книги из ГПНТБ / Толшин В.И. Основы автоматики и автоматизации энергетических установок учебник

Глава 8

ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛЕМЕНТАХ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ

§ 8.1. Общие сведения. Виды нелинейностей

Реальные системы автоматического регулирования, как пра­ вило, содержат нелинейные звенья, т. е. звенья, описываемые не­ линейными дифференциальными уравнениями.

Напомним, что исследование устойчивости нелинейной системы можно свести к исследованию устойчивости линейной системы только в том случае, если нелинейная зависимость может быть представлена в виде сходящегося степенного ряда.

Однако некоторые нелинейности не могут быть линеаризованы путем разложения в ряд Тейлора. К таким нелинейностям, часто встречающимся в системе автоматического регулирования, отно­

характерны как для регуляторов котлов, так и для других энерге­ тических установок.

Наличие нелинейностей при определенном типе структуры системы и сочетании ее параметров, может привести к возбужде­ нию в системе устойчивых периодических движений — автоколеба­ ний с недопустимой по величине амплитудой. Автоколебания относительно часто возникают в системах регулирования энергети­ ческих установок.

Анализ устойчивости переходных процессов и автоколебаний возможен с помощью специальных методов, которые следует раз­ бить на две группы: точные методы и приближенные [30].

К т о ч н ы м м е т о д а м исследования нелинейных систем отно­ сятся, в частности, метод фазовых траекторий, метод припасовы-

200

Рис. 8.1. Типовые нелинейности систем автоматического регу­ лирования:

а — идеальное реле; б — реальное реле; в — зона нечувствительности; г — люфт (зазор); д — ограничение; е — возможное сочетание нели­ нейностей

20Г

вания, частотный метод В. М. Попова, метод сечений пространства параметров и др.

П р и б л и ж е н н ы м м е т о д о м исследования является метод гармонического баланса.

§8.2. Точные методы исследования нелинейных систем

Кточным методам исследования нелинейных систем относятся,

вчастности, метод фазовых траекторий, метод припасовывания, частотный метод В. М. Попова, метод сечения пространства пара­ метров. К точным относятся также прямой метод Ляпунова, метод точечных преобразований и др. [30]. Каждый из перечисленных методов имеет специфические особенности. Например, метод при­ пасовывания в основном может быть использован для исследова­ ния релейных систем. Метод сечения пространства параметров применяется при синтезе корректирующих устройств. Исследова­ ние нелинейных систем точными методами в ряде случаев пока

еще затруднительно.

Метод фазовых траекторий

Метод фазовых траекторий является одним из основных мето­ дов исследования, на его основе базируется ряд других методов. Предварительно и рассмотрим применение метода фазовых траек­ торий для исследования устойчивости линейной системы 2-го по­ рядка.

Исследование устойчивости линейной системы 2-го порядка. Пусть переходный процесс в системе автоматического регулирова­ ния описывается уравнением 2-го порядка

Введем обозначение для скорости изменении pci улирусмии

.личины z Тогда уравнение (8.1) преобразуется к виду

Разделив первое уравнение на второе, получим

Уравнение (8.3), в отличие от (8.2), не содержит времени t, хотя описывает тот же физический процесс.

В результате решения уравнения (8.3) получим функцию, z (у), т. е. зависимость скорости изменения величины у от самой вели­ чины у.

'202

Допустим, что в уравнении (8.1) Qi = 0; а2> 0; следовательно, корни характеристического уравнения, соответствующего выраже­ нию (8.1), мнимые. Известно, что в этом случае линейная система находится на границе устойчивости и в ней существуют незатухаю­ щие колебания, амплитуда которых определяется начальными усло­

и соответствует определенному сочетанию z и у. Так, например,'

рость отклонения от положения равновесия равны нулю. Поэтому начало координат фазовой плоскости соответствует состоянию рав­ новесия и называется особой точкой.

Состояние равновесия может быть устойчивым и неустойчивым. В зависимости от этого и от вида фазовых траекторий особые точки

203

Т а б л и ц а 8.1-

Х а р а к тер и ст и к и о с о б ы х точек н ел и н ей н ы х си стем

Седле

I

204

имеют различные наименования. В частности, показанная на рис. 8.2 особая точка называется центром. В табл. 8.1 представлены изме­ нения отклонения регулируемой величины во времени и соответ­ ствующие фазовые траектории в зависимости от величины коэффи­

ствуют особые точки: устойчивый фокус и устойчивый узел. Особая точка центр соответствует незатухающим колебаниям (система, описываемая соответствующим уравнением, находится на границе устойчивости). Неустойчивые особые точки узел, фокус и седло соответствуют неустойчивой системе. Исключение составляет слу­ чай, когда изображающая точка М попадает' на одну из фазовых прямых особой точки седло во втором4 или четвертом квадранте. Процесс при этом должен быть затухающим.

Таким образом, с помощью фазовых траекторий можно иссле­ довать линейные системы 2-го порядка. Метод фазовых траекторий может быть также использован для анализа нелинейных систем 2-го и 3-го порядка.

Непосредственное интегрирование нелинейных уравнений в ряде случаев весьма затруднительно. В то же время фазовые траектории могут быть построены значительно проще. Фазовые траектории и особые точки для нелинейных систем имеют такой же характер, как и для линейных систем. По расположению особых точек и виду фазовых кривых судят о динамике нелинейной системы.

Для построения фазовых траекторий нелинейных систем исполь­ зуют способ изоклин. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых угол наклона к оси абсцисс касательной к фазо­

вой траектории постоянен.: -щ = const. Рассмотрим пример иссле­

дования нелинейной системы методом фазовых траекторий, по­ строенных с помощью изоклин.

Пусть система автоматического регулирования описывается не­ линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка вида

( 8.6)

Требуется определить, устойчива ли она, имеются ли автоколе­ бания?

205

ciz

Положим, что -^-= const = c. Найдем уравнение изоклины:

получаем различные г.

Построим изоклины на фазовой плоскости. Это построение выполнено на рис. 8.4, а. Стрелками показано направление каса­ тельных, соответствующих каждой из построенных изоклин. Для по­ строения фазовой траектории необ­ ходимо вначале взять точку на фа­

а амплитуда колебаний увеличиваться до значения, определяемого замкнутой фазовой траекторией, которую назовем предельным циклом.

206

Если начальные отклонения системы велики, то в последующем амплитуда колебаний будет уменьшаться до значения, соответ­ ствующего предельному циклу.

Особенностями фазового портрета нелинейного уравнения 2-го порядка (8.6), отличающими его от фазового портрета линейного уравнения порядка (8.1), являются:

—наличие сразу трех типов фазовых траекторий и особых

точек;

—изолированность замкнутой фазовой траектории.

Из рис. 8.4, а видно, что при любых начальных отклонениях-

в системе должно установиться периодическое движение, соответ­ ствующее предельному циклу. Это движение, происходящее при отсутствии возмущений, называют автоколебаниями. Если систему вывести из состояния автоколебаний, то, в соответствии с рис. 8.4, а, она должна будет вернуться к автоколебательному движению вновь. Поэтому автоколебания будут устойчивыми периодическими движениями.

Легко показать, что если в уравнении (8.6) перед скобкой стоит знак «+ », то вид фазовых траекторий системы будет соответство­ вать рис. 8.4, б. В этом случае при малых отклонениях система устойчива, а при больших неустойчива. Периодические движения будут неустойчивыми. ,

Таким образом, метод фазовых траекторий позволяет исследо­ вать устойчивость нелинейной системы и автоколебания. Однако применять его для систем с порядком выше 2-го весьма сложно.

Устойчивость «в малом», «в большом» и «в целом». Предель­ ные циклы. Понятия об устойчивости «в малом», «в большом» и «в целом» позволяют классифицировать характер поведения нели­

Укажем на фазовой плоскости у, z системы с фазовым портретом (рис. 8.5) область начальных отклонений, которые возможны по условиям технической эксплуатации системы. Эта область возмож­ ных начальных отклонений на рисунке заштрихована.

Система называется устойчивой в малом, если на фазовой плос­ кости можно указать такую область, на которой после любого весьма малого, начального отклонения, принадлежащего этой области, изображающая точка приближается к особой точке, соот­ ветствующей равновесному состоянию.

Если при всех возможных по условиям технической эксплуата­ ции начальных отклонениях система приближается к особой точке, соответствующей равновесному состоянию, то регулируемый режим

вается полуустойчивым).

На рис. 8.5,6 изображена система, устойчивая в малом и не­ устойчивая в большом. Предельный цикл, разделяющий сходя­

207

щиеся и расходящиеся фазовые траектории, называется неустой­ чивым, так как при любом весьма малом отклонении системы от предельного цикла она не возвращается . в состояние движения, соответствующее предельному циклу.

На рис. 8.5, в приведена система, неустойчивая в малом. Пре­ дельный цикл, показанный на этом рисунке, является устойчивым, так как соответствует автоколебаниям.

Рис. 8.5. Фазовые портреты системы при различных видах предельных циклов и устойчивости системы «в малом», «в большом» и «в целом»

Если область устойчивости не ограничена и охватывает все фазовое пространство, как это показано на рис. 8.5, а, т. е. если система устойчива при любых начальных отклонениях, то она на­ зывается устойчивой в целом. В.этом случае нелинейная система по структуре своего фазового пространства эквивалентна линейной.

§8.3. Приближенный метод исследования устойчивости

иавтоколебаний

Сущность метода гармонической линеаризации

Мощным методом исследования нелинейных систем является метод гармонической линеаризации. Сущность его состоит в том, что колебания в нелинейной системе рассматриваются как гармо­

208

нические. На самом деле периодический режим в нелинейной системе не всегда близбк гармоническому. Поэтому подобная за­ мена возможна лишь в случаях, которые рассматриваются ниже.

Итак, сущность метода состоит в следующем. Допустим, что в системе автоматического регулирования, схема которой представ­

щем случае является не одна синусоида, а ряд гармоник. Поэтому характер колебания величины у отличается от синусоиды, как это показано на рис. 8.7. Однако для анализа автоколебаний ис­ пользуется лишь первая, т. е. низшая, гармоника (кривая у\ на рис. 8.7). Следовательно, нелинейный элемент НЭ условно при­ нимается линейным.

Рис. 8.7. График колебательных режимов к систе­ ме рис. 8.6 при синусоидальном изменении вели­ чины Х\

Если в рассматриваемой реальной системе существуют устой­ чивые колебания, то это означает, что входная величина ЛЧ и пер­ вая гармоника на выходе линеаризованного НЭ связаны равен­ ством

Задача анализа автоколебательных режимов сводится к опреде­ лению амплитуды и фазового угла выходной величины НЭ путем