книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

скольку функция распределения и поле приобретают большое число гармоник.

Если начальная амплитуда достаточно мала и выполняется противоположное условие (£>"Т ^> 1, то волна успеет затухнуть раньше, чем начнут проявляться нелинейности, и оставит после себя электроны с возмущенной функцией распределения.

Если же по формуле (IV.47) получается со" < 0, то это значит, что исходное распределение скоростей /°(у) неустойчиво и начальное возмущение заданного типа экспоненциально нарастает со временем. Ясно, что в этом случае возникают нелинейные эффекты, которые кладут предел нарастанию возмущений. К сожалению, и здесь ана­ литические методы оказываются малоэффективными, а численные

являющееся алгебраическим уравнением 2и-й степени относительно неизвестной величины и, определяемой формулой (IV.17). Это урав­ нение имеет 2п корней ui, и2, ... и 2 П — 1 » " г п . которые для заданного значения h дают 2п возможных частот, соответствующих малым коле­ баниям данной электронной системы, состоящей из п бесконечных и однородных потоков, каждый из которых движется вдоль оси Z со скоростью Vj. При п = 1 уравнение (IV.58) имеет решение

то комплексные корни появляются комплексно сопряженными парами, например

достаточно велика, то это уравнение имеет 2п вещественных корней (сплошная горизонталь на рис. IV.3); если же правая часть (IV.58)

Рис. IV.3. К решению уравнения (IV.58).

Какие обстоятельства благоприятствуют неустойчивости? Сог­ ласно формуле (IV. 18) мы имеем

( , v - 6 1 >

поэтому при данном распределении скоростей (IV.56) неустойчи­ вость появляется как при достаточно больших сор (т. е. при достаточно больших плотностях пучка), так и при достаточно малых волновых числах h. Первое физически понятно: поскольку неустойчивость обус­ ловлена электростатическим взаимодействием электронов, имеющих различные скорости, увеличение суммарной плотности пучка спо­ собствует появлению неустойчивости, а дальнейшее увеличение плот­

потоки, у которых две соседние скорости весьма близки: например,

сопряженных корней. Разумеется, при сближении скоростей надо следить за тем, чтобы разброс скоростей оставался малым по сравнению с разностью соседних скоростей, в противном случае пренебрегать разбросом и брать ср(и) в виде суммы дельта-функций (IV.56) нельзя.

Например, для распределения (IV.50) пренебрежение разбросом ско­ ростей можно считать разумным при условиях

скоростей становится одногорбым, то возможно только затухание, которое вычисляется по формуле (IV.47); для двухгорбого распреде­

п

(IV. 63)

и анализировать так же, как это было сделано выше. Наличие комплек­ сно сопряженных значений h указывает на то, что возмущения с час­ тотой со, создаваемые, скажем, при 2 = 0, нарастают в пространстве. При vj > 0 данная система является простейшей моделью электрон­ но-волновой или (при п = 2) двухлучевой лампы, которая, как пока­

в модуляцию пучков и квазистатическое поле пространственного заряда и обратное преобразование модуляции пучков и квазистати­ ческого поля в выходной сигнал осуществляются специальными уст­ ройствами, которые по существу представляют собой короткие от­ резки ламп с бегущей волной. Мы не будем входить в детали, поскольку эта система интересует нас лишь с принципиальной точки зрения.

Таким образом, подстановочный анализ, в котором решение системы линейных (точнее линеаризированных) уравнений предпола­

полное решение задачи Коши. Если же данную систему рассматри­ вают как усилитель и находят комплексные значения h, то надо еще произвести дополнительное физическое или математическое исследова­ ние, чтобы установить, в каком направлении распространяется волна с данным значением h. Обычно это исследование является достаточно простым. Так, например, в теории лампы с бегущей волной такое ис­ следование даже не производилось, поскольку ясно, что нарастающая волна распространяется в ту же сторону, в какую распространяются волны пространственного заряда и волна в линии, при взаимодействии которых эта волна возникла. К сожалению, так просто дело обстоит

не во всех случаях, однако от дальнейших уточнений мы здесь воз­ держимся.

Вместе с тем, для электронов, имеющих непрерывное распределе­ ние скоростей, подстановочный анализ оказывается непригодным, и необходимо каждую задачу (например, задачу Коши, задачу о рас­ пространении возмущений, заданных при z — 0, в полупространство г > 0 и т. д.) решать отдельно. Хотя в математическом отношении при этом возникают значительные усложнения, физическая интерпре­ тация получаемых результатов, в частности формулы (IV.47), ока­ зывается довольно простой и наглядной. Такой наглядности не удается достичь в линейной теории лампы с бегущей волной или двухлучевой лампы: там, пренебрегая разбросом начальных скоростей, мы можем сколь угодно тщательно разбирать фазовые соотношения при взаимо­ действии отдельных элементов системы, однако окончательный вывод об устойчив.ости или неустойчивости, затухании или нарастании можно сделать только на основании характеристического уравнения, причем четкой физической интерпретации этого вывода дать обычно нельзя.

Уточним условия, при которых функцию распределения можно заменить суммой дельта-функций. Беря вместо функции распределения (IV.56) аналитическую функцию (IV.50), мы вместо уравнения (IV.32)

Если функцию F заменить двумя первыми членами асимптотического разложения (IV.33), то получится уравнение (IV.58) при п = 2. Условия применимости уравнения (IV.58) имеют поэтому вид

и дополняют условия (IV.62), выписанные выше. При условиях (IV.66) учет экспоненциально малых поправок к разложению (IV.33) может иметь значение лишь для вещественных корней уравнения (IV.58), а для комплексных корней с конечной мнимой частью учет этих попра­ вок не имеет смысла, так что тонкости, связанные с обходом особой точки v = и в контурном интеграле, становятся несущественными.

Учет распределения скоростей облегчает физическую интерпре­ тацию неустойчивости в двухлучевой лампе и аналогичных системах.

выведенный для колебаний в таком пучке [см. формулу (IV.34) L Согласно этому закону волновое число h связано с частотой со со­ отношением

У со2 —со2 6J Ш

где

и существенно превышать единицу, так что электроны 2-го пучка,

няющееся тем же кинематическим соотношениям, что и черенковское излучение поперечных волн в диэлектрике (см. 1-ю лекцию). В част­ ности, формула (1.63) в данном случае принимает вид

cos * = 1 . (I V.69)

У з а 0 1 V

Однако в отличие от индивидуального излучения электронов' рассмотренного в 1-й лекции, плоские волны, подчиняющиеся урав­ нению (IV.64), возникают как результат коллективного черенковского излучения обоих пучков в направлении движения электронов (т. е. в на­ правлении г} = 0, если Vi > 0 и и 2 > 0). Если к тому же уравнение (IV.64) имеет комплексные корни, то это значит, что под влиянием поля излучения первоначальная модуляция пучка может нарастать, и вместе с нею нарастает и когерентное излучение пучка (или инду­ цированное излучение, поскольку излучающие сгустки сформированы самим полем).

Для полноты рассмотрим также индуцированное черенковское излучение поперечных волн. В изотропной плазме такое излучение невозможно, поскольку показатель преломления для поперечных волн

с тем чтобы можно было пользоваться нерелятивистским уравнением движения. Представим себе, что диэлектрик пронизывается бесконеч­ ным электронным пучком, плотность р е < 0 и скорость ve > 0 кото­ рого постоянны; скорость ve направлена по оси z, причем электроны могут двигаться лишь в направлении оси z.

Исследуем теперь возмущения пучка, обусловленные электри­ ческим полем, составляющие которого имеют вид

нальна Ег и определяется соотношением (6.13). Переменная плотность

которое вместе с соотношением (6.13) дает характеристическое урав­ нение

оси z) волновое число волны (IV.72) в отсутствие электронного пучка, h q — плазменное волновое число в диэлектрике. Уравнение (IV.76) — четвертого порядка, один из корней которого (назовем его fo4) близок

Три остальных корня уравнения (IV.76) можно найти, решая уравнение

не происходит, поскольку развитие неустойчивостей приводит к коле­ бательным режимам. Точно так же не происходит простой нейтрали­

дело в электронике сверхвысоких частот. Один из старейших и важ­ нейших электронных приборов—магнетрон — в течение многих деся­ тилетий ставил перед исследователями одну загадку за другой. В на­ стоящее время теорию магнетрона без учета пространственного заряда можно считать законченной, в теории магнетрона остались лишь проблемы, так или иначе связанные с пространственным зарядом. Однако эти проблемы имеют весьма широкое значение. Чтобы пока­

ках и побочным излучением магнетрона до сих пор установить не удалось.

Кажется довольно естественным, например для исследования кипящего электронного облака, применить функцию распределения / (t, г, v) и кинетическое уравнение для нее. При этом функция рас­ пределения возникает не потому, что эмиттированные катодом элект­ роны имеют разброс начальных скоростей, а в результате развития неустойчивостей. Как показывают опыт и машинные расчеты, в облаке возникает разброс скоростей, на много порядков превосходящий раз­ брос начальных скоростей.

Однако применение функции распределения и кинетического уравнения к подобным задачам наталкивается на серьезные трудности. Дело в том, что аналитическое решение кинетического уравнения возможно лишь в линейном приближении и лишь при чрезвычайно идеализированных предположениях (плоская волна в однородном электронном газе и т. п.), а методы численного решения разработаны мало. По существу, решать кинетическое уравнение надо, следя за укрупненными частицами и параллельно вычисляя создаваемое ими поле (см. 1-ю и 10-ю лекции), причем приходится брать укрупненные частицы с различными скоростями. В подобных исследованиях чрез­ вычайно важно уметь отделять истинные флюктуационные и пульсационные эффекты, соответствующие физической действительности, от флюктуации и пульсаций, вызванных аппроксимациями при под­ готовке и проведении вычислений.

В заключение остановимся на двух принципиальных вопросах, которые при ближайшем рассмотрении оказываются тесно связанными друг с другом и с проблемой численного моделирования электронного облака. Первый вопрос относится к кинетическому уравнению (1.09): при каких условиях совокупность электронов можно рассматривать как электронный газ (в усредненном электромагнитном поле) и применять к нему кинетическое уравнение в полном виде или же

в упрощенном виде (IV.01), т. е. без учета столкновений электронов друг с другом? Второй вопрос относится к связи между действую­ щим полем и средним полем. Дело в том, что в электронике без особых

усреднения микроскопического поля точечных электронов по физи­ чески бесконечно малому объему (содержащему много частиц, но имеющему размеры, на которых макроскопические величины практи­ чески не изменяются, см. начало этого приложения); 2) поле ЕеН — электрическое поле, усредненное не по объему, а по частицам в этом объеме. Так мы делали на протяжении всей книги, в том числе в дан­ ном приложении, где при выводе кинетического уравнения молча предполагали, что среднее поле, действующее на электроны, есть Е.

электроники, и поэтому ему следует уделить хотя бы несколько слов. Мы придем к цели всего быстрее, если свяжем его с первым вопросом. Пусть плотность электронов в данном элементе объема (число частиц на единицу объема) равна N. Плотность N определяет величину г — среднее расстояние между частицами. В дальнейшем г нам будет нужно лишь для того, чтобы оценивать порядки величин, поэтому мы опреде­

ного движения электронов в среднем гораздо больше их взаимной потенциальной энергии, поэтому индивидуальное взаимодействие электронов возмущает их движение под действием усредненных полей лишь в течение относительно малых промежутков времени. Если отвлечься от этих промежутков времени (их вклад в изменение функции распределения / определяется выражением 5 [/] в кинети-