книги из ГПНТБ / Барский И.Б. Динамика трактора

Коэффициенты

при вариациях обобщенных координат

являются обобщенными силами:

Qv = - Q ( S i , £1) + Q 2 ( l - Х о ) - х 0 Л 1 г ;

QE« = - Q ( £ „ ,

У

+ Q2Xo + x0Mz;

Qc'i =

- Q ( S l , S i ) +

Q 2 ( i - X o ) - x X ;

Qc'n = — Q

Sn) + Q2Xo + XoMz;

= Q z ( l - X o ) - X o M 2

- 2 Q ( ^ '

S')5Cn;

(67)

i =2

кт«Ст + 2

^ ( i k + i ' k +

<7ft)+Q(s„,

и

=

k=\,n

n—l

= QzXo + x o M z - 2

Q'(S*

(68)

t=2

m , ( S i + ^ i ) + |iiiST +

^

i*i*(Sft + S* +

^ * )

+

Q(Sl,

=

* - l , n

= Q 2 ( i - X o ) - x ; M 2 - 2 ] x n K ( ^ ' + ^ ) +

Qfc: , &)] ;

(69)

( - 2

ft-i,n

n—l

= Q2Xo + X 0

M z

- 2

Х|»МС<' + ?,) + <г(£, &')];

(70)

1 = 2

J''t+

2 ^ * ( E *

+ Ei + ^ ) + Q ( & r . W

= 0;

(71)

* - 1 ,n

m t(l'i+qt)

+ Q{ti,il)

=

Q{Zt,ii)

(i = 2 , 3

, . . . , n - l ) ,

(72)

U'

= У

S П фи,

+ M0%i + JQ(x0y

XT + ХДо

( - ^ ) ( 1 - Х т ) - Х Д 0

здесь

cos

Ф20

R

0

J, =

/-

sin фго

\

j _ .

. '

Пять

уравнений

(67) — (71)

совместно

с п — 2

уравнения­

ми связи

(61)

и п — 2 уравнениями

(72) позволяют

полностью

решить

задачу

о колебаниях трактора

как

системы,

имеющей

п + 3 степеней

свободы. Уравнения

(67) — (71)

в

связи с

наличием

членов,

отражающих

упруго-демпфирующие силы

функциями

деформации

и скорости

деформации упругих

связей

являются нелинейными дифференциальными урав­

нениями.

Прежде

чем

перейти к их

решению, рассмотрим

простейший случай

колебаний системы,

когда упруго-демпфи-

Q(£<,C<) = C & + K & ,

(73)

где Си Кг — постоянные коэффициенты, называемые

жестко­

стью и коэффициентом

демпфирования.

Рассмотрение линейной задачи

подрессоривания

трактора

просто просмотреть влияние параметров системы

на

плавность

хода машины. Линейные

дифференциальные

уравнения

доста­

точно точно описывают малые

колебания

системы

подрессори­

вания

трактора.

При

увеличении

амплитуд

колебаний

возможно включение дополнительных упругих элементов

(излом

характеристик) и

т. д.,

тогда

линейное

приближение

оказы­

вается

недостаточным.

Уточнение результатов,

полученных

в первом приближении, выполняется при рассмотрении

нелиней­

ных зависимостей для упруго-демпфирующих

сил.

После

подстановки

Q(Z,'{,

£•

)

из

выражения

(72)

в

уравнения

(69) — (71)

получим

совместно с уравнением

(61)

систему ли­

Mt+Kt + a ^ Q c ^ W + Q',

(74)

£ — столбец обобщенных координат;

Q, — столбец возмущающих

сил, который можно

выразить

с помощью суммы столбцов

ускорений

неровностей

2{1г-<7г и столбца сил сопротивления орудия

Q'.

Обозначим

элементы матриц

М, К,

С, fi,-, Q'

через т^,

Kji,

Cji, pjj, Q '.,

а матрицы столбца £ через Q, где

/,/

= 1 , 2 , 2n + 1.

ац(р) = milP* + К„р + C[h

I, j =

1, 2,. . .,

2п + 1.

Матричному

уравнению

i = i

соответствует система

линейных

алгебраических

неоднородных

уравнений

2Пу£ап{рШр)

=

2 i V 7 < +

Q'h

/ =

1. 2,. . ., 2n +

1.

(75)

ы 1

i

Пользуясь правилом Крамера,

можно

из

уравнения

(75)

определить неизвестные Z,i

D(p)

где

ОЦ{Р)

а п ( Р )

•••А\

,2п+1

(Р)

D(P)

=

а 2 п + 1 , А Р ) а 2 п + 1 . 2 ( Р ) - - - а 2 п + 1 . 2 п + М

определитель матрицы

А,

а оператор Mji(p)

представляет

собой

минор определителя D(p),

получающийся

при

вычеркивании

/-го столбца и /-й строки. Из определения

D(p)

и Mji(p)

следует,

D(p) = 0

(76)

Pk = ak + Р«-

Если

характеристическое

уравнение

(76)

имеет

только

четные степени р, то его корни оказываются

чисто

мнимыми.

При этом

модули мнимых чисел определяют частоты

собствен­

ных колебаний

системы.

Вещественная часть корня

определяет

затухание

в

системе.

Переходя к определению частного решения

£в г(0

неоднород­

ного уравнения

(74),

необходимо задать

вид

функции возму­

щающих

сил.

Будем

полагать, что для

функций

возмущений

существует преобразование

Лапласа.

Преобразованием Лапласа для функции f(t)

называют

функцию F(p)

комплексного аргумента р

Ltf{t)]

=

F{p)=\f(t)e-i*dt.

(77)

о

Зная преобразование

Лапласа

F(p),

можно найти

ориги­

нал — функцию f(t)

с помощью формулы обращения

С+ 1аа

№

= -±г

Г

F(p)e!*dp.

2т

J

с— ioo

При р = /со, с =

0 преобразование Лапласа совпадает

с пре­

образованием

Фурье.

Тогда t,Bi(t)

находится по формуле обращения

С + 1 0 О

£ в / ( 0 = т т

\

Ф»(р)ЬШе^р,

(78)

е.—ioo

где

L

((?;,) = L (Qci)

+

J

[(Щ1Р + *п)Ш

+ ' Ы / ( 0 ) ] ;

ОО

здесь L(QCj)

=

| QCj(t)e-ptdt

—преобразование Лапласа

функ-

0

— начальные (при t

= 0) зна­

ции возмущающих сил; ?г(0); £i(0)

чения переменных.

Для построения функций t,(t) или z(t)

необходимо

вычислить

интеграл по уравнению

(78). Интеграл может быть представлен

так:

где D(p)—определитель

характеристического уравнения;

М{р) — полином относительно р.

Тогда имеем

J = 2 n f ^ '

(79>

п

где ph — корни характеристического уравнения (76).

процесс,

Описав

с помощью формулы (79)

переходный

можно определить и критерии

оценки

подвески

при

действии

единичного

и гармонического

воздействия. В

первом случае

необходимо вычислить выражение

F(p)=

[ q0 sin vie-P'dt

=

—

[ l _ e - P * ] .

,1

p2

+ v2

о

При расчете на случайное воздействие вычисляют дисперсии

выходных величин (перемещений, ускорений).

Дисперсия выходной координаты

равна

с о

оо

£?(*) = —

fsv (e))d«D = -

i -

[\<S>fl(i<u)\zSQ .(co)dco,

(80)

о

0

где Sy (o>) И SQC J

— спектральные

плотности выходной и

вход­

ложении двух коррелированных воздействий имеем

%(со) = SQci (со)| Ф/ 7 («о)|* + SQck(<a)\Фк1(ш)\2

+

Интеграл

(80) может

быть

вычислен

в замкнутом виде.

Однако

это

громоздко

и

целесообразно

лишь

в простейших

случаях.

При

расчете

подрессоренных

систем

рекомендуется

использовать

численный

метод

определения

среднего

квадрата

переменных. Этот метод состоит в том, что множители |Ф,г(/со) | 2

и SQij(w)

в выражении

(80) вычисляют

отдельно, затем

соответ­

зависимость численно

интегрируют

или планиметрируют

пло­

щадь под кривой произведения.

Такой

способ целесообразен

по

следующим

причинам:

во-первых,

он освобождает от

громоздких

преобразований,

связанных

с вычислением интеграла

(80); во-вторых, характер

протекания

модуля

передаточной

функции

и

спектральной

плотности

воздействия

в зависимости

от со представляет

само­

вано спектральной

плотностью

S(co) = pS0(co),

(82)

где р — случайная

величина,

функция распределения

которой

приведена в гл. IV.

Итак, при определении среднего квадрата выходной

коорди­

наты следует

рассматривать

случайными

передаточную

функ­

цию системы

и спектральную

плотность

воздействия.

В

связи

с различным происхождением этих двух

случайных

характе­

ристик их можно считать некоррелированными.

Подставляя уравнение (82) в уравнение (80) и

осредняя,

получим

00

М (С?) = М(р)~

^ | Фц(т)\2S0Qc

/(со)с?со.

(83)

г!

В этом выражении | ФЦ(too) |2 — среднее значение

квадрата

модуля передаточной функции.

Если передаточная функция имеет п случайных параметров,

относительные отклонения которых от номинальных

значений

ной функции в общем

случае

СО

оо

СО

| Ф ( ш ) | 2 = j

j . . .

\ \Ф(ш,

a,,

a2...)\2W{au

а2 > . ... а„) X

— о о — оо

— о о

х dau da2,

• • •, dan,

где W(ai)—дифференциальная

плотность

распределения си­

ристику дисперсии

—плотность распределения вероятностей.

Подставляя

уравнение

(82) в уравнение (80), можно предста­

вить среднее

значение

квадрата в виде произведения случайной

W(lJ) =

w{^—\-±—.

\

(С?)о / (ь2 )„

нения на интервале

изменения переменной,

где

характеристика

подвески

линейна.

Рассчитывая движение системы до момента,

соответствующего

излому

характеристики,

находят

значения

переменной

и ее производной

в конечной

точке.

Полученные

данные используют

как начальные

условия

для

рассмотрения

движения

системы

на втором линейном участке,

но

уже с дру­

гими параметрами,

и так далее

до

тех пор, пока

переходный

процесс,

вызванный

единичным

возмущением,

не

затухнет.

На каждом линейном отрезке кусочно-линейной

характеристики

справедливо

решение

линейных

дифференциальных

уравнений.

Поэтому

при всех расчетах используются одни и те же

расчет­

ные формулы — решение

линейного дифференциального

урав­

нения при ненулевых начальных условиях.

линейные упругие и демпфирующие силы в виде двух

слагаемых:

линейной части и нелинейной

Qiti,

it) = QAb,

Id +

QAU,

U

Затем положим

где ДСг и АКг — некоторые,

пока

неизвестные,

постоянные

коэффициенты; они определяются из условия минимума

средней

квадратичной ошибки, которая

возникает

от замены

функции

Q H ( £ I , £ г ) линейной функцией.

Формулы для АС, и AKi

в соответствии

с работой

[14] для

симметричной характеристики имеют вид

00

оо

АС,- =

oc

— ,

(84)

j ( ; - / n t ) J w ( E K

где

CO

CO

/TIS =

J ' S ^ M ;

(85)

—oo

CO

I"

QH(E)C^(C i)d£dt

. ЛЛ',- -,

:

.

(86)

•

oo

J

i2wd)dt

СО

00

Qo=

|

j

QAUmtiWdt

(87)

— 00 —00

где

£) —совместная

плотность вероятности

переменных £

и ? .

Приведенные

формулы

существенно

упрощаются,

если

нелинейная функция QH (£, Q может быть представлена в виде

суммы:

Q H ( S , C ) = Q H C ( £ ) + Q H * ( О ,

где первое слагаемое зависит только от деформации,

а второе

только от скорости деформации.

Расчет

нелинейной

системы

подрессоривания

методом

ста­

тической линеаризации можно выполнить следующим

образом.

Положим,

что переменные

£ и £ распределены по нормальному

закону, полностью

определяемому

математическим

ожиданием

/«5 и дисперсией

aj,

at

• Тогда

добавки

АС, АК

и

постоянная

составляющая Q0 являются функциями т^, aj

и a j

и

вида

нелинейности. Полагая в

первом

приближении

добавки

рав­

деляют значения tn-^{),

a E ( 1 ) ,

m^l)

, a? ( "

в первом

и

прибли­

жении. Затем с помощью зависимостей

(84) — (87)

первого

приближения т^1),

CTJ( ", О

находят

значения

добавок

АС, АК и постоянной составляющей

Q0 во втором

приближении

и снова решают систему линейных уравнений,

и так

далее до

тех пор, пока не будет достигнута достаточная

точность. Это до­

статочно трудоемкий

процесс,

поэтому

расчеты

следует вести

с применением ЭЦВМ.

В некоторых простых

случаях

удается