книги из ГПНТБ / Толшин В.И. Основы автоматики и автоматизации энергетических установок учебник
.pdfИспользуя интегральную оценку качества / ь дадим ответ на следующий вопрос: каким образом изменение коэффициента уси ления регулятора повлияет на качество регулирования в переход ном процессе?
Так как Ф (р)= |
У(Р) |
то при ступенчатом изменении нагрузки |
|
|
А ( р ) ' |
|
|
на номинальную величину А.= 1 получим |
|||
|
/] = |
lim Y (р ) = |
11т Ф (р ). |
|
|
р -*0 |
р —0 |
Для САР с регулятором, состоящим из позиционных звеньев, согласно (6.3),
На основании полученного результата можно сделать следую щий вывод: повышение коэффициента усиления регулятора кр
приводит к уменьшению величины интегральной оценки качества Л и в случае, если переходный процесс в системе носит апериодиче ский характер, может повысить точность регулирования на пере ходных режимах.
Однако необходимо отметить, что в этом случае речь идет о возможности повышения точности лишь в определенных преде лах. Увеличение kp приводит к уменьшению запаса устойчивости и увеличению колебательности процесса регулирования. Поэтому при значительном повышении /гр использование интегральной оцен ки качества 1\ может быть неправомерным для оценки точности регулирования на переходных режимах.
Достоинство интегральных методов оценки качества — относи тельная простота их вычислений для уравнений невысокого по рядка.
Корневые методы
Корневые методы оценки качества основаны на зависимости вида переходного процесса от корней характеристического уравне ния. Критериями оценки качества при корневом методе служат с т е п е н ь у с т о й ч и в о с т и и к о л е б а т е л ь н о с т ь .
Под степенью устойчивости ц понимается абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня характери стического уравнения системы регулирования.
Решение дифференциального уравнения системы имеет вид
у = |
sin |
+ |
тО + |
сче~а4 sin |
+ Тз) + • • • |
+ |
|
|
+ cfi |
lt sin |
+ "(;) + ... |
(6.22) |
|
Пусть |
у]= а;. Чем меньше г|, тем больше величина |
e~ai‘ и тем |
||||
медленнее |
затухает |
соответствующее слагаемое решения (6.22), |
180
которое будет оказывать наиболее существенное влияние на всю сумму. Поэтому чем меньше г|, тем медленнее затухает у.
Графической интерпретацией колебательности системы является
угол cp = arct'g— ,в который вписываются наиболее отдаленные от
действительной оси корни характеристического уравнения системы,
где |3— мнимая часть |
наиболее |
отдаленного |
|
|
|||
от действительной оси корня, а — его вещест |
|
|
|||||
венная часть (рис. 6.19). Чем меньше величи |
|
|
|||||
на ср, тем меньшее влияние |
на |
решение диф |
|
|
|||
ференциального уравнения системы оказывают |
|
|
|||||
члены решения, обусловливающие наиболее |
|
|
|||||
высокую частоту колебаний р, тем меньше |
|
|
|||||
число .колебаний в период |
переходного |
про |
|
|
|||
цесса. |
|
качества |
сводится |
|
|
||
Корневой метод оценки |
|
|
|||||
к, тому, что на основании |
требований к |
ка |
|
|
|||
честву регулирования |
устанавливают |
пре |
Рис. 6.19. |
К оценке |
|||
дельно допустимые значения г] и ф. |
Следова |
||||||
тельно, определяются границы области на пло |
качества с |
помощью |
|||||
корневых методов |
|||||||
скости корней, внутри |
которой |
должны |
ле |
|
|
жать корни характеристического уравнения (см. заштрихованную область на рис. 6.19).
Затем с помощью специальных способов определяют прибли женные значения корней характеристического уравнения и их рас положение на комплексной плоскости.
Рассмотрим,.например, как по заданной длительности переход ного процесса tn определить требуемую величину т].
Условимся считать, что длительность переходного процесса определяется временем изменения регулируемой величины на 95% от ее максимального изменения в этом переходном процессе. Как было сказано выше, оно определяется ближайшим к мнимой оси корнем характеристического уравнения. Следовательно, если экспо нента, соответствующая ближайшему к мнимой оси корню, имеет
вид у = се~л\ то при t = 0, |
yQ= c и |
при,^=оо, у(со) = 0. |
При |
|
няв, что |
окончание переходного процесса соответствует точке |
|||
у = 0,05с, |
получим выражение для определения длительности |
пере |
||
ходного процесса t„: |
|
|
|
|
откуда |
0,05с = ce~vtn, |
|
||
|
1 |
, , 3 |
|
|
|
|
(6.23) |
||
|
<„ = Т |
1П 0,05 |
т) |
Если в общем случае отклонение регулируемой величины рав
но 6, то, обозначив -^- = /?г, получим
In т
=
V
181
По выражению (6.23) можем определить величину г|, если ве личина ta задана:
3
Для оценки качества системы с помощью корневого метода в общем случае необходимо определить корни характеристического уравнения. Для этой цели существуют специальные методики при ближенного определения корней.
Находя корни характеристического уравнения, можно найти, каким значениям степени устойчивости и колебательности может удовлетворять рассматриваемая система. Наиболее просто, без определения корней, задача решается, если оценивается влияние на качество регулирования коэффициента усиления разомкнутой системы.
При необходимости оценки влияния других параметров тре буется определять корни характеристического уравнения, что сложно.
Недостатком корневых методов является ограничение коли чества параметров, влияние которых на качество регулирования может быть исследовано.
Диаграмма Вышнеградского
Выдающийся русский ученый Вышнеградский предложил метод анализа системы регулирования, описываемой уравнением 3-го по рядка. Этот метод основан на построении и анализе специальной диаграммы, называемой диаграммой Вышнеградского. Эта диа грамма позволяет судить не только об областях устойчивости, но и о качестве регулирования. Работа Вышнеградского положила начало теории автоматического регулирования.
Рассмотрим характеристическое уравнение третьего порядка
|
OqX3 -(- fljX- а 2Х-р cl§= |
0. |
(6.24) |
В него вводится новая переменная^ = х { / — • Тогда |
|
||
|
V |
as |
|
|
q3 + Aq* + Bq + 1 = 0 , |
|
(6.25) |
У aids |
V a0al |
|
|
При дальнейшем анализе варьируемые параметры А и В назы ваются параметрами Вышнеградского.
Очевидно, если обратиться к условию устойчивости Гурвица, то для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы ЛЯ>1. На рис. 6.20 приведена диаграмма Вышнеградского. Гипербола АВ = 1, соответствующая границе устойчивости, отделяет область устойчивости от области неустойчивости. Таким образом, исполь зуя диаграмму, можем найти область устойчивости.
182
Разобьем область устойчивости на отдельные части, соответ ствующие различному расположению корней характеристического уравнения. Для точки С, где А ~ 3 и В = 3, уравнение (6.25) при нимает вид (д + 1)3 = 0. Следовательно, в этой точке корни харак
теристического уравнения <71= <72= <7з = —1 вещественные, отрица тельные.
Рис. 6.20. Графики равных величин степени устойчивости для системы 3-го порядка
Задаваясь условиями суммирования комплексных корней, мож но найти уравнение кривых, отделяющих области / и II (рис. 6.20) с двумя комплексными корнями и одним вещественным и об ласть III с вещественными корнями. В области I комплексные корни лежат ближе к мнимой оси, чем вещественный; в области II они дальше от мнимой оси, чем вещественный. В области III имеет ся три вещественных корня.
Уравнение кривых, отделяющих области /, II и III, имеет вид
—А 2В 2 А- 4 |
(А + В)2 — \ЪАВ + |
27 = 0. |
|
Графики переходных |
процессов, соответствующих I, |
II и |
|
III областям, показаны на рис. 6.20. В области III переходный про |
|||
цесс затухает по экспоненте, а в области / |
процесс носит |
более |
|
колебательный характер, |
чем в областях III |
и II. |
|
183
Диаграмма Вышнеградского разрешает выбрать варьируемые параметры Л и В с учетом как быстроты, затухания переходного процесса, так и уменьшения колебательности. Кривые (рис. 6.20), соответствующие разным величинам степени устойчивости цо для уравнения (6.25), получены при помощи корневого метода. На границе устойчивости iio= 0, с удалением от границы устой чивости г)о возрастает.
Пример 6.4. Требуется произвести оценку |
качества процесса |
регулирова |
ния САР частоты вращения дизель-генератора, |
структурная схема |
которой была |
представлена на рис. 5.15.
Характеристическое уравнение замкнутой системы принимает вид
Т ,2Т ар* + ТаТкр а + |
ЬТар + 1 = 0 . |
Приведем это уравнение к виду (6.25) |
и определим А и В: |
Условие устойчивости рассматриваемой САР
ьтатк > т\.
По диаграмме Вышнеградского можно установить, что если САР близка к границе устойчивости, то повышения степени устойчивости можно добиться, увеличивая постоянные времени вязкого трения, степень неравномерности изме рителя и время разгона дизель-генератора.
Глава 7
ПОНЯТИЕ О КОРРЕКЦИИ И СИНТЕЗЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
§ 7.1. Коррекция введением производных на вход системы
Для улучшения качества регулирования в систему вводятся дополнительные корректирующие звенья или дополнительные кор ректирующие воздействия по производным от возмущения, пода
ваемого |
на вход системы |
(рис. |
|
|
|||
7.1). |
Величиной х |
на рисунке |
|
|
|||
обозначается |
возмущающее или |
|
V/(p) |
||||
управляющее |
воздействие; |
связи |
|
||||
показаны сплошными линиями. |
|
- я (-) |
|||||
Предлагается |
скорректиро |
-1 ш J |
|||||
вать эту систему с помощью не |
|
|
|||||
которой |
корректирующей |
цепи, Рис. 7-1. |
Структурная схема САР |
||||
включаемой |
параллельно |
внеш с введением коррекции по возмущаю |
|||||
нему |
воздействию |
(см. пунктир |
|
щему воздействию |
|||
ные линии). |
|
|
|
|
|
||
Пусть дано, что |
|
ь |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
а0р п + |
ахр п~^ + |
... + |
ая_гр + ап ' |
Полагаем, что передаточная функция корректирующего звена |
|||||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
W K(Р) = CiP + |
СгР2, |
(7.1 > |
т. е. в общем случае вводится сигнал, соответствующий первой и второй производной:
dx , d2x Cl~ d t +C2~dP'
Ответим на вопросы, каким образом влияет коррекция:
1) на точность системы регулирования в установившихся ре жимах?
185-
2)на качество переходных процессов (от ступенчатого сигна
ла) ?
3)на устойчивость?
Для анализа влияния коррекции на статическую точность соста вим передаточную функцию замкнутой нескорректированной систе мы регулирования
ФЛР) = 1 |
W(P) |
(7.2) |
|
+ W(P) |
|||
|
|||
и скорректированной |
|
|
|
(Р) = (1 + С\Р + |
саРа) l + W ( p j ' |
(7-3> |
Статическая точность САР может быть установлена на основа нии анализа величины ошибки, которая в соответствии с § 6.2 опре деляется величиной Ф(р) при (р —0).
Как видно из сравнения (7.2) и (7.3), при р —0
ФК(Р) = Фн(Р)-
Рассмотрим, как влияет введение коррекции на качество пере ходных процессов при ступенчатом изменении входного сигнала.
Допустим, что ВЧХ нескорректированной |
|
замкнутой системы |
||||||||
Ян (со) |
соответствует кривой ра |
(рис. |
7.2). |
Предположим также, |
||||||
|
|
что |
в |
|
выражении (7.1) |
С)= 0; |
||||
|
|
с2>0, |
т. е. имеется |
коррекция |
||||||
|
|
только по второй производной. |
||||||||
|
|
Тогда |
ВЧХ |
скорректированной |
||||||
|
|
системы |
примет |
вид |
|
|
||||
|
|
Я к Н = |
( 1 - ^ ) Я н(ш). (7.4) |
|||||||
|
|
Если |
Ян (о>) (рис. |
7.2) |
имеет |
|||||
|
|
большой пик, то, подбирая вели |
||||||||
|
|
чину |
с2, |
можно |
получить |
зави |
||||
|
|
симость |
Як(ш) в соответствии с |
|||||||
|
|
кривой |
Як |
(рис. 7.2), |
а это озна |
|||||
|
|
чает, |
что |
в |
скорректированной |
|||||
Рис. 7.2. ВЧХ нескорректирован |
системе будут иметь |
место мень |
||||||||
ной и скорректированной систем |
шие |
|
значения |
перерегулирова |
||||||
|
|
ния |
ап. |
|
|
|
|
|
|
|
Можно показать, что введение коррекции по первой производ |
||||||||||
ной |
будеттакже .всегда форсировать |
процесс, |
т. е. |
увеличивать |
быстродействие системы. Однако вместе с тем система может стать более колебательной.
При анализе влияния коррекции на устойчивость заметим, что устойчивость замкнутой системы регулирования определяется ви дом характеристического уравнения замкнутой системы, полином которого в свою очередь составляет знаменатель передаточной функции замкнутой системы Ф(р).
186 '
Иными словами, устойчивость зависит от звеньев замкнутого контура. Введение производной по управляющему или возмущаю щему воздействию не окажет влияния на вид характеристического уравнения замкнутой системы, а поэтому и на ее устойчивость.
Таким образом, введение коррекции по производным от управ ляющего или возмущающего воздействия на вход системы не ухуд шает точности системы на установившихся режимах и устойчи вости, вместе с тем может улучшить качество переходных процес сов (рис. 7.3).
Рис. 7.3. Переходные характеристики скорректиро ванной по первой производной ук1, второй произ
водной ук2, нескорректированной системы у„
Коррекция по производным от возмущающего воздействия мо жет быть осуществлена: в системе регулирования скорости дизельгенераторов и турбогенераторов введением производной от нагруз ки на вход регулятора скорости; в системе регулирования воздуха в котле введением производной от перемещения гидравлического сервомотора, управляющего подачей топлива на вход регулятора воздуха.
§ 7.2. Введение внутренних жестких и гибких обратных связей
Жесткие обратные связи
Внутренние жесткие обратные связи включаются параллельно основным элементам регулятора и охватывают, как правило, толь ко одно или часть звеньев.
Жесткие обратные связи могут быть как отрицательными, так и положительными. Наибольшее применение в САР нашли отрица тельные жесткие обратные связи, которые используются в П-регу- ляторах.
Влияние жестких обратных связей наиболее удобно рассмотреть на конкретном примере. Пусть дана система автоматического регу лирования, состоящая из трех последовательно соединенных
187
звеньев (рис. 7.4), из которых два инерционных и одно интегри рующее, при этом
у>Лр ) = |
К ■ W-(p) |
k2 |
_ |
Tj> + 1 ' |
ТчР + |
1 ’ |
Охватим интегрирующее звено жесткой отрицательной обрат ной связью с передаточной функцией WK(p) = /гос. Сравним точ
ность регулирования на установившихся режимах нескорректиро ванной и скорректированной систем. В качестве выходной вели чины системы принято отклонение выходной величины первого звена от нового установившегося значения.
Рис. 7.4. Структурная схема системы с внутренней обратной связью
Согласно формуле (6.1), статическая ошибка САР
v= Ф(р)\,
Р— 0
где Ф{р) — передаточная функция замкнутой системы.
Найдем, что
______ К
ФЛР)■
Если р = 0, то и= 0.
Нескорректированная система является астатической. Для скорректированной системы
Фк(Р) = |
^ТгР Ч~ 1) ip + |
k 3k0.c) |
||
{Тлр + 1) (Т2р + |
1) (р + |
k 3k0.c) + kxk 2kb |
||
|
||||
При р = 0, Х=1 |
|
|
|
|
|
Мо.с |
|
||
|
ko.c |
k^k2 |
|
188
Таким образом, введение внутренней жесткой отрицательной обратной связи увеличивает статическую ошибку системы регули рования, так как интегрирующее звено превращается в апериоди ческое с передаточной функцией:
ks-
Р + &з^о.с
Система"регулирования из астатической превращается в стати ческую. Увеличение статизма и уменьшение коэффициента усиле ния системы приводит к повышению запаса ее устойчивости.
Введение жестких обратных связей широко практикуется
всистемах регулирования энергетических установок.
Всистемах регулирования скорости дизель-генераторов и турбо генераторов отрицательные жесткие обратные связи применяют для настройки статизма, так как существенное влияние на устойчи вость эти связи оказывают лишь при больших значениях коэффи
циента передачи обратной связи. Последнее нежелательно из-за резкого увеличения статизма.
В системах регулирования отопительных котлов, где статизм может быть больше, отрицательные жесткие обратные связи слу жат для повышения запаса устойчивости и изменения статизма.
Гибкие обратные связи
Гибкие, или изодромные, обратные связи представляют собой устройства, динамика которых описывается уравнением
Т, |
dx0 |
— и т &х \ |
dt |
|
где х 1 и Хо — координаты входной и выходной величин;
Tj — постоянная времени изодро^ной обратной связи;
kj — коэффициент |
передачи |
изодромной обратной связи. |
|||
• Передатойная функция гибкой обратной связи имеет вид |
|||||
W(p) |
|
kj TjP |
|||
TjP + |
1 |
||||
|
|
||||
На установившихся режимах |
|
|
|
||
dxo |
d x x |
= |
0; |
x 2 - 0. |
|
~dt |
dt |
||||
|
|
|
Таким образом, гибкие обратные связи на установившихся ре жимах не действуют.
189