\| / t \| < l , 1	6 ; большие	зна
чения	І І можно	получить,	рассматривая высшие гармоники в разло
жении	Ф по и0.	максимума	первой	гармоники тока		определяет	опти
Положение

мальную длину пространства дрейфа; соответствующее значение пере менной С равно

	max
£ 0 D i =	Г	, d B	(VII.29)
	о

иего можно найти путем численного интегрирования. Однако в случае

В< Bh, когда в пучке происходят нелинейные колебания, можно

общее решение уравнения				(VI 1.16)			в первом приближении				записать
в виде
			B = B1cosvt			+ B2sinv^,					(VII.30)
считая нелинейность силы Q малой. Частота v определяется											формулой
			1	С	Q(В2sinгр)sinipdip,						(VII.31)
			лВ2	о
				о
а в силу	начальных		условий		(VI 1.04)
			5 1 =	0,	B2		= K/V.				(VI 1.32)
Формулу		(VII.31) легко			вывести,			следуя	путем,	намеченным
в задаче 4 ко 2-й лекции; для					5 4	и Вг		получаем усредненные урав
нения
		=	—G(B1		cos vt,		+ B2	sin vQ sin v£,
		dt,
		dB	G {B1	cos v£ +			B% sin vQ cos v£,
			G(B) = vB				—
Полагая	B 4	равной	нулю, а		В 2		константе,		приходим	к	формуле
(VII.31).

Ограничимся для простоты кубичным членом в выражении для силы (VI 1.22)

Q(B) = B+4B*,	Y = Y 4 - f ^ '	( V I L 3 3 )
		( V I L 3 3 )

что можно сделать при В <		1 и		k ^ \ .	Формулы (VII.31)			и (VII.33)
дают
	v 2 = l + A T B \| = l + - ^ f .							(VII.34)
Решая	биквадратное уравнение		для частоты			v,	получаем	выражение
	v = j /	1 +	/ I + _ 3 Y X 2			_ > 1	)	;( VII.35>
определяющее нелинейную		зависимость			безразмерной			плазменной
частоты	от начальной модуляции			пучка. Отсюда
		£ o p «		= - f -				(VII.36)
и
		S m a x = — •						( V I L 3 7 )
				V

Мы видим, что с ростом амплитуды начальной модуляции электрон ного пучка оптимальная длина пространства дрейфа и соответствую

щее значение Втах уменьшаются, по крайней мере при В <	1.
Заметим, что мы дважды применяли прием, свойственный теории
нелинейных колебаний, а именно представляли функцию	т> в виде
(VI 1.06) и функцию В — в виде (VI 1.30).
Такие представления дают хорошую точность, если функции
действительно близки к гармоническим, однако и при значительном

отличии колебаний от гармонических интегральные величины (час тота колебаний, амплитуда и т.д.) определяются, как правило, удов летворительно.

	Перейдем теперь к лампе с бегущей волной. При учете синхрон
ной	волны на основной частоте		уравнение движения		принимает^вид
	д*и	=\F\cos(u~a)	+ f	(и = ы0 +	Ф),	(VII.38)
где	использовано	обозначение	(7.58). При	постоянных		значениях
\F\	и а уравнение	(VII.38) аналогично уравнению (VII.01),				но имеет

более сложную правую часть; это — уравнение одномерного движения частицы в некотором потенциальном поле, не зависящем от времени (см. 7-ю лекцию), для исследования этого движения применимы методы теории нелинейных колебаний. Если же \F \ и а зависят от £, то без размерная сила, обусловленная синхронной волной, также зависит от £. В обоих случаях представление Ф в виде (VII.06) является ра циональным, по крайней мере при умеренной модуляции пучка по плотности и току, когда электроны не собираются в слишком плотные сгустки.

Воспользуемся опять законами сохранения (при малых значе

ниях	параметра усиления	е),	учитывая только одну синхронную
волну	на основной частоте (п	=	1) и пренебрегая потерями в замедляю-

щей системе. Тогда соотношения (VI. 10), (VI.21) и (VI.31), являю щиеся прямыми следствиями уравнения движения (VI 1.38) и не опи рающиеся на уравнение возбуждения, принимают вид

д2и

- - R e ( F / * ) ,

К*

dl*

(VI 1.39)

а третье уравнение есть уравнение

(VII.11). Применяя приближенное

представление

(VII.06) для функции 0,

получаем

уравнения

d2®

(B)|F|cos (d — p —a),

(VI 1.40)

dt2

\ 2

+ 7 dt,

2 \

dl I

2J{ (B) \ F \ —

sin(t> — p—а)

+ 2 Л (B)\F

d ± _ _ « l ) c o s

(o_p-a)

(VII.41)

уравнение

(VI1.13),

которые

определяют

движение

электронов

в заданном

поле синхронной

волны; мы положили

о\ — о 2 .

Учитывая уравнения возбуждения (7.14) или (7.59) и начальные

условия

(VI .07),

можно

использовать

окончательные

законы со

хранения

(VI.14)

и (VI.29),

которые

вместо

соотношений (VII.40)

(VI 1.41)

дают соотношения

F\2 — \ ДІ	(VII.42)

							I	12 — I Л		(VI 1.43)
										(VI 1.43)
уже	в проинтегрированном				виде. Через ср обозначена величина
			ф	=	3		— P — a - f я,			(VII.44)
которая при J і (В) > 0 есть						разность фаз между			первой	гармоникой
тока	и синхронным		полем,		а при J І (В) < 0 отличается					от этой раз
ности на я . При Ji			(В) =	0 величина ф непрерывна, поскольку фаза
тока испытывает скачок на я							(см. 7-ю лекцию).
Переходя		от функции			а		к функции ф, мы		вместо	уравнений
{7.59)	получаем	уравнения
			d \| f \|			- ~2J1(B)cosq>,				(VII.45)
			dl
		dtp						F\ = 2J1(B)	sin ф,
		dl	dl		dl			F\ = 2J1(B)	sin ф,
							T	b

которые вместе с уравнениями (VII.42), (VII.43) и (VII.13) дают

систему пяти уравнений	для пяти функций ft, В, р,	\| F \| и ф. При этом
функции Н и р входят	в систему только в виде	производных — и

	dt,
которые, пользуясь уравнениями (VII.13) и (VII.42), легко выра
зить	через функции В и \| F \|. Таким путем мы приходим к системе
трех	нелинейных уравнений первого порядка для функций В, \| F\ и ф.

Эту систему уже приходится решать численно, причем объем вычис лительной работы оказывается неизмеримо меньшим, чем при реше нии исходных нелинейных уравнений, сформулированных в 7-й

лекции. Вместе с тем, получаемые численные результаты	близки;
это означает, что представление функции 11 в виде (VI 1.06)	является
правомерным.
Возможно ли дальнейшее понижение порядка полученной сис
темы нелинейных уравнений? В общем случае этого сделать	нельзя,

так как соответствующая система линейных уравнений имеет третий порядок и характеристическое уравнение (6.75) — кубическое. Од нако, как показано в задаче 10 к 6-й лекции, при большом параметре пространственного заряда о кубическое характеристическое уравне ние сводится к квадратному, поскольку экспоненциально нарастаю щая электронная волна возникает в результате взаимодействия синх ронной волны с медленной волной пространственного заряда. Поэ тому при сильном пространственном заряде можно получить систему нелинейных уравнений второго порядка, что позволяет рассмотреть поведение фазовых траекторий на плоскости. Соответствующее преоб

разование приводит к необходимости изменить	начальные условия
(для системы 2-го порядка только две функции	вначале можно зада

вать произвольно) и дает возможность при дополнительных ограни чениях получить аналитическое решение. Однако мы не будем здесь излагать нелинейную теорию, опирающуюся на систему второго порядка.

Метод, примененный в данном приложении, и метод усреднения, изложенный в 4-й лекции, имеют много общих черт: и там и здесь функция, определяющая движение, представляется в определенном виде [ср. формулы (4.07) и (VII.06)] и для параметров, входящих в это представление, получены уравнения — более простые, чем исходные уравнения движения. Если мы вместо формулы (VII.06)

возьмем полный ряд Фурье
О =Ъ (Q + 2 Вп (Q sin п [и0 + р „ (S)],	(VI 1.46)
л = 1

то каждый член ряда можно интерпретировать как некоторое колеба ние (или волну) в электронном потоке. При малых Вп эти колебания не взаимодействуют, при увеличении Вп появляется нелинейное взаи модействие между ними. Исходя из ряда (VI 1.46), можно путем чис ленного интегрирования уравнений для ft, Вп и рг е найти точное реше-

ниє исходных нелинейных уравнений. При этом оказывается, что прак тически точные результаты получаются, если в ряду (VI 1.46) взять. всего 3—4 гармоники.

	С П И С ОК ЛИТЕРАТУРЫ К П Р И Л О Ж Е Н И Ю V I I
1.	В. Т. О в ч а р о в,	В.	А. С о л н ц е в .	Упрощенные нелинейные	у р а в
	нения лампы с бегущей		волной. «Радиотехника и электроника», 1962,		т. 7,
	№ 11, стр. 1931 — 1940.
2.	В. Т. О в ч а р о в,	В.	А. С о л н ц е в - .	Применение упрощенных нелиней
	ных уравнений для расчета ламп типа О. «Радиотехника и электроника»,,
	1962, т. 7, № 12, стр. 2013—2023.
3.	В. А. С о л н ц е в.	Двухволновое приближение в нелинейной теории ЛБВ..

«Вопросы радиоэлектроники», сер. 1, Электроника, 1965, № 2, стр. 3—14.

4.В. А. С о л н ц е в. Упрощенная нелинейная теория ЛБВ и ЛОВ в двухволновом приближении. «Вопросы радиоэлектроники», сер. 1, Электроника, 1965, № 4, стр. 5—15, 16—29.

5.В. А. С о л н ц е в . Воздействие внешнего сигнала на ЛОВ при большом» параметре пространственного заряда. «Электронная техника», сер. 1. Элек троника СВЧ, 1966, № 9, стр. 30—42.

6.Г. Н. В а т с о н. Теория бесселевых функций. Изд-во иностранной лите

ратуры, 1949 (гл. X V I I ) .

7. Г. Г. М ч е д л и д з е, В. А. С о л н ц е в . Волновой метод решения не линейных уравнений Л Б В . «Радиотехника и электроника», 1972, т. 17, № Ш, стр. 2227—2230.

П р и л о ж е н и е VIII

КЛИСТРОН КАК ПРИМЕР РЕЗОНАНСНОГО АВТОГЕНЕРАТОРА

Во 2-й лекции был выведен целый ряд общих соотношений, относящихся к резонансным автогенераторам. В этом приложении мы конкретизируем эти соотношения применительно к клистронным гене раторам — двухрезонаторному и отражательному. Имея в виду, что нам нужно пояснить общую теорию на примерах, мы ограничимся рассмотрением клистронных генераторов в самом грубом приближе

нии, всего быстрее ведущем к поставленной цели.
В двухрезонаторном клистронном генераторе	практически оди

наковые резонаторы связаны друг с другом. Благодаря этой связи •собственные частоты резонаторов, как известно, расщепляются. Если через tor o обозначить комплексную собственную частоту изолирован ного резонатора, то система из двух связанных резонаторов будет

иметь собственные частоты
cor ± = c o r O ± A 0 r ,	(V1II.01)
где Асог — вещественная величина (положительная	или отрица

тельная), определяющая расщепление частоты под влиянием эле

ментов	связи,	не вносящих дополнительных потерь. Удобно через
сог + обозначать		частоту того собственного колебания, при котором
поля в	обоих	резонаторах синфазны, через сог_ — частоту противо

фазного колебания. Предполагается, что используемое колебание {синфазное или противофазное) связанной системы возбуждается •электронным пучком без заметной примеси других колебаний, в част ности мы считаем, что резонансные кривые синфазного и противо- •фазного колебаний практически не перекрываются.

Оба резонатора пронизываются прямолинейным электронным пучком, взаимодействующим с полем резонаторов в зазорах. Считая модуляцию электронов по скорости малой, можно пользоваться

уравнением движения
			— ~ - = Re {F (£) е-'(». + *)} +		§	(VII1.02)
в	безразмерной		форме (ср. начало	приложения	V I I ) . Здесь	§ — без
размерная сила			пространственного' заряда, а комплексная			функция
F	(£) определяет продольное электрическое поле в зазорах. Пренебре
гая		временем пролета электронов		через зазоры, можно представить
F	[І)	в виде
			F (£) = х [б (£) ±	е-'С. 6,(£—£„)],		(VI 11.03)

где х — положительная постоянная, пропорциональная амплитуде напряжения на первом зазоре, расположенном при £ = 0; второй зазор расположен при £ = £ 0 , и мгновенное напряжение на нем либо равно напряжению на первом зазоре, либо отличается от него знаком.

Множитель е- '£° = е—'нег°			обусловлен			тем,	что	мы	взяли	е = 1 ,
т. е. положили	£ =	hez,	и учитываем то обстоятельство, что продоль
ное электрическое поле			имеет согласно формуле					(7.12)	безразмерную
амплитуду F (£) e'7lez. Через				б (£) обозначена				одномерная		дельта-
функция, удовлетворяющая				соотношениям
б(£) = 0 при				j" б (£) d£ =			1 при A >		0.
Если
			—	= Л8 (£),
то
^Г(+0)-^Г(~0)				= А ,	у( + 0) =			у(~0).
dfe		ас,
Заметим, что уравнение (VIII.02) справедливо при малой моду
ляции электронов по скорости, т. е. при							1 и х «		1.
Поступающий в первый зазор электронный пучок не модулиро
ван, так что
		ф = 0, ~		= 0 при £ = — 0.					(VIII.04)
После прохождения		первого		зазора	мы имеем
	д = 0,		= — x c o s « 0			при £ =		+ 0 .	(VIII.05)
Эти начальные	условия		по существу		совпадают с условиями					(VII.04),.
в которых к	sinu0	заменено		на — х		cosu0 . Дальнейшее изменение
О зависит от сил пространственного заряда. Если последними										пренеб

речь (положить §s==0), т. е. рассматривать клистрон в баллистиче

ском	приближении, то	будем иметь
	г т = - х £ с о з ы 0 при 0 < £ < £ 0 ,			.((VI 11.06)
так	что по формуле (7.09) при п = 1 получим функцию
	/(£) = —	Г e , ( " ' _ x C c o s " * , r f u 0	= — 2/./1 (х£),	(VIII.07)
		о
определяющую первую		гармонику тока.
	Вычислим теперь амплитуду и частоту колебаний в резонаюрах,
для	чего обратимся к	балансу активных	и реактивных	мощностей,

366

рассмотренному во 2-й лекции. Из формулы (7.12) следует, что при интегрировании по первому зазору

		8(z)dz=-U0	= ^ x	= 2Uex,	(VIII.08)
так	что параметр	х связан с амплитудой		напряжения U0	формулой
		х = — Ї Ї 7 Г > 0	We<0)-		(VII1.09)
При	вычислении	комплексной амплитуды первой гармоники тока

в пучке надо учесть, что в клистронной задаче эффективный постоян ный ток пучка (см. начало 7-й лекции) следует отождествить с его полным током J е , поскольку переменное электрическое поле, дейст

вующее на электроны в зазорах,	практически постоянно по	сечению
пучка. Комплексную амплитуду	первой гармоники тока в зазоре,
отбирающем энергию у сгруппированного пучка, обозначим		(см. 2-ю
лекцию) через — / 0 е ' ф » ; мы имеем

-J0 е'ф. = JE I (Со) = - 2Ue JT Ко).

Комплексная амплитуда напряжения на том же зазоре согласно формуле (VIП.03) равна

поэтому активная и реактивная мощности пучка определяются выра жениями (2.65), в которых

Ф=

Фо +

£о

П Р И

знаке « + »,

(VIII. 10)

ф = ф0

-4- Со + я

при

знаке «—»,

причем в силу

отрицательности

J е

Фо = — у

П Р И

Л К о ) > 0 >

Ф0 =

при

А ( х С 0 ) < 0 ,

(VIII. 11)

У0

2[Ув У1 (хЄ0 )|.

Теперь, пользуясь первой формулой (2.65), нетрудно найти ак

тивную мощность пучка,

пользуясь

формулой

(2.59),—энергию

и амплитуду колебаний (в том числе U0).

Формула

(2.66) сразу

опре

деляет частоту

колебаний,

которая

также входит

выражение для

Со- Под сог =

(х>'г — t'co"r

этих

формулах нужно

понимать либо

сог+, либо сог_ в соответствии с формулой (VIII.01). Пучок будет

отда

вать резонаторной системе максимальную

активную

мощность Ре

при

соблюдении двух условий. Во-первых, абсолютная величина функции

Бесселя J І. (х£о) должна быть максимальной; обычно	берут
хС0 = 1,84, 2УХ Ко) = 1,16,	(VIII. 12)

367

поскольку при всех	других аргументах амплитуда тока	меньше.
Во-вторых, должно быть
cosq>=l,	£0 = 2 я ^ п ± і ) , n = 0, 1, 2,	(VIII.13)

причем значение п = 0 возможно, разумеется, только при знаке « + ».

Формула (VIII . 13) определяет оптимальные электронные	частоты
ai=2n(n±-)^-t	(VIII. 14)

соответствующие центрам зоны генерации; каждая зона определяется неравенством cos ср >• 0, при выполнении которого пучок способен поддерживать колебания в резонаторах. Характерное время Те сог ласно формулам (2.67) и (VIII . 10) равно

Те = -^- = -^-,		(VIII. 15)
dm	ve
т. е. действительно является временем пролета.
Мы видим, что при надлежащем	выборе переменных	движение

электронов в пучке, подвергнутом гармонической модуляции по скорости, определяется очень просто, в то время как при неудачном выборе переменных все кажется сложным (см. задачу 3 к 1-й лекции).

Пользуясь результатами приложения V I I , нетрудно рассмотреть установившиеся колебания в двухрезонаторном клистроне с учетом пространственного заряда. Предполагая, что пространственный заряд

настолько сильный, что зависимость Ф от						£ имеет колебательный ха
рактер (см. рис. VI 1.3), вместо			формулы (VIII.06) будем иметь
	0 =	— к — ^	cos и0		при 0 < I <		£0 ,	(VIII. 16)
		а
где	для достаточно	широкого	пучка
			< х = - ^ Н - ;					(VIII. 17)
				со
при	учете конечной	ширины	пучка		надо	полагать
		ст =	]	r ^	v ,			(VIII. 18)
					со
где	ТІ — коэффициент депрессии			на	1-й гармонике, а величина				v оп
ределяется формулой (VI 1.31). Формула						(VIII.07)	принимает		теперь
вид
		/ ( р = _ 2 / У Ц х - ^ ) ,						(VIII.19)

и вообще всюду, где раньше входило произведение х£, теперь входит более сложное выражение к -, при a£->- 0 переходящее в преж нее. Условия (VIII.12), определяющие максимум 1-й гармоники тока, соответственно изменяются, однако формулы (VIII.13) — (VIII.15), являющиеся для нас наиболее важными, остаются без изменений.

368

Изложим теперь баллистическую теорию отражательного кли строна и посмотрим, какой смысл имеют величины со,,' и Те для него. Если в промежутке между отражателем и зазором электростатиче ское поле можно считать однородным, а движение электронов — равноускоренным (ускорение направлено от отражателя к резона тору), то, считая зазор расположенным при г = 0, а отражатель — при z < 0 (рис. 2.3), можно представить координату г электрона как функцию времени в виде

z = v(t~t0)	+ f(t-tX,			(VIII.20)
где t0 — момент выхода электрона из		зазора	со скоростью
v = — ve(\ +	xcosu	0 ), н0 =	со^0.	(VIII.21)

Знаки определяются тем, что электроны проходят через зазор в на

правлении отрицательной оси z; малый параметр и >					0,	определяю
щий модуляцию потока по скорости, по-прежнему задается						формулами
(VII 1.08)	и (VIП.09). Момент		прихода электрона обратно в зазор
есть
	tj, = L — —	= t0	+ ^s-	(1 + х cos и0).		(VIII.22)
	w		w
Вместо	формулы (VI11.07)	мы	будем	иметь
	2Я
	/ = — Г е'««'du0 = 2UX(xS0)е'С,					(VIII.23)
где	о
где
		£ о = 2 ^ .				(VIII.24)
Формулы (VIII.10) и (VIII.11) остаются в силе и для					отражательного

клистрона, если под to понимать величину (VIII.24) и ограничиваться знаком « — » , т. е. второй формулой ( V I I I . 10); применение второй формулы диктуется тем, что электроны проходят через один и тот же

зазор	в противоположных		направлениях: в первый раз — в					направ
лении — z, во второй — в			направлении		-f- z. Соотношения			( V I I I . 12)
также	остаются	в силе. Оптимальные			электронные частоты равны
		© в ' = 2 я f	n —	( п	= 1 , 2 ,	...,).		(VIII.25)
а		V	4 J	2ve
а
			Te=*L	= ^				(VIII.26)
есть,	как видно	из формулы (VIII.22),			время	пролета	электронов,
не испытавших		модуляции, от резонатора к отражателю и обратно.
Электроны,		отдавшие свою энергию			при вторичном		прохождении

через зазор, оседают на ближайшей стенке. Поскольку отражательный клистрон является маломощным генератором, это оседание обычно не приводит к вредным последствиям.

13 Зак. 1123

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 4137 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ