книги из ГПНТБ / Толшин В.И. Основы автоматики и автоматизации энергетических установок учебник
.pdfзуются прямые методы исследования — решение системы диффе ренциальных уравнений — или специальный метод, основанный на свойствах вещественной частотной характеристики замкнутой системы.
Косвенные методы оценки качества позволяют избежать значи тельных трудностей, связанных с применением прямых методов, однако при их помощи можно получить лишь косвенное представ ление о характере переходного процесса. В инженерной практике косвенные методы, к которым, в частности, относятся интеграль ный и частотный, нашли широкое применение.
§ 6.2. Точность регулирования в установившихся режимах
Качество регулирования в установившихся режимах работы системы оценивается величиной статической ошибки v :
® = Утр — У .
где у —текущее, а утр — заданное значение регулируемой вели чины.
Величина ошибки v равна отклонению регулируемой величины от заданного значения и может быть обусловлена как принятым
законом регулирования, |
так и особенностями структурной схемы |
||||
*- |
|
системы. При оценке величины ошибки |
|||
Л |
|
линейных САР не учитываются нечув |
|||
|
|
ствительность и пепрямолинейность ста |
|||
|
|
тических характеристик элементов реаль |
|||
|
|
ных систем, обусловленных зазорами, су |
|||
|
|
хим трением и другими нелинейностями. |
|||
|
|
Как отмечалось, системы регулирова |
|||
|
|
ния энергетических установок |
являются |
||
|
|
в основном системами стабилизации. |
|||
|
|
Задача |
систем |
стабилизации |
состоит |
|
|
в том, чтобы уменьшать отклонение |
|||
|
|
регулируемой |
величины от |
заданного |
|
Рис. 6.2. |
Структурная |
значения. Для таких систем в качестве |
|||
выходной |
величины целесообразно при |
||||
. схема САР с регулято |
нимать отклонение регулируемой вели |
||||
ром, состоящим из пози |
|||||
ционных звеньев |
чины от установившегося значения на- |
||||
Если |
|
каком-либо режиме утр. |
|
||
_утр принимается за ноль отсчета, то статическая ошибка |
|||||
системы будет v = —у. |
|
|
|
|
Если в качестве входной величины системы (рис. 6.2) принять нагрузку X, то значение статической ошибки может быть получено из выражения для передаточной функции замкнутой системы Ф(р):
|
ъ = —у — - \ - Ф ( р ) Х п р к р = 0, |
(6.1) |
|
где Ф ( р) = — |
У(р) |
с учетом знака X. |
|
|
А(р) |
|
|
160
Максимальную статическую ошибку |
v mir. получим, |
подставив |
в (6.1) максимально возможное изменение нагрузки Л,= 1: |
||
'0 т .х= Ф (/О ,_о = |
+ 8 . |
(6.2) |
Таким образом, величина максимальной статической ошибки САР стабилизации численно равна наклону статической характе ристики САР.
Допустим, что регулятор САР состоит из позиционных звеньев (П-регулятор). Определим ошибку итах для этого случая:
^тах — ______ ^06 (Р) |
kоб |
(6.3) |
|
1 + ^об^р |
|||
1 + ™об (Р) W p (P) О |
|
где k o6 и кр — коэффициенты усиления объекта и регулятора.
Обычно k o6kp^>\. Поэтому v„
k n
Таким образом, максимальная статическая ошибка САР, регу лятор которой состоит из позиционных звеньев, обратно пропор циональна коэффициенту усиления регу лятора.
Рассмотрим также случай, когда в числе звеньев регулятора имеется одно последовательно соединенное интегри рующее звено (рис. 6.3), которым может быть, например, сервомотор, не охвачен ный обратной связью (И-регулятор):
^об (Р)
-=0, (6.4)
1 + ^ о б ( А ) у ^ Р(А)Д=о
где — Wp (р) — передаточная функция
регулятора.
Рис. 6.3. Структурная схема САР с регулято ром, включающим после довательно соединенное интегрирующее звено
•В этом случае коэффициент усиления регулятора равен беско нечности, а САР является астатической (6= 0).
Следовательно, повышение точности САР на установившихся режимах может быть достигнуто увеличением коэффициента уси ления регулятора.
§ 6.3. Построение кривой переходного процесса
Операторный метод решения дифференциальных уравнений
Решение системы дифференциальных уравнений операторным методом проходит в такой последовательности:
11 В. И. Толшин |
161 |
1. Составляют дифференциальное уравнениесистемы регули рования
ап |
d"Ay , |
■а , |
dnr l ‘ |
+ а,АУ = |
|
||
dtn |
d f |
— + |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
= |
Ъ, dmx |
|
dm~l х |
• + |
|
(6.5) |
|
|
d tm + |
^i d t/71 —1 |
|
|
|||
где Ay = у — утр; |
|
|
|
|
|
|
|
у — регулируемая величина; |
|
|
|
||||
утр— ее заданное значение; |
|
|
|
||||
х — функция входного воздействия, x=x(t). |
|
||||||
Имея в виду, что при нулевых начальных условиях у 1'п)—рпу ( р), |
|||||||
х [т)—р тХ ( р ) и т. д., и переходя от уравнения |
(6.5) к уравнению |
||||||
для изображений, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
a0pnY {р) + ^ р " - 1 У( р) + |
. .. anY{p) = |
|
|||||
= b0pmX (р) + blPn~' X ( p) + |
. . . + |
bmX( p ) . |
(6.6) |
где Y(p) — изображение Ay, а Х(р) — изображение x{t).
2. Полагая, что x(t) = 1(0. из (6.6) получают изображение регу лируемой величины в виде
М ( р ) |
|
(6.7) |
Н р У- D(p) |
’ |
где
М (р) = Ьйрт + Ьхрт 1+ • • • + Ьт\
D{p) = а0рп + ахрп 1+ . . . + ап.
3. Если корни характеристического уравнения D(p)= 0 извест ны, то полином D(p) представляют в виде сомножителей, а выра жение Y{p) — в виде суммы членов, знаменателями которых яв ляются выражения, соответствующие сомножителям полино ма D(p). Коэффициенты числителя определяются по известным: правилам разложения на элементарные дроби (например, по фор муле Хевисайда).
4.Производят обратный переход от изображений к оригиналам
ирешение уравнения (6.5) представляют в виде суммы функций:
h(t) = '£lA lyQe а1‘ cos $tt. |
(6.8) |
Примеры использования операционного метода для решения систем дифференциальных уравнений имеются в математических: справочниках.
162
Использование электронных моделирующих машин
Электронные вычислительные машины широко применяются при исследовании -переходных процессов в системах регулирования энергетических установок. Стоимость этих машин относительно не высока по сравнению с цифровыми машинами, а составление про граммы, т. е. системы машинных уравнений, и их решение доступны широкому кругу специалистов.
При решении задач на моделирующих машинах система урав
нений исследуемой САР приводится к виду |
|
|
|
||||
|
mtd X i __ р ( А] |
Х 2 |
Х п |
х |
\ |
||
|
mtdx |
\Щ ’ |
Щ ’ ' " |
’ mn |
' |
mt J ’ |
|
где Х г, . . . , |
Х П—-машинные |
переменные |
(обычно |
напряжения), |
|||
|
|
соответствующие |
исследуемым |
переменным |
|||
|
|
-Yi, . . . , -Xrn |
|
|
|
|
|
mt = |
Х± — масштабные коэффициенты, связывающие иссле |
||||||
|
x i |
дуемые переменные с соответствующими им ма |
шинными переменными;
л.
те — —-----масштаб времени, связывающий истинное время протекания процессов t с временем протекания процессов в модели т.
Масштабные коэффициенты mi должны выбираться таким об
разом, чтобы максимальное значение |
машинной |
переменной |
|
I max I = |
mi I x i max I: ') не превосходило предельно допустимого |
||
значения, |
которое обычно равно 100 в; 2) |
не было |
соизмеримым |
с величиной погрешностей, вносимых самой машиной; 3) удовлетво
ряло условиям |
получения коэффициентов |
усиления |
усилителей |
|
в пределах |
их |
возможностей (например, |
для машины МН-7 не |
|
более 10). |
времени mt следует выбирать с учетом |
того, чтобы |
||
Масштаб |
коэффициенты усиления усилителей не превышали установленных значений и чтобы время протекания моделируемого процесса не превышало нескольких секунд.
Основным элементом моделирующих машин является опера ционный усилитель постоянного тока, который в зависимости от включения сопротивлений и емкостей в его обратную связь или на его вход может выполнять операции умножения, интегрирования и дифференцирования. Реализация типовых динамических звеньев с помощью операционных усилителей поясняется в табл. 6.1.
Набор задачи на электронной модели может производиться по общему дифференциальному уравнению системы или по диффе ренциальным уравнениям, соответствующим отдельным звеньям, т. е. по структурной схеме. Последний способ более удобен при анализе влияния на качество регулирования постоянных отдель ных звеньев.
11* |
163 |
Т а б л и ц а 6.1
164
Рассмотрим пример исследования качества системы регулиро вания энергетической установки на моделирующей машине МН-7 при моделировании системы дифференциальных уравнений отдель ных звеньев.
Рис. 6.4. Схема регулятора частоты вращения ДГ:
1 — грузы измерителя; 2 —.золотник; |
3 — сервомотор; 4 — пружина сервомотора; |
5 — пружина измерителя; 6 — ЖОС; 7 |
— рычаг связи регулятора с рейкой; 8 — дви |
гатель; 9 — |
пружина катаранта |
Пример 6.1. На рис. 6.4 приведена схема САР частоты вращения дизельгенератора с дизелем М-50. Регулятор скорости непрямого действия оборудован
Рис. 6.5. Структурная схема САР частоты вращения ДГ
упруго присоединенным катарактом и жесткой обратной связью 6.' В период переходного процесса грузы измерителя / изменяют свое положение, перемещая золотник 2. Пружина катаракта 9 временно увеличивает степень неравномерности измерителя, обеспечивая устойчивость системы.
С течением времени поршенек катаракта передвигается, выдавливая масло через отверстие иглы или, наоборот, заполняя цилиндр маслом. Пружина ката-
165
{Такта находится в свободном состоянии. Для усиления основного сигнала служит сервомотор 3, скорость движения которого пропорциональна открытию окна о=т]—z во втулке золотника. Так как измеритель скорости регулятора не прямого действия имеет небольшие массу и размеры, то силами инерции и вяз кого трения в измерителе пренебрегают. Также пренебрегают влиянием на дина мику жесткой обратной связи, которая служит в основном для настройки статизма.
Требуется |
определить показатели |
переходных процессов при набросе 100% |
|||||||||||||||||
нагрузки. |
Постоянные |
времени |
и |
коэффициенты неравномерности |
заданы: |
||||||||||||||
Та = 2,Ь\ |
сек; |
Т3 = |
0,0\5сек; |
Г,-= 0,037 |
сек; |
Зс = |
0,044; |
3 = |
0,03. Структурная |
||||||||||
схема САР приведена на рис. 6.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Масштабы переменных составляют: |
= М^ = |
Ms =100 |
а/ed., так как изме |
||||||||||||||||
нения этих величин в процессе регулирования ие превышают единицы; |
Л4;=Л41)= |
||||||||||||||||||
= Мг = |
10 ejed и Mi = 5 0 ejed, потому что в процессе |
регулирования |
эти вели |
||||||||||||||||
чины могут составлять 1,5—2 единицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Система |
дифференциальных и |
машинных |
|
уравнений *) |
при моделировании |
||||||||||||||
по дифференциальным уравнениям |
отдельных |
звеньев |
примет |
вид: |
|
||||||||||||||
1. —X + |
z |
= у; |
|
7 = |
— а{К + aaz; |
|
M i |
а2 ~ |
м |
т |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Я А " |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ж |
|
' |
|
м |
г |
|
|
|
о |
<р |
|
|
1 |
|
— |
- |
|
|
Му |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
q |
<р |
с |
/ |
|
т |
— |
т |
а, |
Aff |
, |
а3 _ |
Mi |
|
|
|
|
|||
3. |
г _ /; |
|
I |
a.(tp |
а5$, |
^ |
^ . |
|
|
|
|||||||||
|
1, |
|
|
1 |
— |
-Г |
ав = |
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4- — = — : "1= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
£ |
|
|
|
|
|
|
— а7г + a8f); “7 = |
|
1 |
а8 = |
|
м 2 |
|
|||||
■П |
|
|
|
|
|
TsM t' |
M^TsMt - |
|
|||||||||||
|
|
|
|
Tnf, |
c |
■ |
— |
1 |
|
— |
SfAfp |
|
|
делим |
на p, получаем |
||||
6. |
1 |
|
|
1 |
pg — |
1 |
|
£ 1 |
__i ,pt\; |
||||||||||
|
Tip + |
|
1 ’ |
|
TtMt |
|
MTi |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
£ = — “a — |
£ + “io1); |
“o |
|
l |
|
|
_ |
ВсЛ4е |
|
||||||
|
|
|
|
m , |
|
” |
Ж |
' |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 6.6 представлена блок-схема набора на машине МН-7, а на рис. 6.7 — график переходного процесса. Показатели переходного процесса составляют:
ап = 0,6°/о, 7П= 0,4 сек.
Построение кривой переходного процесса с помощью вещественных частотных характеристик (ВЧХ)
Метод построения кривой переходного процесса с помощью ВЧХ замкнутой САР нашел широкое применение в инженерной практике. Сущность этого метода сводится к следующему.
Если регулируемая величина — функция, удовлетворяющая условиям Дирихле и абсолютно интегрируемая в пределах от 0 до оо, то она может быть представлена в виде интеграла Фурье. При этом можно доказать, что в. подынтегральное выражение вхо-
*) Машинные переменные обозначены чертой сверху.
166
Рис. 6.6. Блок-схема набора уравнений на моделирующей машине
У
Рис. 6.7. К примеру 6.1
167
днт вещественная частотная характеристика замкнутой системы. Этот интеграл вычисляется при помощи приближенных методов, и строится переходная функция. По последней определяются пока затели переходных процессов. Таким образом удается избежать решения задачи прямыми методами и значительно сократить объем вычислений.
Пусть функция f ( t ) задана на всей оси t: —о о < ^ < - | - о о > абсо-
+ €»
лютно интегрируема по всей оси, т. е. 1 |/(£ ) |<#< + оо , а также
на любом конечном промежутке, является кусочно-непрерывной и разбивается на конечное число отрезков, на каждом из которых она монотонна и в точках разрыва ее производная не равна беско нечности. Тогда эта функция может быть представлена в виде интеграла Фурье в комплексной форме:
+о= +=о
da Г f ( t ) e J'a{x- t] dt, |
(6.9) |
где f(f) — функция времени.
После подстановки x=i; |
t= x; <х = —jp и преобразований выра |
|||||
жение (6.9) может быть приведено к комплексной форме |
|
|||||
|
р => + |
° ° |
t “ со |
|
||
/ ( 0 = |
j eptdp |
| |
f(^)e~pzdx, |
( 6. 10) |
||
|
||||||
|
/7= —/со |
’f*»0 |
|
|
||
где f (т) — функция времени. |
|
|
|
|
||
Так как |
|
|
t= оо |
|
||
|
|
|
|
|||
F (р) = Из f(^ ) = p |
j |
f W e - ^ d x , |
|
|||
то |
|
|
|
ы о |
|
|
|
|
+JOO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
е |
’ Ыр. |
|
т |
= |
^ |
\ |
|
|
|
После подстановки р=;а> получим
(6. 11)
Ч \ р Г е-
Выражение (6.11) является преобразованным видом интеграла Фурье в комплексной форме, которая используется для того, чтобы вычислить регулируемую величину у при переходном процессе. Величина i7 (/со) является изображением анализируемой функции.
168
Рассмотрим переходный процесс на единичном ступенчатом изменении нагрузки (или сигнала управления).
На рис. 6.8, а дана структурная схема |
системы регулирования, |
|
на вход |
которой действует единичный сигнал управления (возму |
|
щения) |
х = \ (t). Выходная величи |
|
на у есть оригинал изображения |
а ) |
У(р) = ф ( р ) Х ( р ) ,
где Ф(р) — передаточная функция замкнутой системы.
При х=1 (t)
Х ( р ) = 1 и У(р) = Ф(р). (6.12)
Из графика y(t)=h(t) переходного процесса (6.8, б) видно, что регулиру емая величина не абсолютно интег-
рируема, так как J y d t= ca . Абсо-
x=i(t)
(Dtp)
6)
Р и с . 6.8 . |
С т р у к т у р н а я с х е м а |
||
за м к н у т о й |
С А Р |
(а ) и |
граф ик, |
п е р е х о д н о г о |
п р о ц есс а |
(б) |
лютно интегрируемой величиной является отклонение регулируе мой величины от нового установившегося значения: y(t)—у ( со). Поэтому в качестве величины, для которой может быть исполь зовано выражение (6.11), принимается разность y(t)—у ( со).
На основании изложенного
|
+« |
|
у ф — У (со) |
F О ) |
|
> |
||
|
где
, j u i t
^ ( » = |
Из [у (*) — у (°о)]. |
|
|
Согласно теореме в конечном значении оригинала |
Из у (t)= |
||
= Y{p) или у (оо) = |
0 (0), |
поэтому |
/=“ |
У ф - Ф |
(0) = |
f — (> ) ~ ф(0) e}a>t dw. |
|
Величина Ф(/со) может быть представлена в виде суммы реаль ного и мнимого членов
ф О ) = Р (ш) + J Q Н ,
где Р (со) — ВЧХ замкнутой САР.
При <в = 0
Ф(0) = Р(0) +JQ (0) = Р(0),
1 6 9 ;