Односторонний прерыватель обозначают символом Г с |
индексом, |
показывающим значение аргумента, |
соответствующего |
разрыву: |
Г а = — lim arctg—3—. |
(XI-1) |
тс 7)<о |
x — а |
|
Т]-*0 |
|
|
Здесь х и т ) переменные, а — постоянная. Величина х может иметь какие угодно вещественные значения; величина т) — только отрица тельные значения. Если х придадим какое-либо значение и после этого станем приближать т] к нулю, то на основании (ХІ-1) при х<а Г'а = 0;
при x > а Та = 1 и при x = а Та= -^- .
H . M . Герсеванов функцию Га назвал односторонним прерывателем, объясняя это следующим: если взять какую-либо функцию (конечную
|
|
|
|
и непрерывную) f(x), |
изображающуюся кривой AB (рис. ХІ-1) и ум |
ножить ее на Га, то получим новую функцию Vaf(x), |
которая при всех |
значениях х < а равна нулю, а при всех значениях х > а равна |
f{x). |
Эта функция изображается ломаной линией CDEB |
(рис. XI-1). |
|
С геометрической |
точки зрения (рис. ХІ-2) функциональным |
пре |
рывателем называется |
отношение угла Ѳ к я . Здесь углом Ѳ считается |
угол, под которым видна загруженная часть балки из точки М. При этом предполагается, что точка M стремится к совпадению с осью абсцисс.
|
|
Рис. |
ХІ-1 |
Рис. ХІ-2 |
|
На |
основании |
изложенного выше*: |
|
При x < а |
|
тс |
|
Ѳ = 0 |
Г а = 0; |
|
при |
х>а |
|
9 = тс |
Г а = 1 . |
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѳ = lim arctg —-— . |
|
|
|
ij<o |
x — а |
|
|
|
7)-0 |
|
* Р у д н е в В. И. Новейшие методы расчета балок на сплошном упругом основании и их приложение к расчету днища шлюзов. Сборник № 2. Основания и фундаменты ВИОС.
Двусторонний прерыватель — функция, которая для всех значений аргумента, заключающихся между некоторыми двумя его значениями, равна единице, а вне этих пределов равна нулю.
Возьмем |
два прерывателя Та и Ть в двух |
точках х = а и х = b |
(причем а< |
Ь) и составим их разность Г а — Ть. |
Эту разность H . М. Гер- |
севанов обозначил символом Г* и назвал двусторонним прерывателем,
т. е. двусторонний прерыватель равен разности двух |
односторонних |
прерывателей: |
|
Г* = Г а - Г й . |
(ХІ-2) |
Индексы вверху и внизу прерывателя показывают значения аргу ментов, при которых функция дает разрыв, причем вверху дается большее значение, а внизу меньшее.
Поэтому при X < а или х > b
rÜ=0;
при X > а, но X <с b |
|
Г * = |
1. |
Мгновенные прерыватели могут |
быть первого и второго порядка. |
Мгновенным прерывателем первого порядка называется первая про
изводная от |
Г д , |
обозначаемая |
: |
|
|
|
|
|
Г' = |
— lim |
3 |
. |
(ХІ-3) |
Функция |
Г'а, |
как это видно из формулы (ХІ-3), имеет |
размерность |
1/ см. |
|
|
|
|
|
|
|
Мгновенный прерыватель первого порядка равен нулю для всех |
значений аргумента х, не равных а; для х = |
а величина |
равна бес |
конечности. Например, если к балке приложена сосредоточенная сила
Р |
(кГ) в точке с абсциссой х = |
а, то t'a'P выражает эпюру нагрузки |
от |
сосредоточенной |
силы |
Р. |
|
|
|
|
|
Поэтому произведение Т'а-Р |
имеет измерение нагрузки, т. е. |
кГІсм. |
|
Мгновенным прерывателем второго порядка называется вторая |
производная от Г в , |
обозначаемая |
Г^: |
|
|
|
|
Г = |
- і - 1 і т |
2 ^ х ~ а ) |
. |
(ХІ-4) |
|
|
|
* ч<о[(*-а)« + ѴР |
|
|
Она также равна нулю для всех значений аргумента, отличных от а. Таким же образом можно показать, что если на балку действует сосредоточенный изгибающий момент M в точке с абсциссой х = а, то произведение Г"аМ будет выражать эпюру нагрузки от этого момента
и иметь то же измерение нагрузки в кГІсм.
П р а в и л а д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я п р е р ы в н ы х ф у н к ц и й по Г е р с е в а н о в у
Как уже известно, мгновенный прерыватель первого порядка (формула (ХІ-3) ) равен нулю для всех значений аргумента х, не рав ных а. Для x = а величина равна бесконечности. Поэтому если умножим функцию Г'а на какую-либо конечную и непрерывную функ цию f(x), то получим тождество
T'afix) = Y'af(a). (ХІ-5)
Формула (ХІ-5) Герсеванова является основной, при помощи кото рой получаются правила дифференцирования и интегрирования пре
рывных |
функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая равенство (ХІ-5), дифференцирование Г0 /(х) |
производит |
ся по правилу дифференцирования |
произведения двух функций, т. е. |
|
|
|
[Гв |
/ (x)]' = Г а / {x) + Та Г (x). |
|
(хі-6) |
Или с учетом формулы |
(ХІ-5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Г«/(*)]'= Г; Д а ) + Гв'/(*). |
(ХІ-7) |
Действуя аналогично, получим вторую производную от произве |
дения |
TJ(x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ г . / (x)]" = |
г ; / (x) + |
г ; г |
W |
= г 0 |
г (*). |
(хі-8) |
В формуле (XI-8) в функциях, которые умножаются на мгновенные |
прерыватели, необходимо х заменить а. |
|
|
|
|
Тогда |
формула |
(ХІ-8) |
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
[ г в |
f wr |
= |
г ; / (а) + |
г ; г («) + r f l |
г (*). |
( Х і-9) |
Многократное интегрирование прерывных функций производится |
методом |
|
Герсеванова |
по |
формуле |
Руднева: |
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
. |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
] |
j |
••• §rj{x)dx» |
= r |
a - j |
- |
L - |
^ |
f(z){x-z)«*dz |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
+ £>„_! * л _ 1 + |
D n _ 2 |
x""2 |
+ |
• • . + |
DlX |
+ D 0 , |
(XI-10) |
где D0, |
Dx, D 2 ... Dn_x—постоянные |
|
интегрирования. |
|
Ниже приведены различные примеры и их решения с использова |
нием прерывных |
функций Герсеванова. |
|
|
|
417 |
|
|
|
|
Р е ш е н и е з а д а ч с т р о и т е л ь н о й м е х а н и к и с и с п о л ь з о в а н и е м п р е р ы в а т е л е й Г е р с е в а н о в а а ) А н а л и т и ч е с к о е в ы р а ж е н и е п р е р ы в н о й н а г р у з к и
Пример XI - 1 . Дана прерывная нагрузка, показанная на рис. (ХІ-3). Требуется выразить ее в аналитической форме.
Р е ш е н и е . Пользуясь прерывателями Герсеванова, имеем:
, |
т^з |
2 |
х + Г^2 + ГІ°3 + Г 1 0 |
5 . |
|
Г ^ |
|
Пример ХІ-2. Дана прерывная нагрузка (рис. ХІ-4). Требуется выразить ее в аналитической форме.
|
|
5Т/м |
а |
flfîlî |
|
|
Bj л |
2Т/М |
|
|
|
|
|
|
|
|
ь |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
Рис. |
ХІ-3 |
|
|
Рис. |
ХІ-4 |
|
|
Р е ш е н и е . |
Используя |
прерыватели |
Герсеванова, |
получаем |
«ta |
= г |
: <7і + |
(х — а) + |
TcP |
+ |
Td-MB. |
|
|
|
|
|
Пример ХІ-3. Дана прерывная |
|
/ |
|
Mo |
нагрузка |
(рис. |
ХГ5). |
Требуется |
rffl |
ГГ |
выразить ее в аналитической фор |
|
|
ме. |
|
|
|
|
|
А |
|
в с |
Р е ш е н и е . |
Применяя |
преры |
|
|
|
|
ватели Герсеванова, имеем: |
+ |
|
|
|
|
^ ) = г,Ч(*)+г; 2 м с |
i 7
h
Рис. Х І - 5
б) О п р е д е л е н и е н а г р у з о к , д е й с т в у ю щ и х н а б а л к у , по з а д а н н ы м э п ю р а м м о м е н т о в
Пример ХІ-4. Дана эпюра моментов (рис. ХІ-6, а). Требуется определить ту нагрузку, которая вызывает данную эпюру моментов (рис. ХІ-6, б)
Р е ш е н и е . |
Рассматриваемую эпюру выразим формулой |
|
М = г£-і-х + Г8 |
4 2 + Г'°4, |
или |
4" X - Г 4 - і - X + Г 4 2 - Г 8 2 - Г 8 4 - Г 1 0 4. |
M = Г0 |
Откуда
^ =г;-і--г;2-г;^- + г;2-г;2 + г;4-г;0 4
или
Пример ХІ-6. Дана эпюра моментов (рис. ХІ-8, а). Требуется оп ределить ту нагрузку, которая вызывает эпюру моментов (рис. ХІ-8Д6).
|
5Тм |
|
|
8Тм |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗТм |
|
|
Зм |
4-м |
Зм |
|
\Р>'1Т |
Мл-2Тм |
Ч 1 |
|
|
РА-ТТ |
Мя=11Тм Т |
|
|
|
"Ч |
\Pc-tT |
|
|
|
Рис. ХІ-8 |
|
Р е ш е н и е . Выразим рассматриваемую эпюру формулой |
|
M = i î * + r ; [ E5 + - 2 - ( х - 3 ) - г ; и ( і о - х ) , |
или |
|
|
^ - ( х - 3 ) ] - Г 7 [5 + ±{х-3)~ |
M = |
Г о Х _ Г з Л + |
Г 3 [ 5 + |
Откуда |
_ Г , ( 1 0 - д с ) + Г м . ( 1 0 - х ) . |
|
|
|
|
_ _ = |
г ; і - г ; з - г ; і + г ; 5 + г ; - 1 - г ; ( 5 + з ) - г ; А |
- г ; з + г ; і - г 1 0 і
или
^) = г;і + г ; 2 - г ; і - + г ; 4 - - г ; п - г ; 0 і .
§ 2. Универсальная формула упругой линии балки41
Сделаем вывод универсальной формулы упругой линии балки с применением прерывных функций Герсеванова.
Рассмотрим балку, находящуюся в равновесии под действием сис темы сил (рис. ХІ-9).
f,(zK
,Р Р
Рис. XI-9
Поместив начало координат на левом конце балки (ось х направля ем вправо, а ось у вверх), составим дифференциальное уравнение уп ругой линии балки в виде
|
|
|
|
ЕІ d*y |
= S г; |
|
Mt + s г; pt |
+ s |
г l£ f {z), |
(xi-i î) |
|
|
|
|
dx* |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
M — сосредоточенныи |
момент; |
|
|
|
|
|
P — сосредоточенная |
сила; |
|
|
|
|
/ ( * |
) |
- |
произвольная |
сплошная |
нагрузка; |
|
|
r; |
|
_ мгновенный |
прерыватель |
первого |
порядка; |
|
г \n |
|
•мгновенный |
прерыватель |
второго |
порядка; |
|
- |
•двухсторонний |
прерыватель; |
|
|
|
|
У- |
• прогиб балки в произвольной |
точке; |
|
|
EI- |
|
•жесткость |
балки. |
|
|
|
|
* |
С и м в у л и д и |
И. А. Общая формула |
упругой линии балки. |
Свойст |
ва стали. Сборник N° 28. Металлургиздат, |
1949. |
|
|
С и м в у л и д и |
И. |
А. |
Универсальная формула упругой линии балки. |
Труды |
ГПИ. |
Сборник № 4, |
|
1955. |
|
|
|
|
Пользуясь методом интегрирования функциональных прерывателей, после четырехкратного интегрирования получаем:
|
Ely'" |
= D3 |
+ S Г;2 . MI |
+ 2 Г,в і |
Pi + S Г / н . J |
/ (г) dz |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
- £ |
Г , |
f /(2)dz; |
|
|
|
|
(XI-12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кг |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' к г |
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
= r > 2 + £>,* + 2 r, |
м г |
+ 2 Г г Pi(x-t3i) |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
'Зг |
|
|
|
|
|
|
+ |
S Г; |
|
f f(z) {x-z)dz |
|
f |
f (2) (X - |
|
г) dz; |
|
(XI-13) |
|
|
|
|
Hj |
J |
|
|
|
|
|
' K J J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'н: |
|
|
|
|
|
'кі |
|
|
|
|
|
|
|
W = Dx + D2x + D3 - | - + 2 Г / И |
М Г (X - /2г) + |
|
|
|
+ |
2 Г , |
р . ( * ~ / з |
; |
) 2 + 2 Г . |
Г f(z) |
• |
{ x ~ z |
) |
dz — |
|
|
|
|
- i |
' з і г « |
21 |
|
^ |
|
' Н І J ' w |
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
- |
2 Г |
; . |
Г f ( 2 ) i i ^ £ L d Z |
; |
|
|
|
(XI-14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
'кг |
J |
|
2! |
|
|
|
|
|
|
EIy |
= D0+D1x |
|
+ D2^- |
|
+ D3^-+2ri. |
|
• M |
|
t ^ h |
^ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z\ |
|
Ol |
|
2! |
|
|
21 |
|
|
|
+ |
2 |
Г |
p ö L z i a £ + |
s r |
|
Г / ( 2 ) i £ ^ £ ) ! _ d 2 _ |
|
|
|
|
|
|
ai |
|
ol |
|
|
|
H i J |
|
3 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
2 |
|
Г , , f / ( z ) - ^ ^ - d z , |
|
|
|
|
(XI-15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
кг |
,1 |
|
3! |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
где D 0 , Dlf |
D2 |
и D 3 — произвольные постоянные, |
которые |
опреде |
ляются |
из условия |
опорных |
закреплений. |
|
|
|
|
|
|
Для определения произвольных постоянных рассмотрим общий случай, когда левый конец балки свободен, т. е. не имеет никаких опор ных закреплений (может свободно перемещаться и поворачиваться).
Для данного случая при х = |
0: |
|
из уравнения (ХІ-15) |
|
EIy0; |
D 0 |
= |
из уравнения (XI-14) |
|
|
Dj = |
ЕІщ; |
из уравнения (ХІ-13) |
|
|
D2 |
= |
0; |
из уравнения (ХІ-12) |
|
|
|
D, |
= 0. |
|
Здесь г/о — прогиб на |
левом |
конце |
балки; |
Фо — угол поворота на |
левом |
конце балки. |
Подставляя значения |
постоянных коэффициентов D0, Dlt D2 и D3 |
вуравнения (ХІ-12) — (XI-15), получаем универсальные формулы: Поперечные силы:
С^ = |
- 2 Г , з . Р г - 2 Г / н |
. [ |
î(z)dz |
+ |
%riKi^ |
|
f(z)dz. |
(XI-16) |
Изгибающие |
моменты: |
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
^ = - Ц |
Г |
Л | . _ 2 Г |
Р |
. ^ |
- У - |
Ц |
Г |
, |
f f(z)(x-z)dz |
+ |
|
21 |
|
|
3l |
|
|
|
|
Hi |
J |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
' |
Н { |
|
|
|
+ |
2 |
Г, |
f f (г) (х-г) |
|
dz. |
|
|
(XI-17) |
|
|
|
|
К J t/ |
|
|
|
|
|
|
|
Угловая |
деформация |
балки: |
|
|
|
|
|
|
|
£ / ф = £ / Ф о + 2 r , f i |
Mt |
{X - l2i) + S Г / з . Р г |
i f L = k ) l + |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
Г / н £ j |
f (г) |
|
|
& - |
S Г / в | |
j |
f (2 ) |
- |
і ^ - dz, |
(ХІ-18) |
где
|
|
ЕІц> = ЕІ-^-. |
|
(ХІ-19) |
Упругая |
линия |
балки: |
|
|
Ely = |
EIy0 + |
ЕІщх + 2 Г, . Мг ^=-^1 |
+ 2 Г, . Pt { х - у |
+ |
Обозначая |
для |
удобства |
последние |
два |
члена |
формулы (ХІ-20) |
|
X |
|
|
X |
|
|
Ф(*) = 2 Г , н |
г j |
|
й г - 2 Г / к г |
J |
|
f{z)(XI-21) |
получаем: |
'ні |
|
|
'кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ely = |
£/</„ + £ / Ф о л : + 2 Г, . M 4 |
( х ~ / г ; ) |
+ |
|
|
+ 2 Г / з |
г Р г |
+ Ф (2). |
(ХІ-22) |
В том случае, когда сплошная нагрузка на балке |
отсутствует, |
Ф(г) = 0. |
|
Неизвестные у 0 и ср0 определяем из условий опорных |
закреплений, |
а именно: в том случае, когда балка левым концом заделана, то неиз
|
|
вестные уо и фо равняются |
нулю. |
г, ) |
|
Если концы балки |
свободно |
^fz) |
лежат на двух опорах, то |
у 0 = 0, |
р |
J-rnVtiA |
У*2 Ъ-^ ^"'ТГі г ' |
у*ч 111 V i l l i |
% I1Ti'^j 111 î ) |
И |
" |
х |
Рис. ХІ-Ю
а неизвестное ф0 в этом случае определяется из условия равенства нулю прогиба над правой опорой.
Если балка правым концом за делана, а левый свободен, тогда приходится определять оба неизвес
тных у 0 и фо из |
условий равенства |
нулю прогиба |
и угла поворота на |
правом конце балки.
Для нагрузок, показанных на рис. XI-10, формула (X1-21) имеет вид (произвольно распределенные нагрузки).
ф ( 2 ) = Ф^г) + Ф 2 ( 2 ) . |
(ХІ-23) |
Здесь |
|
<M*) = S r , H i j / ( . ) - ^ d z - Z r [ K i |
j / ( X ) |
+ l i ( X ~ 5 \ K i ) i ] ' ' |
|
( Х І " 2 4 ) |
X |
|
X |
|
ф 2 (2) = 2 Г ^ j / (г) -£=^2- dz - |
S Г ^ |
f / (2) |
d*, (XI-25) |
где |
|
|
|
^ _ ?K — g H . |
|
'к |
'H |
|
|
ф (2) — интенсивность от какой угодно сплошной криволинейной нагрузки.
Тогда универсальная формула упругой линии балки примет сле дующий простой удобный вид:
|
Ely = Ely, + EIwc + 2 I V Мг |
+ 2 г |
р. ( J L ^ a ü + |
|
2i |
• 2 ! |
зг - |
3! |
|
+ 2 ^ 1 [ » . , Й = г ^ + х , ^ ] - 2 Г / и |
( * - * * г ) 4 |
|
4 |
! |
|
|
|
4 2 4
