Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4131 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

справедлива асимптотически, т. е. для достаточно больших t, причем комплексная частота соь мнимая часть которой определяет затухание переменного электрического. поля и заряда во времени (затухание Ландау), определяется уравнением

d ^			(IV.23)
—	dv - f 2лі —	(и)	(IV.23)
—	dv - f 2лі —	(и)
v — u	dv

в котором интеграл берем по вещественной оси и для определенности считаем h > 0. Слагаемые, обозначенные в правой части (IV.22) мно готочием, убывают более быстро, чем выписанное, поэтому нужно брать тот корень уравнения (IV.23), который соответствует минималь ному значению и".

Уравнение (IV.23) также можно назвать характеристическим, но, разумеется, в ином смысле. Благодаря дополнительному слагае мому 2лі ^ (и) это уравнение уже имеет комплексные корни. Иначе это уравнение можно записать в виде

d®

	К	\ —	d v = l ,		(IV.24)
		с
где контур С	охватывает точку		v снизу	и в основном	проходит по
вещественной	оси.
К уравнению (IV.24)		естественным		образом приходим, решая

сформулированную выше задачу Коши. Вводя новые функции (ком плексные амплитуды) с помощью полубесконечных интегралов Фурье

	оо		оо
Z1 (со, г,	v) =-- \ &ш f1 (t, z,	v) dt,	Ф (со, z) =	\ е ш	Ф (t, z) dt,
	о		0
ш должны в	этих интегралах	считать	I m c o X )	для	обеспечения их

:ходимости. Кроме того, в силу начальных условий можно положить,

гто зависимость

этих

функций

от

определяется

множителем

•Jhz(h>0).

Умножая

оба

уравнения

(IV.09)

на

е ш

интегрируя

з пределах

0 < t <

со, в силу

соотношения

оо

j е'ш '

(t,

v)dt=

—

(0, z,

—

е ш

f1 (t,

v) dt

получаем уравнения

(hv — со) Z1

— — іпФ

(D)t

I А

для новых функций /х и Ф (комплексных амплитуд). Находя / х из первого уравнения и подставляя во второе, получаем выражение

оо

v — и

ф=

оо

					4 л е 2		dv
					mh2	V
							и
						—оо
где и = со/n,		Іти > 0, поскольку				мы	считаем h			положительным
a	Imco >- 0.						2), получаем
	Обращая интеграл			Фурье для Ф (to,						выражение
								(<т>0)
которое удобно исследовать, деформируя контур										интегрирования
вниз, в полуплоскость				Imco < 0 ( 1 т ы < 0			при	tt>0).	При этом подын
тегральную функцию,				в частности ее знаменатель, надо продолжать
аналитически, т. е. заботиться о том, чтобы								контур		интегрирования
в	плоскости	v,	который		первоначально		проходил		по		вещественной
оси, т. е. ниже			точки	и,	по-прежнему		охватывал		эту		точку снизу;
это значит, что при l m u < 0 интегрировать в плоскости и надо по кон

туру С, фигурирующему в формуле (IV.24). При достаточно больших

положительных

t функция

Ф (г, z) сводится

к вычету в

точке СО і,

где со і — ближайший к

вещественной

оси

нуль знаменателя функции

Ф (со, г), и мы

получаем

формулу

(IV.22)

уравнение (IV.24).

Если

исходить из уравнения

(IV.21),

то

опять

нужно

заменить

со на со +

iv и и на (co-f- iv)lh,

тогда

уравнение

(IV.24)

будет по-

прежнему

справедливым.

Обозначая

через

«о — JCOQ

решение

этого

уравнения

при v = 0 и через со^ — I ( ° v —

решение при

v >

будем

иметь

COv

СОо,

COv =

СОо

V .

Поэтому при использовании уравнения (IV.21) точка и опять-таки будет ниже вещественной оси, и в характеристическом уравнении (IV.24) нельзя контур С заменять вещественной осью, как это делается в подстановочном анализе.

Ситуация изменяется, если функция ср (v) такова, что уравнение (IV.24) имеет корень 1гпсо>0, соответствующий нарастающим колеба ниям. Тогда надо брать о > Imco, поскольку при о ^ Imco исходный интеграл для Ф (со, г) расходится. Вместе с тем, в уравнении (IV.24) можно вместо С взять вещественную ось, и оно совпадает с уравнением (IV.18), а уравнение (IV.23) неприменимо. Таким образом, для нара стающих колебаний подстановочный анализ случайно приводит к пра вильному результату. Впрочем, быстрое нарастание колебаний обычно происходит при таких условиях, когда распределением скоростей можно пренебречь и подстановочный анализ применим (см. ниже)-

Чтобы облегчить исследование уравнения (IV.24), введем без размерные величины

и опуская значки «~», перепишем уравнение (IV.24) в виде

				•7=				dv=\.			(IV.26)
				1 / 2я
Если обозначить
			F (")=—,—			\	I	dv,			(IV.27)
					У 2 я	^
то	интегрирование по частям				дает
	— ( " ) =		— z z		dv =			—	\		dv,
	du		т / 2 я £ (v — u)2					т / 2 я J		v и
и	далее, заменяя		v на	v—u + u,		получаем
					— 1— u f ( u ) .						(IV.28)
Из определения			(IV.27)	имеем
			H m f ( « ) = - ^ =					n / ( I V . 2 9 )
			«->o		^ 2 я			К	2
так как интеграл (IV.27) сводится при « - > 0 к									половине вычета в точке
v	= 0. Поэтому	в общем решении уравнения								(IV.28)
			F(«) = e - " V 2 ^ C O ns t					— jje'V*		dxj	(IV.30)
надо положить		const = г \|^л./2 или же взять								•
						І оо
			f	(U) =	e-"V2		jj e**/2rfT.				(IV.31)
							u
	Уравнение (IV.26) можно				теперь		переписать в виде
				l+uF(u)		= -		± .			(IV.32)
								" Р

Проще всего его решить при ир > 1, считая неизвестную величину и также большой по абсолютной величине. Из выражения (IV.31) интегрированием по частям получаем асимптотическое раз ложение

F ( u ) = _ ( _ L + J _ + 4 +

(iv.33)

при подстановке которого в уравнение (IV.32) находим

" 2 = " Р ( 1 + 4 - + • • • ) . со2 = ш ^ 1 + А + . . . j ,

( I V . 3 4 )

т. е. чисто вещественные значения и и сор вследствие того, что по фор муле (IV.33) при вещественных и всегда получаются вещественные значения F (и). Однако на самом деле в силу соотношения

і оо	и	і оо	и	>
5 Є*'/2 dt =	— J e*V2 dx + J		et'/2 = — J e*V2 dx + і \ /		— ,
и	0	0	о	Г	2
					2
мы при вещественных		и имеем мнимую часть
		Im/"(") =	] / " \| е - « ' / 2 ,		(IV.35)
экспоненциально малую по сравнению с вещественной частью					(IV.33).

С учетом поправочного слагаемого (IV.35) уравнение (IV.32) принимает вид

1'1 + - + " H i / l - - " " ' - i

иуже не удовлетворяется вещественными значениями и. Переписав его в виде

можно решать его методом	итераций, считая в первом приближении
и = ± « р ; тогда во втором	приближении	получаем
			(IV.36)
Мнимая часть и в силу условия ир > 1		получается экспоненциаль
но малой — она мала не только по сравнению с и',			но и по сравнению
с погрешностью выражения, полученного		для и'.	Тем не менее, от

личие и" от нуля имеет важное значение: колебания затухают с те чением времени, несмотря на отсутствие столкновений и иных дис-

сипативных			процессов.		ир
При		уменьшении			ир	коэффициент		затухания		увеличивается.
Если	выполняется			противоположное			условие		Up •С 1, то		правая
часть	(IV.32)		велика,	и поскольку левая				часть	есть	целая	функция
и, это возможно лишь					при условиях
			е~"2 /2 »		1,	е"'/2 « 1,	U" »	1,	U">U',
когда
і'ос			і оо			—І оо			и'/2
^ e^2dx=			jj e^/2dx+			jj e*42dx = if2n		—		+
U		—і оо				U			U	\	I
											303

и уравнение (IV.32)

принимает вид

-и*/2

(IV.37)

1/2JT U

При очень малых ир

это уравнение

можно

решить,

предполагая,

что

тогда

« " » « ' ,

« ' « 1 ,

(IV.38)

и величину и" мы находим,

решая

вещественное

уравнение

или

V 2 In У 2 я ы2

и"

(IV.39)

величину

ы —из

соотношения

и ' и ' = ± я .

(IV.40)

промежуточных

случаях,

когда

ир

конечно

или

мало,

но

величина и", вычисленная по вто

рой

формуле

(IV.39),

невелика

(если

под знаком

логарифма

в ка

честве

нулевого

приближения

взять ц"-^Л), соответствующее зна

Рис. IV . 1. Затухание

Ландау

(схе

чение

комплексной

величины

можно

найти

лишь

численным

ме

матически). Линии

соответствуют

тодом. Для

нас

является

сущест

формуле

(IV.36), линии 2 — форму

венным

лишь

то

обстоятельство,

лам (IV.39)

и (IV.40).

также

конечна,

т. е. затухание

что

при конечных

ир

величина и"

колебаний

в общем

случае

не

яв

ляется исчезающе малым эффектом; при малых ир колебания фак

тически отсутствуют, вместо		них мы имеем почти апериодический
процесс.
Зависимость и" от и'	изображена на нижней половине рис. I V . 1 .
Отметим, что безразмерная величина ир				согласно формуле (IV.25)
может быть представлена	в	виде
	hva	J_	а =	(IV.41)
		ha

где а — радиус Дебая (см. также задачи 1 и 2 к 1-й лекции). Большие значения ир соответствуют малым ha, тогда можно пользоваться формулой (IV.36), согласно которой затухание экспоненциально мало. При увеличении ha затухание быстро возрастает.

Если переписать формулу				(IV.36)	в виде
со =	± со	—	(ha)2		е 2 (Ла)2	(IV.42)
		2	v	F	8 (Ла
то можно отметить,		что при а -> 0, т. е. при о0 -> 0 [холодная				покоя
щаяся плазма,	функция cp (v) сводится				к дельта-функции б (у)], будем
иметь
			со	± Юр,

т. е. любые неоднородности в плазме приводят к колебаниям с часто той сор, при этом неоднородности сохраняют свою форму. Например»

если

при

t =

О сместить

часть

электронов нейтральной

плазмы из

слоя

в слой 2 (см.

рис. IV.2), то

в слое 1 воз

никнет

избыточный

положительный,

слое

2 — избыточный

отрицательный заряд. Электро

+ +

ны

слое

притягиваются

положительными

+ +

зарядами

слоя

через промежуток

времени

я/2сор нейтрализуют

их, однако

благодаря инер-

ции

электронов

еще

через промежуток

я/2 сор

+ +

в слое 1 будет избыток

отрицательного, а в слое

2 — избыток

положительного

заряда,

в мо

+ +

мент

/ =

2я/сор

восстановится

первоначальное

распределение заряда. Этот результат принад

лежит

Лэнгмюру

(1928

г.), поэтому

сор

часто

IV.2.

Заряжен

называют

частотой

Лэнгмюра.

Рис.

Вследствие

распределения

скоростей

воз

ные слои.

никает

дисперсия, т. е. со зависит

от

Если

ширина d слоев,

изображенных

на

рис.

IV.2, велика

по

сравне-

нию

радиусом

Дебая

а, то

согласно

вещественной

части

со па

формуле

(IV.42)

наряду

с колебаниями

происходит медленное

рас-

плывание слоев: первоначально резкие границы заменяются плав ными переходами, ширина слоев увеличивается и они перекры ваются. Дисперсия, обусловленная тепловым движением электро нов, была впервые найдена А. А. Власовым (1938 г.). Закон дисперсии

	=	dco'	фазовой
таков, что групповая скорость волны v	=	-тг связана с ее	фазовой
таков, что групповая скорость волны v		dh	^
скоростью соотношением v/u' » 3 (ha)2 «		1, т. е. групповая	скорость
весьма мала.

Наконец, имеется еще затухание колебаний, найденное Л. Д . Лан дау (1946 г.). Это затухание приводит, в частности, к тому, что слои (рис. IV.2), толщина которых мала или сравнима с радиусом Дебая -а, быстро рассасываются, не успев совершить большого числа колеба ний, благодаря своеобразному механизму взаимодействия электронов с полем, физическое рассмотрение которого будет дано ниже.

Обобщим теперь формулу (IV.36) на случай произвольной функ ции ер (у). Для этого переместим контур интегрирования с веществен-

ной оси на прямую \mv = — и"; тогда уравнение (IV.24) примет вид

(v — iu")			(IV.43)
v — и'	dv	1,

причем это уравнение годится, в противоположность уравнению (IV.23), при любом знаке и"; интеграл берется в смысле главного з іачения Коши. При достаточно малом значении и" мы можем положить

d(f	=	dcp	^.(v)-iu"-m-(v),
^(v-iu")		dv
dv			dv2

тогда комплексное уравнение (IV.43) разобьется на два вещественных уравнения

dcp

—И

dv + пи —— (и)

v — и'	dv2
dcp	гіф
dv	л —dv ( « ' )
(v)	Ф ( у)
dv2	- do
dv	(у — и ' ) 3
v—и

(IV.44)

(IV.45)

В уравнении (IV.44) малым слагаемым, пропорциональным и", можно пренебречь, и тогда оно определяет и'. Преобразовывая его интегри рованием по частям к виду

<P(f) •dv=l,

(IV.46)

(v—u'

мы можем приближенно решить его, если величина и' велика по срав нению с характерными скоростями, входящими в нормированное рас пределение ф (v). Тогда

Ф(р)			оо
Ф(р)	dv	_ ; ! І	Г , ( 0 , ( 1 + 2 І + 3 £ + . . . ) Л , =
(v — u')	dv	_ ; ! І	Г , ( 0 , ( 1 + 2 І + 3 £ + . . . ) Л , =
(v — u')
		, ' 2	• 2 ^ + 3 ^ + . . . ,
		, ' 2			/2
где v — средняя скорость			электронов,		v2—средний	квадрат скорости.
Таким образом		мы приходим		к	уравнению
	« '	= ± «	, j / 1 +	2 ^	+ 3 - ^ +	... ,

которое легко решается методом итерации и в частном случае рас пределения (IV. 19) приводит к первой формуле (IV.36). При тех ж е условиях, в частности при выполнении неравенств

и' »

Vtf

формула

(IV.45)

первом

приближении

дает

„• «

JL и'* f

(„О = +

JL ul f-

(±

uv),

(IV.47)

где мы положили

и'

±ир.

Величина Ф1

в формуле (IV.22) определяется как удвоенный вычет

интеграла

для Ф (t,

z) в одном из корней

уравнения (IV.24),

скажем

в том, у

которого

и' >

Поэтому

сю

g(v)

Але

оо

4 яе

Г*

g - (f )

u - u

— -

rt2

d/°

fo(v)

„

—

4 я е 2

rfp

2ле2

v '

mft2

J (о— и) 2

—oc

Делая здесь те же аппроксимации, что и при выводе формулы (IV.47), и используя соотношение (IV. 11), мы получаем, что Ф Х « Ф 0 , т. е. слабое экспоненциальное затухание (или нарастание, см. ниже) колебаний зарядов и полей устанавливается практически сразу же, без какого-либо переходного периода. Это значит, что многоточие в правой части (IV.22) имеет чисто символическое значение; фактически оно существенно лишь при больших затуханиях, когда наряду с кор

нями, найденными выше,			существуют и другие корни, для которых
в соотношении (IV.40)		+ я	надо заменить на + 3 я ,		± 5 я , . . .
Это обстоятельство позволяет дать формуле (IV.47) четкую фи
зическую	интерпретацию. Прежде			всего надо учесть, что при линеа-
				*	ЗФ df1
ризации	кинетического	уравнения		мы пренебрегли	членом - g z ^ y

т. е. влиянием переменного поля на возмущенную функцию распреде

ления.	Это переменное поле имеет потенциал Ф, заданный	в виде
бегущей	волны
	Ф =.- Re {Ф0е< ( А * - » ' * ) } = Re {Ф0е<" <*-«'<)}	(IV.48)

и дает нам (см. 7-ю лекцию) периодическую последовательность по тенциальных ям. Эти ямы неглубокие (линейная теория, малые ампли туды!), но они способны захватить электроны, синхронные с волной» у которых скорости заключены в пределах

u'—Av<v<u'+bv,

Д и = і / — | е Ф „ | .

(IV.49)

у т

Будем для определенности считать и' > 0. В системе координат, дви жущейся вместе с волной, скорости частиц при отражении от стенок

потенциальной ямы лишь изменяют свой знак, в исходной же системе координат частицы, у которых и > и', уменьшают свою кинетическую

энергию, а частицы, у которых v < и', — увеличивают. При ^ {и') <. <С 0 число ускоренных частиц превышает число замедленных, по этому волна затухает во времени, при ^~ (и') > 0 частицы «подпиты вают» волну и она нарастает. Последняя возможность реализуется,

например,	для	функции
Ф(0)	=	1 Є ^ 01	4 — Є	2 с о 2	Єх + 8	а = 1, (IV.50)
		1 Є ^ 01	4 — Є	2 с о 2
	1 / 2 я	у 0 1	и 0 2

соответствующей смеси двух электронных газов с разными температу рами и разными средними скоростями Vy и v2. Если функция (IV.50) — двухгорбая, то в ней возможно нарастание волн во времени, т. е. данная система может быть неустойчивой; это будет показано для частного случая исчезающе малых величин v01 и v02.

Чтобы дать более детальную физическую интерпретацию формулы

(IV.47), вычислим величину

где Wk—кинетическая

энергия

электронов в цилиндре с единичным основанием и высотой 2л/h (дли ной волны) по оси г. Вводя относительную скорость до = v — и' и предполагая для простоты, что частица в потенциальной яме движется равномерно и в точке поворота («при ударе о стенку») изменяет скорость до на — до, мы будем иметь

Да

—

ти'

w\w\f°{u'

+ w)dw,

(IV.51)

где

— mu'w

— -~\iu'

— wf—(«'

^ ) 2 l

есть приращение

кинетической

энергии

электрона

со

скоростью

до в результате его отражения, а |до| /° («'

+ до) dw—число

электронов

со скоростью в интервале (до, w + dw),

испытывающих

за

единицу

времени отражения.

Ввиду малости

До мы можем

положить

/°

(u'

w)=f°

(«')

+ —

(«')

и получить

Ас

dWh

, d/°

, ,

, dfa

(Д&)4

я —

-ти—(и)

\ wi\w\dw=—ти

—

(«)v——

dt>

или

—Ac

^ = _ 2

£ ! Ц

' ^ _ (

' )

| Ф 0

| 2 =

_ _ ^,2 _ ^ І Ф ( и 0

. ф

,2.

( I V . 5 2 )

Обозначим через W энергию волны в том же объеме; тогда в начальный момент

	W= — / г 2 \| Ф 0			\| 2	2^ = А \| ф 12
		16я			h	8	1	0 1
и далее, в силу	закона сохранения энергии, мы должны иметь
		<М_			dWk
откуда получаем		dt	~		dt '
откуда получаем
,,"	ш"	l	dW	=	2	2	,	dw і	,ч	/ т , т	е о ч
и	=—	=		=	— - — щ , и			—— (и).		(IV.53)
	h	2hW	dt		л	р		dv v	;	^	;

Сравнивая формулы (IV.47) и (IV.53), видим, что они отличаются

численным множителем:	затухание по формуле (IV.53) получилось
в я 2 / 4 « 2 , 5 раза меньше.	Это объясняется, конечно, грубостью пред

положений, сделанных при выводе формулы (IV.51). На самом деле захваченные частицы движутся иначе, и, кроме того, незахваченные дают небольшой вклад в затухание. Тем не менее этот вывод показы вает, что затухание необходимо с физической точки зрения, и вместе с тем позволяет предвидеть некоторые нелинейные эффекты.

Из проведенного рассмотрения ясно, что электроны, захвачен ные волной, совершают в соответствующей потенциальной яме колеба ния, период которых зависит от их начальной скорости и, лежащей в интервале (IV.49), и, разумеется, от амплитуды волны, которая может

изменяться со временем. Для частиц,				совершающих		гармонические
(при	постоянной амплитуде) колебания вблизи дна потенциальной
ямы,	период равен
	2Т =	2 л	=	2 ^	п ,	(IV.54)
		\|еФ„\|		h	& v

для других захваченных частиц период несколько больше и движение подобно колебаниям математического маятника с большой амплитудой.


Полу период Т		тем больше, чем меньше начальная амплитуда волны.
Пусть	по	формуле	(IV.47) получается с о " > 0 , т. е.			затухание,
причем это	затухание		велико по сравнению с		частотой	соударений
v в формуле		(IV.21), только тогда		последней	можно пренебречь по
сравнению	с	со". Поведение волны		во времени	существенно зависит

от произведения со "Г. Если со "Г <^ 1, то в момент t = Т амплитуда волны будет почти такой же, как и при t = 0, а относительная ско рость ш- изменит свой знак. При тождественности периода колебаний всех захваченных электронов к моменту t = 2Т произошло бы полное восстановление начальной амплитуды волны. Из-за разброса периодов нарастание в интервале Т < t < 2Т должно происходить медленнее,

чем происходит затухание		в интервале	0 < t<cT,	а последующее за
тухание в интервале 2Т <		t <С ЗТ — еще медленнее, так что в конце
концов	изменение амплитуды, по-видимому, прекращается. Однако
точный	расчет всех этих	нелинейных	эффектов	затруднителен, по-

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4131 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ