Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4134 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Если считать плотность переменного тока в сечении электрон ного пучка постоянной (такое предположение часто делают в нели нейной теории), то мы приходим (при q = 0) к коэффициенту деп рессии

Г(р,	0) = 1 - 2 / 2 (рЬ )		Ki (pb)	. К„ (pa)	(V.45)
				I о (pa)
Соответствующие	кривые приведены		на рис. V.2.
При сильном пространственном заряде надо воспользоваться
соотношением
	р 2	^	(h-hey
	P*-f		h l	'

вытекающим из формулы (V.01), и учесть, что для волн пространствен ного заряда в круглом волноводе правая часть этого соотношения равна Г(р, q). Поскольку для волн пространственного заряда q -= ig, мы имеем

F < * * > = 7 + 7

( V - 4 6 )

и, кроме того, q должно удовлетворять трансцендентному уравнению

- G = £ ,	(V.47)
" і

которое следует из уравнения (V.15); его можно также получить, сравнивая формулы (V.20) и (V.46). В развернутом виде характери стическое уравнение для волн пространственного заряда в круглом волноводе имеет вид

Jo(gb)	И	Ic(pb)Ko(pa)-I0(pa)K0(pb)
Оно определяет зависимость g ~		g (р)	при сильном		пространственном
заряде, откуда при помощи формулы			(V.46)	получается зависимость
Г от pb, приведенная на	рис. V.3.
Эти значения Г уже	можно	использовать		при	расчете электрон


ных волн, поскольку, как показано в задаче 10							к 6-й лекции, их вол
новые	числа отличаются			от волновых чисел волн пространственного
заряда		на величины	порядка - ~ =		(при а >	1), в то время			как для
волн	пространственного			заряда
		fc±«/ie(l±ea)		=	/ i e ( l ± -	^	f
т. е. отличие на величину порядка					ест, которой		пренебрегать		нельзя.
Зная	Г, можно найти		электронное		волновое	число		he или	скорость
ve, при		которых достигается синхронизм (h+				w hs).		пролетного кли
Уравнение (V.48) широко используется в теории

строна при изучении волн пространственного заряда в трубке дрейфа. Задача состоит в том, чтобы по заданному пе найти волновые числа h

330

О	1	2	3	рб
Рис. V. 1.	Коэффициент депрессии	Г при слабом	пространственном

	заряде.
Г	q-0
	q-0

^^^^

bla=0,0.s

Рис. V.2. Коэффициент депрессии Г при равномерном распределении то ка в поперечном сечении электронного пучка.

волн пространственного заряда. Практически, однако, и в этом случае решение находится проще, если задавать h в каком-то интервале зна

чений	и искать соответствующее ему электронное волновое					число
he. В ряде частных случаев уравнение				(V.48) можно упростить		и по
лучить	приближенные	выражения для g и Г.
При а = b знаменатель правой части (V.48) обращается в нуль,
поэтому при любом р мы должны иметь
	Jo(gb)	= 0,	gb = v0n	(/г =	1,2, ... ),	(V.49)
где vmn	есть п-й нуль	функции Бесселя			Jm.
При р а - > - о о уравнение			упрощается:

§ЬШ1=рЬ^Ш,	Ко№		(V.50)
Jo(gb) И	Ко№	V	'
превращаясь в уравнение для волн пространственного заряда			в ци
линдрическом пучке, помещенном	в свободное	пространство.	При

pb ->- 0 правая часть этого уравнения стремится к нулю (весьма мед

ленно),	поэтому	gb -*- 0 или gb-+vln.		При pb ->• с» правая		часть
неограниченно		возрастает,	и gb ->- v0 „.
При	р (а — b) <С 1 мы используем выражения
		I0(pa)^f0(pb)	+	I1(pb)p(a~b),
		Ко(ра) = К0 (pb)-Кг		(pb)p(a~b)
и, пренебрегая		квадратом	малой	величины р (а — Ь),	получаем
уравнение
		_ L W 0 =		J L _ _ i ,	(V.51)
		gb J^gb)		b	v	'

решение которого ищем в виде

gb = v0n + d.

Пренебрегая квадратом величины б, получаем

8 = -v0np(a~b),				gb = v 0 n ( 2 - f y		(V.52)
При ра-^О	(и, следовательно, при				—>-0) в силу	приближен
ных соотношений
K„(z) = ln — ,		/ 0 ( 2 )	= 1,	Ш=^-	( г « 1, v = 1.781)
	7г				2
уравнение принимает		вид
		g b	h m			( V . 5 3 )
откуда при awb	получаем		формулу
gb = v 0 n ( l - \ n ^ ) ,				l n - ^ « - ^ - l « l ,		(V.54)
практически совпадающую			с формулой		(V.52).

332

Рис. V . l — V . 3 показывают, что для тонких пучков (pb < 1/2) коэффициент Г мал, поэтому динамические поправки могут оказаться существенными. Вычислим поэтому коэффициент Г, ограничиваясь

для простоты значением h =		hs. Формула		(V.41)	приводит к	выра
жению
	Г = — ( К ( 0		) — 2 К ( 1 )	) ,		(V.55)
		4
причем определение	величин	К<°)	и К О	по формуле (V.39)		ведет
к весьма громоздким	выкладкам,		особенно при		нахождении	К О ,

ввиду необходимости дифференцировать выражение (V.26). Отметим, например, что уже при вычислении входящей в выражение (V.26)

функции	Gs (pa) в точке р	=	ps мы	должны раскрывать		неопределен
ность с	помощью формулы
		hi	G (pa)		hi а
	Gs (р, а) = lim	- f j - ^ r		=	і— & (P. «)•	(v -56)
	h^hs	Af — A2			2ps

He входя в детали дальнейших выкладок, приведем лишь окончатель

ные выражения

для величин

К( 0 >

и К О ;

мы

имеем

К«0 =

Bli

^ t

(V.57)

K(i) =

пав'

(раа)

Л 2

K ( 0 ) - ^ - ( » +

f i - p . a F ) ,

(V.58)

где

-ГЫЬ.

^ ) =

\ р - % + «°>*

(V.59)

H2(psb,qb)

(psb)*

— (qb)*

Hs (pb,

qb) = pbl0

(pb) /„ W-qbh

(pb) I , (qb),

(V.60)

F 1

J__££fL

« 1 ,

(V.61)

/ ? = І І — A ( V . 6 2 )

ps a

/„

Ко

Для производных

функции

G (pa)

при p = ps

имеем

выражения

G' = —GF,

(V.63)

(V.64)

F > =

_ _ L (_J_ +

A +

A _ ^ o _ * i

\ _

(V.65)

причем аргументом всех функций в формулах (V.61) — (V.65) являет ся величина psa. Выписанные здесь формулы для расчета коэффициен та К О являются весьма громоздкими, а при необходимости вычисле-

ния коэффициента К<2> они еще усложняются. Поэтому при практи ческих расчетах более целесообразным может оказаться путь прямого численного дифференцирования функций Rs (р, а) или К (р, £7), оп ределяемых формулами (V.26) и (V.37). Если же надо вычислить динамическую поправку Г при КфК&, то вместо разложения (V.41) следует использовать выражение

f =	1.2J-	,	(V.66)
А2 -	-hs
избавляющее от необходимости вычислять производные.
Переходя к анализу численных результатов, рассмотрим пучок
при слабом пространственном заряде	и достаточно	большом	замедле-

г			\		0,8
					0,8
о*					0,0
о*
	5/а	=0,0^	0,8
0,2			0,8
0,2
		s^0,6-
Рис.	V.4. Коэффициент депрессии Г при			слабом пространственном	за
ряде	с учетом	динамических	поправок, обусловленных влиянием		спи
		рально	проводящего	цилиндра.

нии, когда можно считать q = р = ps = hs. Раскрывая неопределен ность в формулах (V.28) и (V.59), получаем

(V.67)

2/i (A, b)

»2/8 (ft, b)

П (A, b)- -Il(hs

и приходим к зависимости Г от hsb, представленной на рис. V.4*. Сравнение рис. V.4 с рис. V . 1, в котором также нужно положить р = hs, показывает, что динамические поправки уменьшают коэф фициент депрессии. Для достаточно тонких пучков Г оказывается отрицательным, т. е. поперечные сечения пучка не отталкиваются,

апритягиваются!

Этот эффект перестанет быть удивительным, если принять во внимание, что Г > 0, а отрицательность Г всецело вызвана влиянием

* В работах Л. Н. Лошакова и Ю. Н. Пчельникова выражение для коэффи циента депрессии Гдпри слабом пространственном заряде было получено путем дифференцирования точных уравнений дисперсии (V.15) и (V.01); использован ный здесь метод при q ж ps ~ hs приводит к такому же выражению.

спиральной замедляющей системы на нерезонансное поле пучка. Физические следствия отрицательности Г мы рассмотрим в прило жении V I ; здесь же только отметим наиболее очевидное следствие, а именно неустойчивость пучка как такового, приводящую к возмож ности усиления без синхронной волны; это видно из второй формулы (6.69). Неустойчивость вытекает из того, что при некотором начальном сгущении притяжение соседних сечений усугубляет это сгущение, и оно, нарастая, смещается вдоль пучка. Усиление носит такой же ха рактер, как и в двухлучевой лампе (см. приложение IV), т. е. усили ваются квазистатические поля, которые еще нужно преобразовать в волновые. Наблюдать такое усиление можно лишь при условии, что отрицательные значения Г сохраняются вдали от синхронизма (выше мы вычисляли Г для пучка в спирали лишь при синхронизме). В противном случае оно не будет иметь самостоятельного значения, а лишь наложится на усиление, свойственное лампе с бегущей волной,

в характеристическом уравнении которой будет а 2

0 (а в некоторых

случаях

и Л <

0). Это сразу

изменяет

свойства

электронных

волн.

Рис.

V . l —V.3

показывают,

как

влияет закон

распределения

переменного

тока

по сечению электронного пучка на коэффициент

депрессии.

Если

брать

практически

применяемые

пучки,

то

для

них обычно р б ^

1,5

и значения Г при q = р и

q =

0 различаются

незначительно;

сильные

различия

появляются

лишь

при

рЪ > 1,

поскольку

lim

Г ( р , 0 ) = 1 ,

П т Г ( р , р )

= —

ф<а),

рЪ

ос

pb-+oo

г /

( V * 6 8 )

Г(р,

q)=——.

р і ч - о о

p + q

p (a— b) -voo

Коэффициент Г при сильном пространственном заряде (рис. V.3) несколько больше, чем при слабом (рис. V.1).

Значительный интерес представляет также коэффициент в , вве денный в задаче 15 к 6-й лекции и равный

в = ф 5 2 ^ .	(V.69)
Смысл в в следующем: если сопротивление связи нитевидного	пучка,

совпадающего с осью спирального волновода, умножить на в , то по лучится сопротивление связи цилиндрического пучка конечного ра

диуса	Ь. На рис. V.5 и V.6 представлена зависимость 0			от рЬ для сла
бого	(q = р и	9 = 0) и сильного	(о = ig) пространственных зарядов.
Мы видим, что коэффициент 6,			подобно коэффициенту Г, почти оди
наков при q =		р и q = 0 (если рЬ не слишком велико, скажем р Ь < 3 ) .
При	сильном	пространственном	заряде О оказывается	меньше, чем

при слабом; однако для практически применяемых пучков, где pb ^ 1,5, изменение 6 под влиянием пространственного заряда не очень велико (в полтора-два раза). На первый взгляд этот результат парадоксален, поскольку сильному пространственному заряду соответствует более

равномерное заполнение сечения пучка переменным током (см. конец 6-й лекции) и, следовательно, связь с синхронной волной, казалось, должна быть сильнее. Фактически она оказывается слабее, поскольку распределение переменного тока при сильном пространственном заряде не согласовано с распределением поля синхронной волны; волна возбуждается пучком и модулирует пучок не так эффективно, как при слабом пространственном заряде, когда переменный ток и поле волны распределены одинаково. Более равномерное заполнение се чения переменным током приводит, кроме того, к возрастанию Г при сильном пространственном заряде, о чем говорилось выше.


О			pi
Рис. V.5.		Коэффициент		G	Рис. V.6.	Коэффициент в
при	слабом	пространствен			при сильном пространствен
ном	заряде	[q =	р) и рав		ном	заряде.
номерном распределении то
ка	в поперечном		сечении
электронного пучка (q =				0).

Интересно отметить, что влияние закона распределения перемен ного тока по сечению электронного пучка на коэффициент депрессии определяется лишь величиной 6. Это видно из того, что формулу (V.20) для квазистатической части коэффициента депрессии при р = ps можно представить в виде

f(pl,q) = r>{pab)-i-^f-e,

(V.70)

а динамические поправки согласно формулам (V.55), (V.57) и (V.58) определяются коэффициентом связи К, в который функция распреде

ления тока также входит только через множитель Scp2g =			S e O . Это
обстоятельство	делает излишним, например, вычисление		динамиче
ских поправок	к Г, при 7 =	0, поскольку согласно рис. V.5 значения
в при q = 0 и	q = р очень	близки.

В заключение приведем результаты численных расчетов сопро

тивления связи. На рис. V.7 показана зависимость		величины
К ° = — h\	1	(V.71)
	psaG'(psa)

от psa при большом замедлении (ps = hs)\ эта величина имеет смысл коэффициента связи, приведенного к оси спирали (коэффициент связи

336

для нитевидного пучка, совпадающего с осью); величину К 0 не сле дует смешивать с величиной (V.40). Усредненный по поперечному сечению электронного пучка коэффициент связи К и сопротивление-

связи Ks	выражаются	через		К 0	следующим		образом:
		К = К0			(р, bf Є,			(V.72)
		' 4р 2			120 К°- —	в	ом.	(V.73)
		Л. СО			120 К°- —	в	ом.	(V.73)
		Л. СО
Поскольку величина			К 0	уменьшается		с	увеличением	радиуса
спирали,	а величины	б и в	возрастают (при			b/a = const), то		полный

коэффициент связи К имеет максимум при некотором значении радиуса


спирали. Если при разных значениях							b
фиксировать			плотность		тока JeISe,		то
это	значение		радиуса	спирали		соответ
ствует максимальной эффективности вза
имодействия пучка с полем, так как па
раметр		усиления е оказывается				макси
мальным (см. задачу 8 к 6-й лекции).
	В	отличие от коэффициента				связи,
сопротивление			связи	Ks	характеризует
эффективность взаимодействия электрон
ного пучка с полем при фиксированном
токе пучка — чем больше Ks, тем боль
ше	параметр		усиления		и эффективнее			Рис. V.7.	Приведенный коэф
взаимодействие.
	В заключение хотелось бы					подчерк		фициент	связи на оси спираль
								но проводящего		цилиндра.
нуть, что сравнительно слабая зависи										q (ср. кри
мость		коэффициента		депрессии		и коэффициента связи от
вые при разных q и				умеренных pb)			есть	прямое	следствие стацио

нарности, о которой говорилось в 6-й лекции. Несмотря на стацио нарность, для получения правильных количественных результатов, требуются довольно громоздкие вычисления, которые по данному

здесь образцу можно				провести и для		других	систем.
		С П И С ОК ЛИТЕРАТУРЫ К П Р И Л О Ж Е Н И Ю					V
1.	Л. А.	В а й н ш т е й н.			Электронные	волны	в замедляющих системах.
	ЖТФ,	1956, т. 26,	№ 1, стр.		126—140, 141 — 148.
2.	G. М.	B r a n c h ,	Т.	Q.	М і h г а п.	I R E Trans., 1955, v. ED-2, April,,

p.3—11.

3, Л. H . Л о ш а к о в, Ю. Н. П ч е л ь н и к о в . Теория и расчет усиления; лампы с бегущей волной. Изд-во «Советское радио», 1964.

П р и л о ж е н и е VI

ТРИ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ В ЭЛЕКТРОННЫХ ПОТОКАХ

При усилении и генерации сверхвысокочастотных колеба ний в электронных приборах происходит преобразование энергии электронов в энергию сверхвысокочастотных колебаний. Здесь мы рассмотрим законы сохранения и превращения энергии в лампе с бе гущей волной, для которой в 7-й лекции были выведены нелинейные уравнения, характеризующие взаимодействие электронов с полем бегущей волны и дающие возможность детально рассмотреть энерге тические превращения; это и будет сделано ниже, а именно мы выведем три закона сохранения, относящиеся к этим превращениям. Заметим, что аналогичные законы могут быть выведены для других приборов типа О, а также для приборов иных типов, однако мы ограничимся здесь изучением усилительной лампы с бегущей волной типа О, точнее той ее модели, которая рассмотрена в 7-й лекции.

Прежде чем рассматривать законы сохранения и превращения энергии, сделаем два общих замечания. Во-первых, каждой силе в урав нении движения соответствует своя энергия и свой поток энергии (мощность), проходящий через поперечное сечение системы. В част ности, силе инерции (произведению массы на ускорение со знаком минус) соответствует кинетическая энергия и поток кинетической энергии (кинетическая мощность), а силам пространственного заряда — своя потенциальная энергия и поток потенциальной энергии, кото рый, как мы увидим, не обязательно является чисто реактивным. Во-вторых, каждому волновому полю, учитываемому в уравнениях возбуждения, соответствует свой баланс активной и реактивной мощ ностей: для резонаторов это — соотношения (2.59) и (2.60), обобщен ные в задаче 7 ко 2-й лекции на случай неустановившихся колебаний, для волноводов — аналогичные соотношения, выведенные в задаче 10 к 5-й лекции.

Из баланса активных мощностей сразу получается закон сохра нения и превращения энергии, если активную мощность электронного пучка выразить через величины, характеризующие пучок. Баланс реактивных мощностей дает нам второй закон сохранения, который также важен (во 2-й лекции мы видели, что он определяет частоту колебаний резонансного автогенератора), но который не имеет столь простой физической интерпретации, как первый. Наконец, третий закон сохранения является чисто кинематическим.

Для вывода законов сохранения используем нелинейные урав нения (7.15), (7.14), (7.09) и (7.31) в безразмерной форме. Перепишем их здесь в удобном для нас виде:

		1			д*и	= R e 2 > n e - < - * " + f ,				(VI.01>
					- £	= R e 2 > n e - < - * " + f ,				(VI.01>
		1 + 8	ди_\*		д£
		dFn		-inlnFn=—xn				I n ,		(VI.02)
				-inlnFn=—xn				I n ,		(VI.02)
						2n
			К	=	~	J	e'»»£U/0,			(VI.03)
			2л
9 =				D	(и — и) - f eDx			{u—u) ди		(VI.04)
9 =	I	—							ас
или		Єй)
или
	f	= І т	У	^	( / „ - і в ^			% ) e - ' « « ,		(VI. 05)
			„		V		n	dt,	]
где
										(VI.06)
а суммирование	ведется		по всем гармоникам поля пространственного
заряда. Соотношение (VI.05) взято из задачи 5 к 7-й лекции.
К этим уравнениям			надо еще добавить начальные условия, та
кие же, как в 7-й лекции:
	и = ы0>		— = 0,			Fn^An		при	£ = 0.	(VI.07)
Заметим, что в 7-й			лекции			при	выводе нелинейных			уравнений

рассматривалась лишь квазистатическая часть поля пространствен ного заряда, когда все коэффициенты депрессии Г п и величины Л„ (их логарифмические производные) были положительными (см. 6-ю лекцию). Если же учитывать динамические поправки к полю прост ранственного заряда, то, как видно из приложения V, эти величины могут оказаться отрицательными (а в общем случае даже комплексны

ми).	В дальнейшем будет		считать	величины а 2 п и	о \ Л п веществен
ными— положительными			или отрицательными.		t0 (или начальной
	Обозначим	усреднение по начальному моменту			t0 (или начальной
фазе	и0 = сог0)	волнистой	линией	сверху
				2я
			/= 4-	5 fdUt>	(VI.08)
			/= 4-	5 fdUt>

339-

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4134 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ