Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4133 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

нитное поле функции распределения не изменяет, N0 — плотность

электронов там, где Ф = 0. Соответствующая	плотность заряда равна
еФ
p=^eN0e~w,	(IV.90)
так что потенциал Ф удовлетворяет уравнению
ДФ = —4яеЛА0 е k T .	(IV.91)

Пусть теперь в некоторую точку электронного облака внесен дополнительный точечный заряд е', который вызовет в нем дополни тельное электростатическое поле с потенциалом Ф', удовлетворяю щим уравнению

ДФ' = _ 4 я \е' б (г—г') + р'—р],

(IV.92)

где первое слагаемое есть плотность дополнительного заряда, сосре доточенного в точке г', а

		р'^ре~Тт	еФ'				(IV.93)
		р'^ре~Тт					(IV.93)
— плотность заряда	электронного		облака		при	наличии	дополни
тельного потенциала	Ф'.	Поскольку
р ' _ _ р = = р ( е - ^ - і ) ^ - £ Є . ф '					П р И	Л ! ^ < < и
мы получаем для Ф' линейное уравнение
Л Ф ' _ х 2 Ф '	=	— 4 я е ' 6 ( г —г'),		Х	= \| / "	^ Г '	(IV.94)
которое при постоянстве р имеет сферически симметричное							решение
Ф' =		* ' - ^ 1 ,	г =	j г — г'\| .			(IV.95)

Таким образом, перераспределение		электронного газа в	поле заряда
е' приводит к замене потенциала
Ф'	=	^ ,
		г
который был бы в отсутствие	электронного облака,		потенциалом

(IV.95), т. е. к экранированию поля: поле заряда е' в равновесном электронном облаке сравнимо с полем заряда е' в пустоте лишь на

расстояниях г ^ а,	где
a=—	= l / - ^ —	(N^N0e~w)	(IV.96)

и есть радиус Дебая в той точке электронного газа. куда помещен заряд е'; постоянство р и Ф требуется на этих же расстояниях.

320

Последнее требование при отсутствии ионного фона не выпол няется, поскольку согласно уравнению (IV.91), которое можно пере писать в виде

характерные размеры электронного облака в состоянии статистиче ского равновесия получаются порядка а. Это проявляется во многих случаях: так, например, в диоде, анодный ток которого ограничен пространственным зарядом (рис. 1.1), электронное облако между катодом и потенциальным минимумом близко к состоянию равновесия, поскольку лишь небольшая часть электронов (быстрые электроны) преодолевает минимум и проходит к аноду; поэтому расстояние между катодом и минимумом всегда порядка а (см. задачи 1 и 2 к 1-й лекции). В запертом магнетроне толщина электронного слоя существенно больше, и в ходе развития неустойчивостей она может только увели чиваться. Если принять, что кипящее электронное облако находится

в статистическом равновесии (что правильно лишь отчасти), то отсюда

снеобходимостью вытекает, что его эффективная температура, рас сматриваемая как мера разброса скоростей, должна на много порядков превышать температуру катода.

Таким образом, условие (IV.88) имеет очень простой смысл: в сфере радиуса а должно быть много электронов. Это условие, оче видно, необходимо для того, чтобы можно было применять формулы (IV.89), (IV.90) и (IV.93), имеющие статистический характер и выте кающие из кинетического уравнения. Оно же является условием при

менимости	кинетического уравнения в общем случае, по крайне?
мере тогда,	когда электронный газ не слишком далек от равновесия;

в противном случае роль температуры играет, как уже указывалось, величина Т, определяемая соотношением (IV.85).

Возможность пренебречь соударениями, т. е. заменить уравнение (1.15) более простым уравнением (IV.01), зависит от конкретных чис

ленных соотношений в данной задаче. Например, для	задачи Коши,
рассмотренной выше, соударениями можно пренебречь	при \| со" \| > v;
об этом говорилось после формулы (IV.54).

Теперь можно сказать, что произойдет при цифровом моделиро вании электронного облака с помощью укрупненных точечных частиц,

каждая

из

которых содержит п

электронов

(п

1) и

имеет массу

пгп

= пти

заряд еп = пе. Чтобы

плотность заряда р

осталась

той же,

надо взять Nn = N/n.

Если

при

этом

разброс

скоростей

остается

прежним,

то

Тп

= пТ,

ап

= а,

а,'71

(IV.97)

при

постоянстве

температуры

(IV.98)

Vn'

П'5/2

•

11 Зак. 1123

321

В обоих случаях величина а п оказывается существенно меньше а; при этом, как правило, мы приходим к условию

а п < 1 ,

(IV.99)

противоположному условию (IV.88). Это значит, что движение укруп ненных ч^ртиц не похоже на движение частиц электронного газа, в частности имеется сильная корреляция в движениях соседних час тиц. Для того чтобы моделирование было эффективным, т. е. переда вало бы свойства реального электронного облака, в уравнениях движе ния укрупненных частиц надо брать поле, усредненное по объему, содержащему много таких частиц.

В этом приложении мы рассмотрели наиболее простые явления, в которых необходимо учитывать распределение электронов по ско ростям и их электростатическое взаимодействие. Существует ряд других явлений, которые надо исследовать так же (например, преоб разование шумов в электронных потоках), однако на них мы останав ливаться не можем.

С П И С ОК ЛИТЕРАТУРЫ К П Р И Л О Ж Е Н И Ю IV

1. Л. Д . Л а н д а у . О колебаниях электронной плазмы. ЖЭТФ, 1946, т. 16,

№7, стр. 574—586. Journ. of Phys. USSR, 1946, v. 10, № 25. Собрание трудов,

т.2. Изд-во «Наука», 1969, стр. 7—25.

2.	А. А.	Вл а с о в .		О вибрационных свойствах			электронного газа.	ЖЭТФ,
	1938, т. 8, № 3,		стр. 291—318.
3.	А. А.	В е д е н	о в ,	Е. П. В е л и х о в ,		Р.	3. С а г д е е в.	Устойчи
	вость плазмы. «Успехи физических				наук», 1961, т. 73, № 1, стр. 701—766.
4.	J . D a w s o n .		Physics of Fluids,		1961, v. 4, № 7, p. 869—874.
5.	Г. В. Г о р д е е в .			Возбуждение	колебаний	плазмы. ЖЭТФ, 1954, т. 27,

№ 1 (7), стр. 24—28.

6.В. Л. Г и н з б у р г . Некоторые вопросы теории излучения при сверхсве

	товом движении в среде. «Успехи		физических наук», 1959,				т. 69,		№ 4,
	стр. 537—564.								І
7.	В. Л. Г и н з б у р г .	К вопросу о показателе преломления для ионизирован
	ного газа (ионосферы). Изв. АН СССР,			сер. физическая, 1944,				т. 8,	№ 2,
	стр. 76—84.
	«Теория распространения радиоволн в ионосфере, ГИТТЛ, М. — Л . , 1949
	(§6).
	Распространение электромагнитных		волн	в	плазме.	Физматгиз,		1960 (§ 3
	и 4).
8.	Б. Б. К а д о м ц е в.	О действующем поле			в плазме.	ЖЭТФ,	1957,		т. 33,

№ 1 (7), стр. 151 — 157.

9.J . P. K l o z e n b e r g . Physics of Fluids, 1971, v. 14, № 1, p. 94—101.

П р и л о ж е н и е V

КРУГЛЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ ПУЧКИ

ВСПИРАЛИ: КОЭФФИЦИЕНТ ДЕПРЕССИИ

ИКОЭФФИЦИЕНТ СВЯЗИ

В6-й лекции на основе теории возбуждения волноводов

были исследованы общие свойства электронных волн и выведено выра

жение для удельного сопротивления связи (6.53)

и выражения

(6.64)

(6.66) для квазистатической

части коэффициента депрессии

(6.54).

Эти формулы справедливы для электронных пучков произвольного

поперечного сечения в произвольной замедляющей системе.

Здесь

мы рассмотрим цилиндрический пучок

кругового сечения

спиральном

волноводе — анизотропно

проводящем

цилиндре;

пучок и волновод предполагаются коаксиальными, причем для про

стоты ограничимся симметричными электронными волнами. Этот

случай наиболее интересен с практической точки зрения.

В данной задаче переменные разделяются и поэтому можно полу

чить явное выражение для усредненного поля Ег

и для коэффициента

депрессии

Г (с учетом динамических поправок). Подобным же образом

можно вычислить величины, входящие в характеристическое уравне

ние для плоских электронных пучков.

Согласно задаче 12 к 6-й лекции функция

гр для

круглого ци

линдрического

пучка радиуса

Ъ равна

q = DI0(qr),

— Ч

—

2nbl-i (qb)

где / 0 и /і— модифицированные функции

Бесселя,

q=pVx~l^>

P = Y

(v.o

согласно формулам (6.15) и (6.22). Уравнение (а) задачи 2 к той же

лекции принимает

поэтому

вид

-L^-(rd-^)~p2Ez=~^-Dl0(qr)J

(0<r<b).

(V.02)

dr \

При г >

Ь справедливо

то

же

уравнение,

в котором

правая

часть

заменена

нулем.

Функции

Ег

и J

пропорциональны

el 7 i z ,

однако

дальнейшем

мы этот

множитель будем

лишь

подразумевать, но

не

писать.

г < Ь, решение

Внутри пучка, при

0 <

уравнения

(V.02)

пред

ставляется суммой общего решения однородного

уравнения и част

ії*

323

ного решения неоднородного уравнения (Ко и К\—функции	Мак-
дональда):

Ех = Ах /„ (рг) + В, К0 (рг) + Л / 0 (qr).	(V.03)
Вне пучка имеем	(V.04)
Ez = Л, з Io (Рг) +B2i3 Ко (рг),	(V.04)

где индексом 2 обозначаются коэффициенты А я В в области b < г < а

между

пучком

спиралью,

а индексом 3 — в области вне спирали

(г >

а). Условия

ограниченности поля £ z

при г

0 и г

со дают

fit =

Л 3 = 0.

Для

определения

других

постоянных

используем

непрерывность

компонент

и Яф на границе

пучка (г = Ъ) и гра

ничные

условия

на

поверхности

спирального

волновода

(г — а).

Это — непрерывность составляющих электрического поля Еги

Еу при

г = а,

непрерывность составляющей магнитного

поля

Я ф

cos % +

+ Hz sin% вдоль

витков

спирали

(выражающая

отсутствие токов

поперек

витков) и,

наконец,

условие

£ ф

cos х + Ez

sin % = 0

(V.05)

для электрического поля вдоль витков. Здесь х — угол между на правлением витков спирали и плоскостью г = const. Учитывая со отношения

Er=	ih	dEz	и	=	і*	dtz
Er=	p2	dr	л ф	=	— —	—— ,
	p2	dr			р 2	dr	(V.06)
Ец, — ik_	dHz		U				(V.06)
Ец, — ik_	dHz	'	U	~	pі*	d H z
p2	dr	'	т	~	pі*	dr

и принимая во внимание, что поле Hz					имеет такой же вид, как и в спи
рали без	пучка,
		Hz	= С 2 / 0	(рг)	при	г < а,			(V.07)
		Hz	= C3KQ(pr)		при	л > а ,

найдем все постоянные и получим для составляющей Ег								внутри пучка
выражение*
Е, =		4nDJ		/ о ( < 7 ' ) + ( ^ - # і ) / о М					(V.08)
где				(toctg х)2 / і (pa) Кх (Pa)
G = G(pa) = — G(pa)									(V.09)
					(pa)*	Ів (pa) Ко (pa)		J

			G (pa) = I0		(pa)				(V.10)
			V	Ко (pa)					( V . l l )
tfx	= Hx	(pb, qb) = pbl0		(qb) Kx	(pb) + qblx		(qb) K0 (pb),
									(V.12)
H2	= H2	(pb, qb) =• pbl0		(qb) I , (pb) —qblx			(qb) /„ (pb).

* При преобразованиях приходится применять выражение для определи теля Вронского функций / 0 и /С0 [см. формулу (V.42)].

Усредняя поле Ez по поперечному сечению пучка согласно фор муле (6.51), получаем

Е, =	р2 — q2	1	(p2~q2)	b2l\	(V.13)
iaS	р2 — q2	2л	(p2~q2)	b2l\	(qb)
где согласно формуле	(6.55)
	S = ^	I L { Q	B )	.	(V14)
	q2	i%(qb)-l\(qb)
Выражения (V.08) и (V.13) позволяют вывести различные урав
нения для электронных волн в данной системе.
Приравнивая точные значения Ez			в поперечном сечении электрон
ного пучка, из формул	(6.13) и (V.08)		получаем уравнение
		G = f ,			(V.15)

которое вместе с первым соотношением (V.01) определяет точные значения поперечного и продольного волновых чисел q и h. Это урав нение и способы приближенного сведения его к алгебраическому уравнению неоднократно рассматривались в литературе. Необхо димо отметить, что при решении уравнения (V.15) нужно с одинаковой

степенью точности	удовлетворять как ему, так и первому					соотноше
нию (V.01), поскольку		искомое	волновое	число	К не является здесь
стационарным функционалом от функции				i\|) и	величину	q	нельзя
задавать приближенно.
Чтобы получить уравнение, определяющее h как стационарный
функционал от	воспользуемся		методом, изложенным в 6-й лекции,
согласно которому надо приравнивать усредненные поля						Ez,	входя
щие в выражения	(6.57) и (V.13). В результате				получаем	уравнение
Ці		1 +					(V.16)
			U
(h-he)2(p2-q2)		L	2л (p2-q2)b2	I2 {qb)
в котором поперечное		волновое	число q электронного пучка				можно

задавать приближенно, используя определение (V.01) лишь для оценок. Если же вычислять q точно в соответствии с формулой (V.01), то уравнение (V.16) сводится к уравнению (V.15).

Уравнение (V.16) является частным случаем характеристического уравнения (6.23) или (6.58). Чтобы представить его в виде (6.58) и найти выражения для сопротивления связи и коэффициента депрессии, надо разбить усредненное поле на резонансную и нерезонансную части. Для этого рассмотрим выражение (V.13) более подробно. Это выражение определяет функцию комплексного переменного р, кото

рая	имеет	полюс в точке р == рs , где
		G(pe a) = 0.	(V.17)
Эта	точка	соответствует волновому числу hs	— YPI + &2 собствен
ной	волны в спирали без пучка, что следует		из формулы (V.15) при

hp = 0. Если p лежит вдали от полюса р „, т.	е. нет синхронизма между
волнами в пучке и спирали, то поле (V.13)	является нерезонансным

полем, содержащим квазистатическую часть и динамические поправки к ней. Представляя его в виде

£ 2 = ^ Г ( р , а ) ,

(V.18)

определяем полный коэффициент депрессии Г поля пространственного заряда при отсутствии синхронизма.

Вобщем случае удобно провести разбиение поля на резонансную

инерезонансную части подобно тому, как это было сделано в 5-й лекции.

Полагая % — л/2, т. е. переходя к волноводу, стенка которого составлена из тонких продольных проводников, получаем выражение

	Ez=^f(p,q),	(V.19)
	i'coS
где
	Q2SH2\
Г (р, q) =	1 —	(V.20)
	2л (p2~q2)	b2!2 (qb)

Поскольку для рассматриваемых симметричных волн токи на стенке волновода являются чисто продольными, то же выражение (V.19) справедливо для круглого волновода со сплошной идеально проводя щей стенкой. Поэтому формула (V.20) определяет коэффициент деп рессии Г поля пространственного заряда в обычном круглом волно воде. Если в формуле (V. 19) взять Ег на частоте со = ck, умножить на со/со и совершить предельный переход со - > 0, то можно выделить квазистатическое поле

Ez	= ^-f(h,q),	(V.21)
	mS

которое рассматривалось в 6-й лекции. Предельный переход в дан ном случае сводится просто к замене р на h, а динамические поправки,

обусловленные отличием р от h, пропорциональны 1-^1 ^ ( у ) >' о н и

малы при нерелятивистских скоростях электронов и электронных волн.*

Увеличивая радиус волновода а и учитывая, что при этом G(pa) оо, из выражения (V.20) нетрудно получить также коэф фициент депрессии Г° для электронного пучка в свободном про странстве.

* Поскольку в 6-й лекции не учитывались динамические поправки к полю

пространственного заряда,		то рассматривавшийся	там коэффициент	депрессии
Г (А) совпадает	с Г (Л, q).	Проводя суммирование	с помощью рядов	Фурье —
Бесселя, можно	показать,	что выражение для Г (ft), полученное в задаче 13 к

6-й лекции, сводится к (V.20) при р = п.

Заметим, что, совершая предельный переход со -»- 0 в общей фор муле (V.13), получаем в спиральном волноводе точно такое же ква зистатическое поле (V.21), как и в обычном волноводе со сплошной стенкой. Это совпадение не случайно — оно является (см. 6-ю лек цию) отражением того факта, что для статического поля спиральный волновод эквивалентен сплошной металлической трубе. Поэтому в спиральном волноводе просто учитываются эффекты, обусловленные конечной скоростью распространения поля: для этого надо применить

для

выражение

(V.19)

вместо

выражения (V.21),

что и

делается

в дальнейшем (ср. с задачей 13

к 5-й лекции). Впрочем,

учет

этих

эффектов важен лишь при расчете релятивистских пучков.

двух

Представим теперь полное

усредненное

поле

Ег

виде суммы

слагаемых

Ег

= Ег

+ Ёг,

(V.22)

где

есть

часть

усредненного

поля,

равная

—

р 2

q2SH\

i - a

2 3

)

tcoS

2 я ( р 2

— < ? 2 ) 2 Ь 2

l\(qb)

•

причем

G =

G (ра)

— 0 (

р д )

1 _

(f e a

С 1 § Х)2

h (pa) К1(ра)

(pa)

(pa)2

1о (pa)

K„

(pa)

При синхронизме электронного пучка с волной в спирали удобно

преобразовать выражение

(V.23)

виду

ih*$*lP'

)

(V.25)

— hi

где

(р, q) =

wGs

ф2

(1 -

G),

(V.26)

а функция

(pa)

О .

(V.27)

не обращается в нуль при p=ps-

Через

ф 8

обозначен усредняющий

множитель

( р 2 - < 7 2 ) 6 / і ( 9 б )

введенный согласно

формуле

(6.06) для функции

<Р. =

1о(рг).

(V.29)

327

Выражение (V.25) аналогично резонансному слагаемому в правой части (6.52), однако существенное его отличие состоит в том, что ве личина Rs зависит от р и, следовательно, от волнового числа п. Поэ тому, чтобы выделить резонансное слагаемое в чистом виде, разложим

Rs в ряд	Тейлора
				•R^(h~hs)		+ Rl2) (h — ht)* + .
учитывая,	что					d2p
			dp			d2p
			dp			dh2
			~dh			dh2	P3
Коэффициенты		Rsn)	в разложении			(V.30)	имеют вид
	R^^RsiPs,		q),		Rl1}	dp	Ps
						dp	Ps
	^ 2 )	= 1	d2Rs	,	ч hl	dRs ,	, k2
			dp2		p\|	dp	Pl

Подставляя ряд (V.30) в выражение (V.25) и учитывая, что

	1		1		1 , h—h.
2		2	s	s	8/i s
ft —я		2	s	s	8/i s
ft —я			1h {h—h

получаем ряд Лорана

(V.30)

(V.31)

(V.32)

(V.33)

	R\	- R l " -	R_( 0 )
z	2 h — ft.		2/i
z

2ft,	(h-K)	(V.34)
2ft,	4hl

Первое слагаемое в квадратной скобке соответствует резонансному слагаемому в правой части (6.52), а остальные слагаемые определяют динамические поправки к полю пространственного заряда. Суммируя

слагаемые E z и E z , приходим к	формуле	(6.52), причем	величины
Rs и Г определяются выражениями
#„ = Я.( 0 ) .	•Rs(Ps>	Я)	(V.35)

		г = г +	г,
coS_	R ( 0 )	Rl"	, я ! 0 > >	(V.36)
8л	2hs	2ft t	(h-ha)	+
8л	2hs	2ft t	4A\|

При конкретных расчетах часто удобнее вместо удельного со противления связи Rs использовать полное сопротивление связи К а (см. задачу 5 к 6-й лекции) или безразмерный коэффициент связи

К (см. задачу 8 к 6-й лекции). Рассмотрим, например, переход к коэф

фициенту связи. Введем функцию К(р, 7) соотношением

		К(р, д) =		®SRS	(р, д)
				4nhs
и разложим ее в ряд Тейлора
K(p,q)	= Kl0)	+ К (і) h — hs ^			J^(2>	/ h — Ag
аналогичный ряду (V.30);			здесь
K < 0 ) = K ( p s	, < ? )	(uSR ( 0 )
K < 0 ) = K ( p s	, < ? )		4nhs
			4nhs
К<1>.			(s>SRil)
К<1>.			4л
			4л
Л -	Г -	д 2 К ,	ч	£ 2	дК	©Si?<2 >As
2р 2		dp2		ps	dp	4л

(V.37)

(V.38)

(V.39)

— безразмерные коэффициенты. Тогда вместо выражений	(V.35) и
(V.36) имеем
К - К < 0 ) ,	(V.40)

f = —(К( 0 >—2К<'>) — — (К<°> — 2 К ( 1 ) + 4 К ( 2		) ) ^ г	.. (V.41)
4	8	Л„
Переходя к анализу полученных выражений, рассмотрим сна
чала коэффициент	депрессии Г. Его волноводная	часть	f (р, q) оп

ределяется формулой (V.20) и не зависит от волнового числа медлен

ной волны спирали,		т. е. от р а .				q fa р. Положим		q = р;
При	слабом пространственном заряде					q fa р. Положим		q = р;
учитывая	известное	тождество
	/о (z) * i (2) +			К0	(z) I , (z) = j - ,			(V.42)
получаем	# i = 1 и,	раскрывая		неопределенность,			придем к	явному
выражению
	г (р, р) = г° (pb)				ФЬ) -	П (pb)]	4 ^	(V.43)
где			2				/ 0 (ра)
где
	Г"(Р6):	(рЬ)2	V0№K*№		+ h	(рЬ)Кг(рЬ)]-
			1		/ \| (рб)			(V.44)
								(V.44)
			2 / 2 ( р 6 ) - / 2 ( р 6 )					1	'

— коэффициент депрессии электронного пучка в свободном прост ранстве. Величина Г, определяемая формулой (V.43), дана на рис. V . I .

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4133 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ