книги из ГПНТБ / Толшин В.И. Основы автоматики и автоматизации энергетических установок учебник

Так как обычно Wo6(0) U7p(0) > 1, то

1

a sk arctg

^ ’р(О)'

Статические характеристики реальных систем

Статические характеристики реальных элементов, как правило, не являются прямой линией и имеют зону нечувствительности. Нечувствительность объясняется наличием сил сухого трения,

° )

Рис. 4.24. Построение реальной статической характеристи­ ки САР

зазоров, непрямолинейность — физическими свойствами элемен­ тов. Например, зависимость прогиба мембраны от давления прямолинейна только при величинах прогиба, соизмеримых с толщиной мембраны. Перемещение муфты центробежного измерителя скорости пропорционально квадрату угловой скорости

140

Глава 5

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

§ 5.1. Общие понятия

Система регулирования называется устойчивой, если регулируе­ мая величина после отклонения, возникшего в результате внешнего воздействия, по истечении некоторого промежутка времени возвра­ щается к заданному значению .с точностью, соответствующей ста­ тической точности системы. Устойчивая система, выведенная и.з установившегося состояния внешним воздействием, после его устранения должна возвратиться к прежнему состоянию равно­ весия.

Явление устойчивости или неустойчивости в системах регули­ рования энергетических установок можно рассмотреть на примере системы регулирования частоты вращения. '

Пусть на каком-либо установившемся режиме работы ДГ про­ изойдет подключение или отключение нагрузки, после чего в сети потребителей нагрузки не будет каких-либо, изменений. Если система регулирования устойчива, то частота вращения, а также другие параметры системы регулирования (например, ход рейки топливного насоса) с течением времени станут постоянными. ■Их установившиеся значения определяются статической характеристи­ кой САР частоты вращения ДГ.

Если же система регулирования скорости ДГ неустойчива, то возникнут незатухающие или расходящиеся колебания, либо про­ изойдет монотонное изменение как частоты вращения, так и других

параметров.

Устойчивость системы может быть установлена на основе ана­ лиза корней характеристического уравнения системы регулирова­ ния. Рассмотрим дифференциальное уравнение системы регули­ рования

+

142

В этом случае система находится на границе устойчивости, так как благодаря наличию пары чисто мнимых корней величина у будет изменяться по синусоиде (рис. 5.1, кривая 3).

При наличии положительных вещественных корней или корней с положительной вещественной частью процесс будет расходя­ щимся (рис. 5.1, кривые £, 4), у,г=^0, а система регулирования — неустойчивой.

Следовательно, если известно расположение корней характери­ стического уравнения, то можно ответить иа вопрос: устойчива или неустойчива система. Таким образом, вид правой части дифферен­ циального уравнения САР не влияет на результаты анализа ее устойчивости.

Изложенное справедливо для систем регулирования, описывае­ мых линейными дифференциальными уравнениями. Реальные системы имеют нелинейности. В ряде случаев удается линеаризо­ вать систему путем разложения функциональной зависимости в ряд Тэйлора и отбрасывая члены ряда, имеющие степень выше первой.

Вместе с тем возникает вопрос: насколько в этом случае ре­ зультаты линейного анализа устойчивости будут соответствовать характеру поведения реальной системы регулирования?

Обоснование возможности использования линейного анализа для реальной системы с. нелинейностями малой кривизны, которые могут быть разложены в ряд Тэйлора, дается в следующих теоре­ мах Ляпунова:

1. Если характеристическое уравнение линеаризованной систе­ мы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то реальная система будет также устойчивой, т. е. малые нелинейные члены не могут в этом случае нарушить устойчивость системы.

2.Если характеристическое уравнение линеаризованной систе­ мы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то реальная система будет так же, как и линеаризованная, неустойчивой, т. е. малые нелинейные члены не могут сделать ее устойчивой.

3.При наличии нулевых и чисто мнимых корней малые нели­ нейные члены могут сделать систему устойчивой или неустойчивой. Поэтому в таком случае для определения устойчивости необходимо учитывать члены ряда Тэйлора со степенями выше первой.

Следует отметить, что сформулированные теоремы Ляпунова рассматривают устойчивость линеаризованной системы при изме­ нении переменных вблизи установившегося положения, т. е. вблизи точки, относительно которой происходила линеаризация нелиней­ ностей. Это означает, что рассматривается устойчивость «в малом».

Определение корней характеристического уравнения линейной системы представляет собой сложную задачу, если степень харак­ теристического уравнения выше трех. Поэтому в теории автомати­ ческого регулирования рассматриваются методы, которые позво­ ляют судить об устойчивости лишь по значению коэффициентов характеристического уравнения, без определения его корней.

144

Эти методы сводятся к группе алгебраических и графо-анали­ тических (частотных) критериев устойчивости и рассматриваются ниже.

§ 5.2. Необходимое условие устойчивости

Одним из весьма важных и наиболее простых критериев устой­ чивости, позволяющих дать ответ на вопрос о том, может ли система регулирования быть устойчивой, является так называемое необходимое условие устойчивости. Для вывода этого условия рас­ смотрим характеристическое уравнение системы регулирования в общем виде

где X, Х2) .. . , Х„ — корни характеристического уравнения системы.

Допустим, что система регулирования устойчива и все корни уравнения (5.5) лежат слева от мнимой оси. Если все корни ве­ щественные, то уравнение (5.6) примет вид

где aj > 0, а2> 0, .. . , ал > 0.

После перемножения членов (5.7) получим уравнение вида (5.5). Коэффициенты а.], аг, . .., ап уравнения (5.5) будут положитель­ ными, если ао>0, или отрицательными, если ао<0. Следовательно, коэффициенты характеристического уравнения устойчивой системы регулирования (все корни которого являются вещественными) должны иметь один знак.

Если корни уравнения (5.5) комплексные с отрицательной вещественной частью, то (5.6) примет вид

После перемножения членов получимуравнение вида (5.5). Коэффициенты аи . . . , ап будут положительными, если ао>0, и отрицательными, если а0< 0.

На основании изложенного можно сделать следующий вывод:

для устойчивости системы регулирования необходимо, чтобы все

коэффициенты характеристического уравнения имели один и тот же знак.

Сформулированное условие необходимо, но недостаточно, по- ' тому что в системах, описываемых уравнениями третьего порядка и выше, все коэффициенты характеристических уравнений могут иметь один знак, но система регулирования при этом будет не­ устойчивой. Вместе с тем сформулированное условие позволяет точно определить факт неустойчивости системы регулирования, если хотя бы один коэффициент характеристического уравнения имеет знак, отличный от знака других коэффициентов.

Пример 5.1. Проверить выполнение необходимого условия устойчивости для • характеристического уравнения:

а) Х-1 + ЗХз + Х= + 2Х + 1 = 0;

б) Х-1— ЗХз + Х2 + X+ 1 = 0.

От в е т . Уравнение а). Необходимое условие устойчивости выполняется,, система регулирования может быть устойчивой.

Уравнение б). Необходимое условие устойчивости не выполняется, система неустойчива.

§5.3. Критерий Гурвица

Калгебраическим критериям устойчивости относится критерий устойчивости, сформулированный математиком Гурвицем (1895 г.). Этот критерий позволяет определить устойчивость системы регу­ лирования на основании анализа коэффициентов характеристи­ ческого уравнения (5.5). Для этой цели из коэффициентов состав­ ляется матрица вида

Матрица содержит п строк и п столбцов. По ее диагонали рас­ полагают по порядку все коэффициенты характеристического' уравнения, начиная со второго — а\. Порядок заполнения осталь­ ных ячеек столбцов следующий: ячейка, находящаяся сверху, за­ полняется коэффициентом, соответствующим порядковому номеру, на единицу более высокому, чем порядковый номер коэффициента, стоящего в ячейке, расположенной ниже. Ячейки, 'расположенные в каждом столбце ниже а0 и выше а„, заполняются нулями.

В соответствии с критерием Гурвица, который приводится без доказательства, для устойчивости системы регулирования необхо­ димо и достаточно, чтобы при Яо> 0 были больше нуля все

146

главные миноры матрицы (5.10) и определитель Д„, соответствую­ щий всей матрице, т. е.

А1 = «! > 0;

Если все коэффициенты характеристического уравнения поло­ жительны (необходимое условие устойчивости выполняется), то

# „ > 0, а вследствие того, что Ап= Ап_г ап, нет необходимости в вы­ числениях Д„, который будет больше нуля.

В качестве примера рассмотрим частные случаи составления

Согласно критерию Гурвица ао>0; Ai = ai>0. Уравнение 2-го порядка имеет вид '

£2(,Х2-j- ( X -|~ (Х2 = 0.

вица и необходимое условие устойчивости приводят к одним и тем же зависимостям, поэтому необходимое условие устойчивости будет

идостаточным.

Калгебраическим критериям относится также критерий Рауса. Недостатком алгебраических критериев является сложность состав­

ления определителей в случае систем уравнений с порядком выше 4-го.

§ 5.4. Критерий Михайлова

Советским ученым Михайловым в 1936 г. был сформулирован графо-аналитический критерий. Для анализа устойчивости системы составляется дифференциальное уравнение САР. По полиному

характеристического уравнения определенным образом строится его графическое изображение, которое получило название кривой Михайлова. На основании вида кривой Михайлова анализируется устойчивость САР. Рассмотрим вывод критерия Михайлова.

Характеристическое уравнение системы имеет вид

Подставим в (5.11) и (5.12) вместо X мнимую величину /со, где угловая частота' колебания со может быть произвольно изме­

Рассмотрим характер годографа Михайлова при условии, что система регулирования устойчива и, следовательно, все корми на­ ходятся слева от мнимой оси.

Согласно (5.14) величина M (jсо) может быть представлена как

годограф вектора, соответствующего произведению п комплексных

П

Так как по условию САР устойчива, то Xft<T) и Rk~>0. Поэтому

П\

величина П ЯА> 0 при всех значениях со.

На рис. 5.2 показаны векторы, соответствующие комплексным корням Xf и X, , с отрицательной вещественной частью, а также

векторы (усо — XJ и (уш—Х.+1). Как видно из рисунка, при и) = — оо векторы (усо — Хг) и (уш — Xi+1) будут направлены парал­

148

Легко показать, что если имеется т корней, лежащих справа от мнимой оси, то изменение со от — оо до + со вызовет поворот соответствующих векторов по часовой стрелке на угол —л.

Следовательно, если система регулирования неустойчива и имеет т корней, лежащих справа от мнимой оси, то при изменении ш от — оо до + оо

где т — число корней, лежащих справа от мнимой оси, а п — степень характери­ стического уравнения.

Приведем окончательную формулировку критерия Михайлова.

Для того чтобы система регулирования была устойчивой, необходимо и до­ статочно, чтобы вектор годографа характеристического уравнения при со=0 был направлен по положительной вещественной полуоси и с ростом со от 0 до + Р°

поворачивался против часовой стрелки с монотонным возрастанием аргумента

и

на угол -g - п (где п—степень характеристического уравнения системы). При этом

длина вектора при всех значениях ш должна быть отлична от нуля.

Годограф, удовлетворяющий требованиям критерия Михайлова, называется правильным в отличие от годографов, построенных для неустойчивой системы и называемых неправильными.

На рис. 5.3 показаны правильные годографы Михайлова для устойчивых систем регулирования 2, 3, 4 и 5-го порядков. По оси абсцисс откладывается вещественная часть вектора Л1(/ш) X(со), по оси ординат — мнимая /Г(со).

149