книги из ГПНТБ / Толшин В.И. Основы автоматики и автоматизации энергетических установок учебник

разложения нелинейной зависимости в гармонический ряд и опре­ делению параметров автоколебаний: амплитуды и частоты.

210

Если теперь допустить, что при дальнейшем исследовании выс­ шие гармоники в выражении (8.17) отброшены, то нелинейное вы­ ражение (8.11) может быть заменено выражением, которое по своему характеру является линейным. Амплитуда и частота коле­ баний при этом предполагаются постоянными.

Действительно, если частота со и амплитуда а колебаний по­ стоянны, то коэффициенты q и q' также постоянны. В этом случае при х = а sin at

t . e. у является суммой синусоиды и косинусоиды.

Если амплитуда и частота колебаний х непостоянны, что имеет место в переходном процессе, то подобная гармоническая линеари­ зация может привести к ошибкам в анализе процессов в системе. Поэтому метод гармонической линеаризации наиболее успешно применяется для исследования колебательных процессов с мед­ ленно изменяющейся амплитудой. Рассмотрим пример гармониче­ ской линеаризации нелинейности релейного типа.

Пусть дано уравнение нелинейного элемента релейного типа

(рис. 8.8, а)

212

Окончательно

у = q(a)x = каAc х.

Таким образом, гармоническая линеаризация нелинейности типа идеального реле приводит к весьма простому выражению, которое не содержит производной от х и частоты со.

4

Рис. 8.8. Нелинейность релейного типа:

Можно показать, что при гармонической линеаризации одно­ значных нелинейностей, например нелинейностей типа идеального реле, реле с зоной нечувствительности и типа ограничения, вели­ чина q' при гармонической линеаризации будет обращаться в нуль.

При наличии гистерезисной петли коэффициент q' отличен от нуля. Коэффициенты q' и q для типовых нелинейных звеньев при­ водятся в 1'абл\ 8.2.

Условия, при которых возможно применение метода гармонической линеаризации

213

с частотой со, 2со, Зсо и т. д. и с различной амплитудой каждой гар­ моники.

Все гармоники поступают на вход линейной части системы ЛЧ. Если передаточная функция линейной части Wn(у'ш) такова, что она пропускает только сигналы с низкой частотой со и значительно

В этом случае линейная часть системы удовлетворяет условиям фильтра. Но окончательное суждение об этом можно делать после того, как по амплитудной характеристике системы будет найдена частота автоколебаний.

На рис. 8.10 представлена амплитудная характеристика линей­ ной части системы Ал (ш) = | Ц7Л(у'со) |.

Если частота колебаний лежит в пределах -j- < <о < шс,

где <ос— частота, соответствующая малым величинам Ал (ш);

s — номер гармоники, которая следует за основной, то очевидно, что s-ую гармонику можно не учитывать.

Система удовлетворяет гипотезе фильтра, и применение метода гармонической линеаризации возможно.

Обычно для симметричных относительно начала координат не­ линейностей s = 3.

Исследование автоколебаний с помощью метода гармонической линеаризации

Исследование автоколебаний в системе регулирования с приме­ нением метода гармонической линеаризации производится в сле­ дующем порядке:

1. В нелинейной системе выделяется нелинейный элемент, а ли нейные члены группируются вместе. Например, на схеме рис. 8.11, а нелинейный элемент НЭ находится среди’ линейных: Л и -Л2, Л 3. Однако эту схему регулирования можно представить в виде схемы

214

рис. 8.11,6, на которой НЭ включен последовательно линейной части системы ЛЧ. .

2.Составляется передаточная функция линейной части W„ (р ).

3.Производится гармоническая линеаризация нелинейности и составляется линеаризованное дифференциальное уравнение

где Wn (а) = <7(а) + ~ ~ Р ~ ~ так называемый приближенный комп­

лексный коэффициент усиления нелинейного элемента, соответст­ вующий его передаточной функции, если в качестве выходной ве­ личины НЭ принять ее первую гармонику.

Рис. 8.11. Преобразование нелинейной системы:

а — структурная схема системы; б — то же, но перестроен­ ная для расчета автоколебаний

4. Определяется возможность возникновения автоколебаний. Если линеаризованная система будет находиться на границе устой­ чивости, то в реальной нелинейной системе могут возникнуть неза­ тухающие колебания. В соответствии с критерием Найквиста систе­ ма находится на границе устойчивости, если ее АФХ проходит через точку (—1, ]0). Выражение для АФХ системы имеет вид

W{a, j m ) = W A » W M -

Так как W(a, /со) зависит от амплитуды а, то строится ряд АФХ, соответствующих разным значениям а. Если какая-либо АФХ про­ ходит через точку (—I, j0), то это означает, что в системе регули­ рования возможно возникновение автоколебаний с амплитудой ап

215

нии а; видно, что в системе могут возникнуть автоколебания с ам­ плитудой о2 и частотой, близкой со3.

Ряс. 8.12. К определению возможности возникновения автоколебании:

а — АФХ гармонически линеаризованной системы; 6 — к определению амплитуды и частоты автоколебаний

Возможность возникновения автоколебаний определяется также условием

где уИн(о) — обратная амплитудная характеристика НЭ.

Для определения ап и шп по условию (8.22) строятся АФХ ли­ нейной части системы и обратная амплитудная характеристи­ ка М и(а) нелинейного элемента. По точке пересечения определяют значения ап и «п. Такой способ построения показан на рис. 8.12, б.

Как видно из рисунка, в системе возможно возникновение авто­ колебаний с частотой шп- = ш3 и амплитудой ап — аг.

5. Определяется устойчивость периодических колебаний. Перио дические колебания в нелинейной системе могут быть устойчивыми или могут быть сорваны. В последнем случае будет иметь место' постоянное увеличение или уменьшение амплитуды колебаний. Эта особенность положена в основу анализа устойчивости автоколе­ баний.

Допустим, что при построении кривой Михайлова для замкну­ той системы увеличенной амплитуде ai соответствует кривая, охва­ тывающая начало координат (рис. 8.13,а). В этом случае система должна быть устойчивой. В такой системе будет происходить

216

уменьшение амплитуды колебаний. Уменьшенной амплитуде соответствует кривая на рис. 8.13, а, проходящая через начало координат.

Продолжая рассуждения, допускаем, что амплитуда колебаний в силу каких-либо причин стала меньше, чем а2. Уменьшенной амплитуде колебаний а3< а2 соответствует кривая, которая не охва­ тывает начала координат. В этом случае система регулирования будет неустойчивой и будет раскачиваться. Амплитуда колебаний должна увеличиваться. Следовательно, система регулирования бу­ дет стремиться к периодическим движениям с амплитудой ап= а 2. Автоколебания будут устойчивыми.

Рис. 8.13. Кривые Михайлова для системы с устойчивыми (а) и неустойчивыми (б) автоколебаниями

На рис. 8.13,6 представлен случай неустойчивых автоколебаний. Как видно из рисунка, если амплитуда колебаний а3 в системе больше, чем амплитуда возможных автоколебаний а2, то кривая Михайлова не охватывает начала координат, система регулирова­ ния неустойчива. Неустойчивая система раскачивается, амплитуда колебаний увеличивается. Кривые Михайлова, соответствующие большей амплитуде, будут располагаться еще дальше от кривой, определяющей предельный цикл. Автоколебания будут сорваны.

Анализ устойчивости периодических движений может быть про­ изведен не только по кривым Михайлова, но и по амплитудно­ фазовой частотной характеристике разомкнутой системы, вклю­

Так как при определении возможности возникновения автоколе­ баний характеристики Wn(ju>) и М и (а) строят раздельно, то для анализа устойчивости периодических решений наиболее удобно ис­ пользовать следующее правило, вытекающее из критерия Най­ квиста: если при увеличении амплитуды колебаний до значе­ ний а„ -+- Да амплитудно-фазовая частотная характеристика линей­ ной части системы W„ (уш) не охватывает точку обратной ампли­ тудно-фазовой характеристики М„(а) нелинейного элемента, то исследуемые автоколебания устойчивы. В противном случае авто­ колебания неустойчивы.

217

Пример 8.1. Требуется исследовать методом гармонической линеаризации автоколебания в системе регулирования уровня воды в котле (рис. 8.14). По разгонной характеристике котла установлено, что при изменении хода регулирую­ щего органа РО (питательного клапана) на 100% скорость изменения уровня

•еоб=0.3 мм/сек - 100%. Время запаздывания объекта тоб= 60 сек.

Рис. 8 14. Схема регулирования уровня воды в котле

Регулятор уровня системы «Кристалл» включает датчик уровня ДМ, сигнал которого поступает на транзисторный усилитель УТ с регулируемой зоной не­

воды установленного значения). Это напряжение приведет к срабатыванию электрогидравлического реле ЭГР, управляющего сервомотором гидравлического исполнительного механизма ГИМ; ГИМ и УТ охвачены гибкой обратнойсвязью

•функций САР, структурная схема которой представлена на рис. 8.15: Га= 3 3 6 сек,

.нелинейный элемент (усилитель УТ) вынесен отдельно. Передаточная функция линейной части САР

M l + Tj P )e-P'oC> + k jT jT a p i

Рис. 8.15. Структурная схема системы регулирования уровня воды в котле

Рис. 8.16. Структурная схема системы регулирования, пере­ строенная для расчета автоколебаний

Рис. 8.17. Построение амплитудно-фазовой харак­ теристики линейной части системы