Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4130 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Выше мы рассмотрели электронный слой, примыкающий к ка тоду; неустойчивость в нем проявляется при образовании электрон ной волны, синхронной с электронами у внешней, «свободной», гра ницы слоя. Если слой имеет две свободные границы, удаленные от

электронов — граничных плоскостей		у =	— б и у = D	(а такие
слои используются в лучевых	приборах типа М), то в нем возможен
и другой механизм неустойчивости. Пусть,			например,
s0—se = / i 6 > l ,	sD—sd	= h(D — d),		(ІГІ.62)

тогда электроды практически не влияют на возмущенное поле и в фор мулах (II 1.42) можно заменить sh (s — s6) на es и sh (s — sD) на e _ s . Ставя граничные условия при s = s0 и s = sd, получаем характерис тическое уравнение

s 0 g ( —so) - f (so-f-l)g'	( — s 0 ) =sdg(—	sd)	— (sd	— l)g '	(— sd)	(ЦІ 63)
Sog(So)— (So-M)g'	(«o)	sdg (sd)	+ (sd	— 1) g'	(sd)

аналогичное уравнению (III.49): при больших отрицательных s0 оно имеет тот же корень (III.50), при больших положительных sd — ана логичный корень, соответствующий электронной волне, синхронной с электронами вблизи нижней границы. Эти корни получаются при больших значениях hd, при которых возмущения на верхней и ниж ней границах слоя не взаимодействую^, а, как можно показать, взаи модействуют возмущения на одной границе с возмущениями в соот ветствующем резонансном слое (III.28). При малых и конечных значе ниях hd (тонкий пучок или длинноволновые возмущения), как мы увидим ниже, возникает неустойчивость другого типа, обусловленная

взаимным усилением возмущений на обеих границах.
	Чтобы рассмотреть			эту неустойчивость,	будем считать		величины
s0	и sd	малыми и	положим
			g(s)	= b0(l + ^+b1(s+^-)			(111.64)
в	духе	формулы	(II 1.58). Последовательно		учитывая	в	уравнении
(II 1.63)		члены порядка		1, s и s2, приходим к простому		характеристи
ческому		уравнению
				s g + s f ^ O ,			(III.65)

в которое константы Ьа и Ьі не входят. Решение этого уравнения приводит к комплексным .частотам

	© = Q ^ ( 1	± 0 .			(III.66)
свидетельствующим	о неустойчивости; при		этом
S o	= - ^ ( _ l = F 0 ,	sd=f(l+i),			(111.67)
так что для справедливости решения (III.66)				должно быть	hd<^l.
Физический смысл решения (III.66) очень прост: электронная вол
на синхронна со всеми электронами		слоя,	и	неустойчивость	реали-

290

зуется тогда, когда искривление верхней и нижней границ электрон ного слоя происходит в фазе, т. е. это есть неустойчивость по отноше нию к волне изгиба. Дл я пучка, примыкающего к катоду, волны изгиба невозможны; чтобы они существовали, необходимы две свобод ные поверхности.

Неустойчивости, рассмотренные выше, обусловлены изменением невозмущенной скорости электронов по толщине пучка и называются

диокотронными. Они проявляются также в режиме усиления									(диоко-
тронный усилитель) и сохраняются					при нарушении условий				(II 1.04)
и (II 1.20). В частности,		изгибная		неустойчивость			сохраняется		и при
условиях (III.16) и (III.18), когда можно пользоваться								выражениями
(II 1.19), из которых следует,			что р 1		=	0. Это позволяет		написать вы
ражения для Ф 1	внутри и вне пучка				в элементарных функциях и по
ставить на его границах условия типа
гіФ1	_	dO^_			=	—P- / г ф і			(III.68)

dy	y=d+o	аУ	\y =	d-%		Qa>P	=d— 0

Для электронного слоя, примыкающего к катоду, в этом прибли жении неустойчивость не возникает; для слоя с двумя свободными границами получается выражение

со = ^-[hd±	V(l— hdf—e-2M],	(III.69)
показывающее, что при 0 <	hd<Z. 1,27, когда подкоренное	выражение

отрицательно, слой неустойчив. При hd <^ 1 и QQ — Q выражение (II 1.69) переходит в выражение (II 1.66), хотя области применимости этих выражений — разные.

Результаты, полученные в приложении I I , показывают, что орби тальное движение электронов в плотных электронных образованиях — в прикатодном слое запертого магнетрона или в электронных языч ках генерирующего магнетрона — приводит к сильной неустойчи вости этих образований, в силу чего они фактически не реализуются, а вместо них образуются электронные потоки с небольшим орбиталь ным движением, накладывающимся на дрейф. Однако эти новые элект ронные образования, в которых траектории электронов мало отли чаются от эквипотенциалей, также являются неустойчивыми вслед ствие того, что в них соседние электронные слои скользят друг отно сительно друга так же, как в рассмотренном выше плоскопараллель ном слое. Развитие этих неустойчивостей в пространстве и во времени и создает нерегулярные колебания, накладывающиеся на стационар ный режим генерации. Вместе с тем, различие в скоростях соседних электронов благодаря развитию неустойчивостей может до известной степени сглаживаться, как на рис. II . 2 .

Формула (III.69) показывает, что величина Imco пропорциональна величине Q о. определяющей изменение стационарной скорости элект ронов по толщине пучка,, т. е. скольжение элементарных электронных слоев. При увеличении магнитного поля или уменьшении плотности заряда величины Q0 и Imco уменьшаются, но неустойчивость сохра няется.

10*

291

В приложении I I	мы рассматривали двухпоточное	состояние,
в котором электронные	потоки с противоположными	скоростями

пронизывали друг друга, преобразуясь один в другой на границах слоя; такое состояние оказывается настолько неустойчивым, что факти чески его осуществить нельзя. Однопоточное состояние, рассмотрен ное выше, соответствует ламинарному, т. е. более упорядоченному потоку: в нем электроны, движущиеся с существенно различными скоростями, отделены друг от друга пространственно. Это не мешает возникновению неустойчивостей, но делает их развитие во времени менее бурным.

Неустойчивости, обусловленные различными скоростями элек тронов, в наиболее отчетливой форме проявляются при наличии двух электронных потоков с различными, но близкими скоростями (см. при ложение IV) . Если же электроны в облаке движутся как частицы твердого тела, то при не слишком больших плотностях такое облако устойчиво. Известен, впрочем, только один пример такого движения, а именно кольцевой электронный поток (в частном случае — круговой), который может иметь также любую постоянную скорость, перпенди


кулярную поперечному сечению пучка. При постоянной				плотности
электронов, удовлетворяющей условию 2сор < й 2	, такой		электронный
поток устойчив (см. приложение I) , в то время	как соответствующий
плоскопараллельный поток, как показано выше, всегда				неустойчив
по отношению к длинноволновым возмущениям	( Ы <		1,27).
Устойчивость сплошного цилиндрического потока проверялась
экспериментально; оказалось, что при 2а>1 <	О2	достигается прак
тически полное прохождение пучка через сколь угодно				длинную
систему. Полый цилиндрический пучок без скольжения			элементарных
слоев осуществим лишь при наличии внутреннего		цилиндрического
электрода, несущего тот же заряд, что и «удаленная»			часть пучка.

Плоскопараллельный пучок следует рассматривать как предельный случай кольцевого потока со скольжением.

Таким образом, круговой электронный поток без скольжения —

это единственный устойчивый остров		в	океане	неустойчивостей.
Применение	устойчивых круговых пучков		(или	пучков, близких
к ним) характерно для приборов типа		О и, по-видимому, определяет
многие их	преимущества.

СП ИС ОК ЛИТЕРАТУРЫ К П Р И Л О Ж Е Н И Ю III

1.Б а н е м а н. Линейная теория приборов магнетронного типа. «Электронные сверхвысокочастотные приборы со скрещенными полями», т. I. Изд-во ино странной литературы, 1961, стр. 310—335.

2.В. С. С т а л ь м а х о в. Основы электроники сверхвысокочастотных прибо

	ров	со скрещенными полями. Изд-во «Советское радио», 1963.
3.	В. С. С т а л ь м а х о в.			Электронные волны в сверхвысокочастотных лу
	чевых приборах со скрещенными полями. Изд-во СГУ, Саратов,				1970.
4.	В. К- Ю л п а т о в.		К теории диокотронного эффекта в тонком		электронном
	пучке. «Электронная техника», сер. I, Электроника СВЧ, 1969, № 11, стр. 12
	— 17.
5.	О.	В и п е m а п, R.	Н.	L e v y , L . М. L і п s о п. Journ. Appl. Phys.,

1966, v. 37, № 8, p. 3203—3222.

П р и л о ж е н и е IV

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ, ДВИЖУЩИХСЯ С РАЗЛИЧНЫМИ СКОРОСТЯМИ

Во всех электронных приборах электроны взаимодействуют друг с другом, и это взаимодействие определяет все свойства приборов. Поскольку взаимодействие электронов осуществляется посредством создаваемого ими поля, то даже их взаимодействие с синхронным полем резонатора или волновода можно свести, в конце концов, к взаимодей ствию (запаздывающему) электронов друг с другом. Однако обычно так не делают, и взаимодействие электронов с синхронным полем рас сматривают отдельно по той простой причине, что это — главное в ра боте прибора. Поэтому под взаимодействием электронов понимают, как правило, нерезонансное взаимодействие посредством поля про странственного заряда.

Это взаимодействие проявляется во всех электронных приборах, а также в плазме, где ряд явлений, вызываемых этим взаимодейст вием, изучен достаточно подробно. В данном приложении будут рас смотрены следующие вопросы:

1) формальный вывод кинетического уравнения для заряженных частиц;

2) затухание Ландау и неустойчивости при наличии двух или нескольких электронных потоков, их физическая интерпретация, а также сравнение с неустойчивостью, имеющей место в лампе с бегу щей волной;

3) условие применимости кинетического уравнения, равенство действующего поля среднему и возможности моделирования элект ронного облака.

Начнем с вывода кинетического уравнения для системы, характе ризуемой функцией распределения

/ (t, г, v) = / (t; х, у, г\ vx, v„, v2 ),

т. е. содержащей столь большое число частиц, что можно применять

статистический

подход.

Пусть

каждая

частица в данный момент

имеет

определенное

положение

(вектор

имеет

составляющие

х,

у, z)

и определенную

скорость

(вектор

имеет

составляющие

v y , vz ) и поэтому

характеризуется точкой в шестимерном «фазовом

пространстве»

х, у,

\ х ,

v y ,

v z . Вместо

того,

чтобы

рассматривать

каждую точку,

мы рассматриваем

все точки в элементе

объема

dr dv = dx dy dz dvx dvy dvz

фазового пространства. По определению функции / число точек в эле менте фазового пространства равно

f(t, г, \)drd\ — /(/; х, у, z; vx, \ у ,	v z ) dxdydzdv x dv y dv z .
В этих соотношениях все дифференциалы	(dx, dv , и т. д.) являются

«физически бесконечно малыми», т. е. они настолько малы, что функ

ция / и другие физические величины при изменении х на	и vx на
dvx изменяются очень мало, и вместе с тем число частиц,	координаты

и скорости которых лежат в элементе drdv, должно быть достаточно большим.

Пусть электроны (или другие частицы) движутся согласно урав

нениям (1.06), которые		можно переписать		в виде
	r = v,	v = - U E +				F
	r = v,	v = - U E +				т
		т (				т
или в координатной записи
x = vx,	vx=—[Ex-\		Hz	с	Hv	=	—,
		m \	с	с	v	j	m
y = v„.	v , = - ^		с нх—	Vx
y = v„.	v , = - ^		с нх—	С	* • )		m
z = vz,	<iz = — [Ez		+ Vxс Ну-	с н х			m

Эти уравнения определяют движение точек, соответствующих час тицам, в фазовом пространстве: скорость движения этих точек есть вектор с составляющими х, у, z, v x , v y , v z , дивергенция этой шести мерной скорости

дх	дц	дг	d v x	d v „	d v r
л - ч - ^ - + — + — + — + — = о
дх	1 ду	1 dz	dwx	dvy	dvz

обращается в нуль согласно уравнениям движения. Поэтому точки движутся как частицы шестимерной «несжимаемой жидкости», и элемент фазового объема drdv, соответствующий данной совокупности

точек, остается при движении	неизменным: •
—	(drdv) = 0.
dt к	'

С другой стороны, число точек fdrdv в этом элементе объема также сохраняется, если этот элемент движется вместе с точками, а точки движутся в соответствии с движением реальных частиц. Поэтому

-±(fdrdv)=--0

и в силу сохранения фазового объема мы имеем

df	= 0.

Выписывая явно полную производную во времени, получим в коорди натном представлении кинетическое уравнение

df	df	df	df	Fx	df	Fy	df	Fz	df
— +	Vj.	r-v„	\-vz	1		1	• -\|		= 0,
dt	dx	dy	dz	m	dvx	m	дчу	m	dwz
	например, x						Fx
в котором,	например, x		заменено	на v*,		a v ,	— на		согласно урав

нениям, выписанным выше. Более краткая векторная запись того же уравнения имеет вид

^	+ v i	+ l	i = 0.	(IV.01)
dt	dr	т	dv

Как мы видим, это уравнение является следствием сохранения фазового объема drdv при движении. Фазовый объем, как можно показать, сохраняется и при релятивистских уравнениях движения, если его определять как drdp, где

— обобщенный импульс частиц, А — векторный потенциал. Фазо вый объем не сохраняется, если имеются диссипативные силы, на пример, если в правой части уравнения для \ х имеется член—г)уж ;

тогда ^	= —41=7^0. Сила	радиационного торможения, входящая
в правую	часть (1.08), также	является	диссипативной силой, подоб
ной силе	трения.
Вывод уравнения (IV.01) является			вполне строгим, если частицы

не взаимодействуют и движутся во внешнем поле, которое на них действует с силой F . Заряженные частицы, разумеется, взаимодейст вуют друг с другом, причем двояким образом: они создают дополни тельные токи и заряды, сглаженные плотности которых определяются формулами (1.10), и, следовательно, дополнительное электромагнит ное поле, накладывающееся на поле, создаваемое внешними источни ками, и, кроме того, взаимодействуют друг с другом при сближении на расстояния, малые по сравнению со средним расстоянием между частицами. Такое «индивидуальное» взаимодействие частиц носит характер столкновений (соударений) между частицами или же харак тер флюктуации, накладывающихся на сглаженные поля. Мы qbopмально распространяем уравнение (IV.01) на заряженные частицы, понимая под F силу, обусловленную суммарным электромагнитным полем, и пренебрегая индивидуальным взаимодействием частиц. В конце данного приложения мы вернемся к вопросу о законности такого подхода, сводящегося к рассмотрению совокупности заря женных частиц как некоторого «идеального газа» в усредненном поле. Сейчас только отметим, что учет индивидуального взаимодей ствия частиц важен для исследования того, как система приближается

к состоянию статистического равновесия. Так, учет соударений моле кул в кинетической теории газов позволяет вывести закон возрастания энтропии и уравнения гидродинамики (газодинамики); состояние равновесия характеризуется законом распределения Максвелла — Больцмана. В сверхвысокочастотной электронике рассматриваемые электронные потоки обычно весьма и весьма далеки от состояния статистического равновесия, а время пролета электронов через прибор, как правило, мало по сравнению с эффективным временем соударений (или, что то же самое, размеры приборов малы по сравнению с эф фективной длиной свободного пробега электронов). Поэтому индиви дуальное взаимодействие частиц в сверхвысокочастотной электронике не учитывается, а при теоретическом анализе принимаются во вни мание только коллективные взаимодействия, обусловленные сгла женными полями.

Специфические черты коллективного взаимодействия электронов, имеющих различные скорости, были первоначально обнаружены при исследовании колебаний в плазме. Так было найдено «затухание Ландау», которое при некоторых условиях может изменить знак, и тогда данная электронная система будет неустойчивой — способной усиливать или генерировать колебания.

Рассмотрим плоские волны в бесконечной однородной плазме. При этом ограничимся, во-первых, достаточно высокими частотами, при которых ионы можно считать неподвижными и учитывать лишь колебания электронов, и, во-вторых, линейной теорией, т. е. будем считать электрическое поле волн и возмущение функции распределения достаточно малыми. Без ограничения общности будем также считать,

что волны распространяются			по оси г,			так что кинетическое				уравнение
(IV.01) принимает	вид
df	df	Fx	df	—	Fu	df	Fz	df		(IV.02)
— +	v z — +	—	— H	—	-	—	+ —	—	= 0 .	(IV.02)
dt	dz	m	dvx		m	dvy	m	dvz

Плоские волны, распространяющиеся по оси z, от х и у не зави сят; они могут быть как поперечными, так и продольными. Для про дольных волн

^ = ^ = 0, Fz=eEz=-ed-^,

(IV. 03)

где Ф = Ф (t, z) — потенциал продольного электрического поля, удовлетворяющий уравнению Пуассона

^ - = -4ne(\fdv-N),

(IV.04)

в соответствии с первой формулой (1.10); —eN > 0 есть постоянная объемная плотность заряда, обусловленного ионами. В формулах (IV.02) и (IV.04)

f,-f(t,z;vx,vy,vz),

(IV.05

и если

ввести

новую

функцию

оо

f (t,

г,

v) =

\ \ f (t, z\

vx,

v„, vz ) dvxd\ryi

v =

vz ,

(IV.06)

ОС

то для

нее будем

иметь

уравнение

, i L

_ J

i L

= 0 )

(IV.07)

которое

является

нелинейным,

поскольку

потенциал

Ф сам

зависит

от f согласно уравнению (IV.04).

Положим

теперь

оо

f = f°(v)+f1(t,z,v),

f>dv =

(IV.08)

— 00

где N — число электронов на единицу объема (их заряд при отсут ствии возмущений полностью скомпенсирован ионами, см. выше).

Пренебрегая	произведением			^	получаем систему		линейных
уравнений
df1	. dp-	е	<ЗФ dfo		Л
—	+ v -к		•	— = 0,
dt	dz	т	dz	dv	ОО
					ОО
			—	=	~4ле \	pdv.	(IV.09)
			^		-	V

Первоначально к решению этой системы подходили формально, с позиций «подстановочного анализа», а именно искали частное реше ние этой системы, имеющее вид

z, t)) = R e { g ( u ) e ' ( t e - m f ) } , Ф 0 , z) = Re {Ф0е* <**-«<>}. (IV. 10)

где g (v) — неизвестная функция продольной скорости, а Ф 0 — по стоянная, связанная в силу второго уравнения (IV.09) с g (v) со отношением

оо

ф о = ї	$ S(v)dv.	(IV. 11)
А *	-00

Первое уравнение (IV.09) принимает вид

i(hv~oo)g(o) — -L/Л ф 0 ^ = 0.

(IV. 12)

Оно показывает, что частное решение в виде (IV. 10) существует только, если функция g (v) имеет вполне определенный вид, а именно

dfo °о

g(v) = ^

g(v)dv.

(IV. 13)

hV — 0) J

—оо

В частности, если обе величины со и h вещественны, то функция g (v) обращается в бесконечность при v — a>/h (т. е. при скорости электро нов, равной фазовой скорости данной плоской волны), а тогда, во-

оо

первых, интеграл J g (о) dv, строго говоря, не имеет смысла, а, во-

— оо

вторых, функцию f1 нельзя считать малой и при линеаризации пренебрегать произведением ^ - ^ - или, что то же, произведением шФ0

Поэтому при вещественном волновом числе h следует частоту со считать комплексной, а при вещественной частоте со считать комплекс ным h. Зависимость между с* и h (характеристическое уравнение) при указанных выше ограничениях получается путем интегрирова ния соотношения (IV. 13) по и в виде

г*

{ v )

4 я е 2

dv=\.

(IV.14)

hv — со

—oo

Вводя нормированное

распределение

скоростей

плазменную частоту

(IV. 16)

обозначение

и =

и' — ш " = — ,

(IV. 17)

можно переписать уравнение (IV. 14)

виде

J ^

u p

= ^ .

(WAS)

v-—u

—oo

В простейшем случае, когда скорости

электронов

распределены

по

Максвеллу,

мы

имеем

с р ( у ) = — L - e ~ ^ ,

t»0

i X " — ,

(IV. 19)

У2я

где k — постоянная

Больцмана, Т — электронная температура, v0

—

средняя квадратичная скорость

электронов

(ср.

с величиной [ о]

задаче 1 к 1-й

лекции).

Используя

тождество

v—и'—iu"

V —и'4-ій"

(и — и ' ) 2 + (и")2

легко отделяем в уравнении (IV. 18) вещественную часть от мнимой и приходим к двум вещественным уравнениям

°°	dw	<»	d®	(V)
Г	(v-u')-f(v)		-f	(V)

"•І	\	~—dv	= \, и" \	dv=0	(IV.20)
P	J	(v — « ' ) 2 + ( " " ) 2	J	(V — u ' ) 2 + ("")2

для двух неизвестных u' и u", если волновое число h задано и веще ственно. Легко видеть, что при и"фО система уравнений (IV.20) решений не имеет, так как в силу второго уравнения (IV.20) первое принимает вид

оо

_ Л І

«р

dv=

p—

\ —

dv=l,

и мы видим, что

существенно

отрицательная

величина

положитель

ной (единице) равна быть не может. Если же считать, что и"

0, то

возникают трудности, о которых говорилось после формулы

(IV. 13);

кроме того, при

и" = 0 переход

от формулы (IV.12) к формуле

(IV. 13)

неоднозначен, поскольку

в правой части (IV. 13) можно еще

написать

слагаемое

F (со, К) б (v

—

и), где F — произвольная функция;

тогда

уравнение

(IV. 12)

все

же удовлетворится,

применение

(IV. 13)

интегрирования

по

(если

его

произвести,

например,

смысле

главного значения

Коши)

вообще

не

дает какой-либо

связи

между

со и h, т. е. в данной задаче характеристического уравнения в том смысле,' как мы его пытались ввести выше, вообще не существует.

Положение не изменяется, если первое уравнение (IV.09) за менить уравнением

%. + v%-~L		ff=~vf>,	(IV.21)
at	dz	m dz dv

где правая часть учитывает соударения (обычно соударения электронов

с ионами), v > 0 — эффективная			частота		соударений. В этом случае
формулы	(IV. 12) — (IV. 14)	останутся в			силе, если со заменить на
со + iv,	а в формулах (IV. 18) — (IV.20)				положить
		,	. „	со +	f v
	и —и—ш			=	,
				h
и подстановочный анализ по-прежнему не приводит к цели.
На недопустимость подобного формального подхода к решению
кинетического уравнения		впервые		указал Л. Д . Ландау, который

дал корректное решение задачи Коши для системы (IV.09), а именно

решил	ее	при		начальных условиях
		f1	(0, z, v) = Re {g (v) e'f t z }, Ф (0, z) =		Re {Ф0 e'"2 },
где Ф 0	и	g	(v)	связаны соотношением (IV. 11).	Полученное решение

(см. ниже) показывает, что при заданном вещественном волновом числе h формула

Ф(*. г) = Re {ф2 е < ( л г - ш . 0} + ...

(IV.22)

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4130 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ