книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

П р и л о ж е н и е III

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СИММЕТРИЧНОГО ЭЛЕКТРОННОГО ОБЛАКА В СКРЕЩЕННЫХ ПОЛЯХ (ОДНОПОТОЧНОЕ СОСТОЯНИЕ)

В предыдущем приложении показано, что двухпоточное состояние электронного облака неустойчиво даже по отношению к возмущениям, оставляющим его симметричным. Фактически оно никогда не реализуется, и вместо него образуется состояние, близкое к однопоточному, в котором вместо двух встречных потоков имеется лишь один поток, движущийся в основном параллельно катоду.

Рассмотрим идеальный однопоточный режим в плоском магнет­ роне. Он характеризуется постоянной плотностью заряда (р = const) и движением электронов в прикатодном слое 0 < у < d в направлении оси х. В этом случае первое уравнение (3.04) удовлетворяется автома­ тически, а второе принимает вид

мой формулой (11.09), подставить плотность заряда р. Впрочем, при

а тогда соответствующие соотношения просто совпадают. Соотноше­ ние (II 1.04) получается, если потребовать, чтобы для однопоточного режима была справедлива формула (11.02), т. е. чтобы электроны, движущиеся параллельно катоду, имели тот же первый интеграл,

Мы получаем систему линейных дифференциальных уравнений

в которой все функции зависят только от одной переменной у . Эту систему преобразовываем следующим образом: 1) из первого и вто­ рого уравнений находим возмущенные скорости х1 и у 1 , выражая их

гіфі

через Ф 1 и ; 2) подставляя эти скорости в четвертое уравнение, найдем р1 ; 3) подстановкой в третье уравнение получаем для Ф 1 ли­ нейное дифференциальное уравнение второго порядка, решение кото­ рого позволяет найти зависимость всех переменных величин в элект­ ронном слое от координаты у . Первый этап преобразования дает вы­ ражения

Второй этап преобразования дает довольно громоздкое выражение

которое при условии (111.20) принимает вид

(111.23)

В дальнейшем мы ограничимся исследованием возмущений при уело вий (III.20), всегда выполняющемся для магнетрона: лишь для луче вых приборов типа М имеет смысл исследование плоских электрон ных потоков при нарушении этого условия. Третий этап преобразова ния приводит к уравнению

но считать заданным и вещественным, если ставится условие циклич­ ности по оси х, приводящее к соотношению

L есть длина средней окружности цилиндрического магнетрона. Если отрезок плоского магнетрона ограничивается проводящими перегород­ ками при X = 0 H X = L , T O возникает аналогичное условие (в котором 2ля заменяется на ля), хотя при этом требуется принимать во внима­

сигнала, и характеристическое уравнение определяет возможные значения комплексного волнового числа я (ср. 6-ю и 9-ю лекции).

т. е. когда катод практически совпадает с нижней границей электрон­ ного пучка, а анод достаточно удален от верхней границы. Можно положить

причем знак «+» дает нарастание колебаний со временем, т. е. неу­ стойчивость. Формулы (III.50) и (III.51) пригодны при Ы > 1 , а такие значения hd в силу соотношения (III.44) всегда возможны (при достаточно больших п); фактически формула (III.51) дает удов­ летворительные результаты уже при hd ж 2. При hd < 1,54 неустой­ чивость исчезает и частота со становится вещественной.

Как мы видим, основной вывод о неустойчивости однопоточного состояния в плоском магнетроне получается в результате численного счета, поскольку аналитически получить формулу (III.50) не удается. Это затрудняет исследование других, более сложных, случаев, на­ пример исследование того, как влияет анод, кривизна пространства взаимодействия и т. д. Иногда для анализа устойчивости электрон­ ного пучка вводится предположение (вообще говоря, необоснованное), что внутри пучка, как и вне его, потенциал Ф 1 удовлетворяет уравне­ нию Лапласа; при этом граничные условия вида (III.37) сохраняются.

обращающим в нуль знаменатель правой части (III.54). Сравнивая значения (II 1.55) и (II 1.50), мы видим, что уравнение (II 1.52) дает разумную аппроксимацию Resd, но преувеличивает значение Imsd почти на порядок. Это неудивительно, так как выражение (II 1.53) совершен­ но не соответствует действительному ходу функции g(s), изображен­ ному на рис. II 1.1.

Фактически значение (III.50) можно считать малым, а при малых

определяющее распределение потенциала в электронном слое вблизи его верхней границы (при у < d, скажем, при — sd < s < sd). Между

Рис. J/J.3. Эквипотенциали синхронной волны вблизи границы электронного слоя (схематически); сильные поля имеются также при s ж — 1-

постоянными Ь0 и bi должно существовать определенное соотношение, обзспечивающее выполнения условия Ф 1 = 0 при S = s 0 .

Из соотношений (III.50) и (III.51) следует, что

с электронами, находящимися вблизи верхней границы слоя. Дей­ ствительно, отношение Р\Єсо/п равно фазовой скорости волны, a Qd есть невозмущенная скорость электронов на верхней границе слоя;