Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Симвулиди И.А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании учеб. пособие для студентов строит. специальностей вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 3935 36 37 38 39 > Следующая >>>

§ 8. Метод угловых перемещений для расчета рамы, лежащей на упругом основании при одновременном опирании ее на несмещающиеся сосредоточенные опоры

Для вывода основного уравнения расчета рамы на упругом осно вании рассмотрим произвольный узел А сложной рамы со всеми примы кающими к нему стержнями, часть из которых лежит на упругом основании (рис. Х-15).


Допустим,			что под		действи
ем	нагрузок		рассматриваемый
узел	А поворачивается					против
движения		часовой		стрелки			на
некоторый угол срл. Другие кон
цы всех стержней,				связанные с
узлом Л, получают				угловые			пе
ремещения, а часть				из них и ли
нейные, поворачиваются						также
против движения часовой стрел
ки на углы ф т ; срл; ф в ... и одно
временно		перемещаются их кон
цы нааАт,8Дя			и т . д.				Рис. Х-15
Пусть стержни AB, AC, AD
и АЕ лежат			на упругом			основании, а стержни Am		и	Ап не лежат
на	упругом		основании. Начало координат для стержней AB,							АС,
AD,	АЕ,	Am и Ап		приняты соответственно на левых				их	концах в уз
лах А, С, А, Е, m и п					и	направлены положительно для стержня				AB
от А к В, для стержня					Л С от С к А, для стержня АЕ от А к £ и т. д.
У элементов AB, АС и Am, сходящихся в узле Л, на противополож
ных концах В, С я m имеются жесткие узлы, а у элементов AD,										АЕ

и Ап в узлах Е, D и п — шарниры. Принимая все внешние моменты, приложенные к стержням против движения часовой стрелки положи тельными, согласно уравнениям (Х-3) составим формулы угловых пе ремещений для элементов, входящих в узел А.

Угол поворота стержня AB в узле А:

\4А MAB + ФЙ' M B A - L A B Ш

ААВ 1АВ

Y b ) ] + V A ( A B ) .

Угол поворота стержня АС в узле А:

Ф ^ = _	1	_ [7^> МСА	+ ф й > MAC -		LAC Ш УС
Ф ^ = _	L	_ [7^> МСА	+ ф й > MAC -		LAC Ш УС
ААС		1АС
				+ Ф Г С )
Угол поворота стержня АЕ				в узле	А:
ц(АЕ)	1	[ Ф ^ МАЕ	-	ЬАЕ Ш	УЕ + Фз^ У А)]
		[ Ф ^ МАЕ	-	ЬАЕ Ш	УЕ + Фз^ У А)]
ААЕ	1	АЕ

У А +

(Х-73)

Y л)] +

(Х-74)

+ Фл( Л £ ) - (Х-75)

385

Угол поворота стержня AD	в узле А:
Ф Г Л = — V - Ш M*»-LAD	(фй> YA +	YD)] + ф Г » . (Х-76)
AAD IAD

Так как рассматриваемая рама, лежащая на упругом основании, одновременно опирается на сосредоточенные несмещающиеся опоры (сваи), то для учета сосредоточенных опор необходимо составить до полнительные уравнения. Для этого используем условия равенства нулю реактивных давлений грунта в местах устройства несмещающихся опор. В результате использования этих условий получаем уравнения:

Т(АВ)

(AB)

М В

У А

ВАВГП[

—<^Авт2

+ тз

—

г т*

—

LAB

^АВ

(X-77)

МА

Мв

(AB)

г,

(AB),

(AB)

( Л В )

CABm\

' — ВАВІЩ

'—т\

> —

- m 3

— —

^АВ

LAB

Решая уравнения (X-73) — (X-77) относительно узловых моментов,

после

некоторых

преобразований

имеем:

MAB

Алв (фл ЬІт

д Ь\АВ))

аАВ

ІАВ

+ М'АВ,

(Х-78)

где

MAB

= AAB

[ L A B ( Е 2

М )

Ь\АВ)

£|"> й Г >)

(<?ѴТ

ЬІАВ)

ф°в( Л В ) &Г>) «лв ІАВ\,

(Х - 79)

MAC

Алс (фло[Л С )

-<?с4АС))

*лс ІАС

+ МЛС,

(Х-80)

где

MAC

Алс

[ L A C [Е\АС)

4 Л

С )

а Г > )

( Ф Г С )

а\АС)

-$АС)аіАС))а.АсІАс\;

(Х-81)

МАЕ

АЛЕ фл <*АЕ

ІАЕ

M лв,

(Х - 82)

где

MAE

b A E { L

E 2

A E

) +

УѴЕ)О.АЕІАЕ)\

(Х - 83)

Мло = Ало фл ало Mo

MAD,

(Х - 84)

где

Мло =

Ало ( L A D E[AD)

<$АО)

ало Mo)

(Х-85)

В этих формулах МАв,

М'АС,

М"АЕ

и M"AD — узловые моменты от

нагрузок, расположенных на стержнях AB,

АС,

АЕ

и AD,

лежащих

на

упругом

основании.

Узловые моменты для элементов Am и An,

не лежащих на упругом

основании,-определяем

по

уравнениям

строительной

механики:

386

	МАТ	= — 2	2 ф Л — ф т — 3			+ л*.Amt
					•Mm		(Х-86)
							(Х-86)
	M An = — 3		j фл —	"An	+	мАп,
	M An = — 3		j фл —		+	мАп,
				^Ап
где	— опорный
•^лт	— опорный		момент от	нагрузки		для балки,	свободной	от
МАП		упругого основания, с заделанными концами;
МАП	— опорный		момент от	нагрузки		для балки,	свободной	от
		упругого основания, заделанной одним концом и свобод
		но лежащим другим.
Если	на	горизонтально уложенной балке Am с заделанными кон

цами и постоянного поперечного сечения по всей ее длине сверху при ложена равномерно распределенная нагрузка q, то изгибающие мо менты и поперечные силы выражаются формулами:

МтА	=	12

МАт	=	qL?
		12
			(X-87)
		qL
QmA	=

QAm = —

Если на той же балке на расстоянии а от узла m и на расстоянии Ь от узла А приложена сосредоточенная сила Р, то

МТА	=	Pab*	'
		L*
М'лт	=	_	РаЧ
			L>	'	(X-88)

		Pb\L	+	2a)
QmA	=

Q Am		Pa\L		+ 2b)
				L 3

Для определения значений величин, входящих в уравнения (Х-78) —

— (Х-85), получаем формулы:

	а(АВ)	Ь(АВ)	_	biAB)	а(АВ)
					(Х-89)
ААС	=	Ь(АС)	_	Ь(АС)	а(АС)
	а(АС)	Ь(АС)	_	Ь(АС)	а(АС)

387

*АЕ

Hiï

Т Й '

< Е

)

mlAE)

A'AD

ф2Л

"(Л)

(AB) , -(A)

(AB)

„ И В )

„(ЛВ)

• фзл

Отз

-\- фзв тч

«2

- Ф

^ т ^

із^тГ';

^ - ф ^ - ф з ^ т Г ' + Ф ^ т Г » ;

£Г) = Слв (фзл0

Фзв° тГО - В А В

(Ф"ЗА> т[АВ)

E ï m = САВШ

фзі' т Г

>) -

В А В

($?

т\АВ)

- Ф з ^ т Г » ) ;

Е {

А Е

) =

-САЕ

Шт\АЕ)

- ф ^ )

т2АЕ))- }

- В А Е Ш Г П [ А Е

) - ^ П І І А

Е ) )

E 2

(

A D

) =

CAD (фзЙ' тГ> -

Ф $

m\AD))

-ВлоШ

m[AD)

- ф

» т і Л О ) ) ;

0(ЛВ) _

фл

°лв 'лв

Еф<?> м Г В

)

+ І л в 2 ф ^

Я Г ' ] ,

фв

[bABL2AB^VE)

glAB)+

ААВ

1АВ

ЕфіР»

М ) Л

) + І л в Е ф ^

p H 5 * ] ;

фл

АЛС 1АС

[ЬАСЬАС^А)

q(AC)

+ Е ф ^ М Г ) + Ь л с Е ф ^ )

Р ) Л С ) ] ,

фс

[ЬАСЬ'АС^?

д{АС)

АЛС 1АС

+ Еф1С) МГЧ^лс 2 ФзР Р)ЛС)1;

(Х-90)

(Х-91)

(Х-92)

(Х-93)

(Х-94)

(Х-95)

(Х-96)

388

0(Л£)

фл

ААЕ

1АЕ

ЕфѴ> M

A E ^ f

PlAE)],

(X-97)

уГ0)

= —

—

[ Ьло l à > S ф<л>

AAD

LAD

E ф 2

y "(Л)

P ( A D ) - .

Л )

Для определения BAB,

CAB,

BAE,

CAE,

BAD,

CAD,

m\AB\

и т . д. используем формулы (VII-9) — (ѴІІ-12) или табл. V I I - 1 —

VII - 6 .

Найдя значения

узловых моментов МДт,

МДп,

М^, Мдс,

МДЕ

Мдо, составим условие равновесия

узла А (рис. Х-15).

2 М Л = 0.

Из условия равновесия узла А имеем

•Е2г'лт (2фл +

ф т )

35 Am +

Е МАт

—

LAn

— Е Зг'лп

фл

"An

ZMAn

AAB(yAb(2AB)-

'An

-<(вЬ\АВ))аАвіАВ

ШАВ

Алс (фл о2

Л С )

фс МЛС)) алс ілс +

+ ШАС

Для ЬІАЕ)

Фл « Л £ г'ля +

ШАЕ

Ало

Фл ало *'ло +

ЕМло =

(Х-98)

Перенеся в правую часть уравнения (Х-98) все слагаемые, в которые не входят угловые перемещения, и делая некоторые преобразования, получаем общее уравнение угловых перемещений для рассматриваемо го узла А:

	2 ^Е іАт		+	- ^ - Е іАп			+ E/QB ІАВ		+	^КАС ÎAC J	r
	3		,	3				1	фл + E iAm ф т		+
-\|—— ^КАЕ				І-АЕ -\—— S/Сло lAD					фл + E iAm ф т		+
	4					4		J
+	2/Слв ІАВ фв +						(!)			lAm	+
+	2/Слв ІАВ фв +					S/Слс *лс фс = 3 E				^Ат	+
										'Am
	+	A		S -	^	-	8л„ +	4- (£ M ^ +
					-Ля
+	E	E Млв			+	E Млс +		^ Мл£ +		E Мло),	(X-99>

389

где

К AB	=	_1_	£ AAB	b2AB>>		О-AB,
К AB	=	• —	£ AAB	b2AB>>		О-AB,
		4
К АС	=	_1_
К АС	=	• — S Алс Ь2Л С )				<*AC»
		4
КАЕ	=	J _		& 2 Л £ >		Ѵ-АЕ,
КАЕ	=	• — - S Ал£		& 2 Л £ >		Ѵ-АЕ,
		3
KAD	=	J _	S Ало	AD)		О.AD,
KAD	=	• —	S Ало	b2		О.AD,
		3
ЛАВ	=	Б А л ^ Г '			«лв,
ЛАС	=	£ А л с М Л С )			<*лс-

(Х-100)

(Х-101)

Для определения значений величин фзл\ фзв\						фз?', фзл\		фзв' и
«Рз?' используем	табл. Ѵ-3, а			для ф2 л\	Фгв, Ф2?',	ФІл,	фгв	, фг?'
— табл. Ѵ-5.
Если элементы А В, АС,			АЕ	и AD, лежащие на упругом основании
и примыкающие к узлу А ,			отсутствуют, то из общего уравнения (Х-99),
выведенного для упругого основания, как частный случай,							получается
известное из строительной			механики общее уравнение угловых					пере
мещений:
	2	ІАт +	-J-	Б ÎAn^j ф Л +	S ІАт ф л
= 3 Е -J™-	Ь А т	+ 3 S —4L. 8Л „ + -і_ (s м Л т +				S		(Х-102)
' A m			•Мл.
Если в состав рассматриваемого узла					А входят	только стержни

с жесткими узлами,	то уравнение (Х-99) принимает более простой вид
2 (S Ілт +	Б К AB ІАВ + Б К,АС	*Лс) ф Л +	S ІАЩ Ц>т +
+ Е Длв* Мв Фв +	S ЛАС МС Фс =	3 S - ^ -	5 л ^ + - і - ( S М ' А ^ +
		LAm	2
	+ ZMAB +	ZMAC)	[(Х-103)'

В уравнения (Х-99) и (Х-103) кроме неизвестных углов поворота входят и неизвестные линейные смещения узлов.

При расчете рамной конструкции можно составить столько таких уравнений, сколько узлов имеется в рассматриваемой раме.

Полученное общее уравнение (Х-99) угловых перемещений является достаточным только для расчета симметричной рамной конструкции, нагруженной симметричной нагрузкой (предполагается, что нет вза имных смещений узлов рамы).

390

При наличии

взаимных

сме

щений узлов рамы в ней

кроме

угловых перемещений возникают

линейные перемещения,

для

нахождения

которых

необходи

мо

составить

столько

допол

нительных

уравнений,

сколько

имеется в ней взаимных

смеще

ний узлов рамы.

В связи

с тем, что

рассмат

риваемая рама лежит

на

упру

Рис. X-16

гом основании

одновременно

опирается

на

несмещающиеся

сосредоточенные

опоры, то

взаимные

смещения

узлов

рамы

могут

быть только горизонтальные

(рис. Х- 16).

Поэтому для рассматриваемого случая необходимо и достаточно

составить еще дополнительное

уравнение

горизонтальных

проекций.

О б щ е е у р а в н е н и е

г о р и з о н т а л ь н ы х п р о е к ц и й

Производя

разрез рамы

основания

ее стоек, составим условие

равновесия

2 Х

0 в следующем

виде (рис. Х-16):

QcCl

. 6—££u

фс +

фс,

8 с С і

+ <2лл, - 6

lAAx

фЛ

LCCt

8лл,

фв + фв, —

^лл,

^вв.

вв.

= S

W,.

(X-104)

где

-вв.

QBB.

И QCC, — поперечные силы от нагрузок

разрезанных

стоек

QAAO

(в сечениях А,

и С)

рассмат

риваемых

как

стержни

ААХ;

ВВХ

и ССХ с заделанными

кон

^ ^ 1 ^

Н И

цами;

^ т* ^

Wt — внешняя

нагрузка,

действую

щая

перпендикулярно

рас

сматриваемым

стойкам.

Пользуясь

уравнениями

(Х-99) и

(Х-103), можно рассчитать

любую

рамную конструкцию,

опертую в уз

лах нижнего ригеля

на

сосредоточен

ные несмещающиеся

опоры.

Пример

Х-6.

Дана

двухочковая

рама

с жесткими

узлами

CABDEF

(рис. Х-17).

Рис.

Х-17

39 î

Требуется составить уравнения угловых перемещений и горизон тальных проекций.

Р е ш е н и е . Пользуясь уравнением (Х-103), получаем: Для узла D:

2 {ÏDE + ÏCD

)

фд

ÏCD

Фс

ÏDE

Ц>Е

— — bCD+

—

L C

Д л я

узла

Е:

2 (ÏDE

ÏEF + ІАЕ)

ФЯ

+ ÎDE

ФД

+ IßF

4>F +

ІАЕ

фЛ

lAE

Чи^Ер.

ÇlLJ)E

A E

ЬАЕ

Для

узла

{ÏEF

ІРВ)

Ф/Г

t£f

ф £

ÏBF4>B

*BF г

Qj--EF

L B

Д ля

узла

С:

2 (I'CD +

/Слсг'лс ) ф с

г'со|фо +

КАС

ІАС

ф л

3 -

3 C Ö

Для

узла

А :

АЕ

КЛВІАВ

К АС І AC)

ф л

Ùfi

ф £

-Г

ЛАВ

ІАВ

Фв +

ЛАС

ІАС Фс

" —:

ЬАЕ

— •

L A

Д л я

узла

В:

2 (гв£

/Слв

г'лв

Фв

ІВРЧР

'0>

І А В

ф л

LBF

В Л

К А В

3 -

B F

LßF

Из уравнения (Х-104)

7 ^ ( Ф С +

Ч>о) +

- р Ч ф л

Ф £ )

- ^ - ( Ф в

Я*)

UCD

АЕ

LBF

LCD

ç.

1 Л Е

<>Д Е

'в/?

—

•*

—

' B C D + —5

Т "

Т а

°BF•

- I g

"CD

" Г

—-g

Ч 4 Я

^со

^лг

lBF

В этих

уравнениях

3 9 2

8 C Û = 8 Л £ = V •

§ 9. Расчет рамы, лежащей на сплошном упругом основании,

методом угловых перемещений*

Рассмотрим более сложный случай опирания рамы на грунт, когда нижний ригель рамы полностью лежит на сплошном упругом основании (без опирания в узлах на несмещающиеся опоры).

В этом случае в зависимости от вида конструкции рамы, характе ристики грунта, величины, вида и расположения нагрузки все узлы рамы или часть из них могут иметь или только горизонтальные, или только вертикальные, или одновременно и те и другие взаимные сме щения узлов рамы, или вообще их не иметь.

Предположим, что произвольный узел А сложной рамы со всеми примыкающими к нему стержнями, часть из которых лежит на сплош ном упругом основании, под действием нагрузок поворачивается про тив движения часовой стрелки на некоторый угол ц>А. Тогда другие концы всех стержней, связанные с узлом А , получают угловые и ли нейные перемещения.

Для определения угловых перемещений узла Л (рис. Х-15), в кото ром сходятся стержни Am, An, AB, АС, АЕ и AD, используем урав нения (Х-73) — (Х-76) и (Х-86).

Пользуясь этими уравнениями для элементов на упругом основа нии AB, АС, АЕ и AD, находим узловые моменты MAB, MAC, MAE и MAD, а для элементов без упругого основания Am и An моменты M Am

M An

определяем

по формулам

(Х-86):

где

MAB

А І З И Ф ^ - Ф Й Ч В ) » ^ + М^,

(Х-105)

MAB

А°Ав {(ф2в° Ф°в(ЛВ) - Ф2І> ф Г В )

) ѴАВІАВ

L A B

M Û ) ^ - ^

) ^ A A ) ) Y A + ( Ф Й Ч ^ - Ф ^ Ф ^ ) ^ ] } ;

(Х-106)

MAC

А°АС №

Фл -

ФгсЧс) «лс ілс + М'ДС,

(Х-107)

где

М'АС

А°АС{Ф°с<АС)

- ф £ ' Ч°А{АС))

*АСІАС

ЬАСШР

ФІС' -

ф£> ч&Ч YC

(фй> ФЙ> - Ф ^ ^ ) Y

A ]),

(Х-108)

МАЕ

Фл іАЕ +

МАЕ,

(Х-109)

где

МАЕ

- W A E ) a A

E i A E

L A E [ ^ A

E ) Y E

+ ф ^ Г л ) ] ;

(Х-110)

* С и м в у л и д и И. А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании. «Высшая школа», М., 1968.

С и м в у л и д и И. А. Расчет рам на упругом основании. Труды второй международной конференции. Румыния, Бухарест, 1971 г.

39Э

					( X - l l l )
где
AD	i V	^ ^AD	+ ^AD (ФЗА ^А +		фй» Ъ ) ] . ( X - l 12)
<P2A
Найдя значения узловых моментов, составляем условие равновесия
узла Л:		ZMA	=	0.	(Х-113)
		ZMA	=	0.	(Х-113)
Подставляя	найденные значения			узловых моментов в уравнения

(Х-113)/после некоторых преобразований получаем уравнение угловых перемещений:

где

[ 2 Mm + Т

2 ' А . +

S W

AB +

2 /лс M C + " f " 2

ІАЕ

^AB

"Г" 2 /АО MDJ Ф 4 + S

' A m Ф т + 2

/AB

ФВ + S

ІАС

ф С

= 32 M m

8 A m + '

Ал

An 1

2 ^ + ШАп

'Am

А £

(Х-114)

/А

А 0

A B »

Т2В

'AB

(Х-115)

/АС-

А А С

"(С) „ .

——Г"

Ф2С

°АС»

ІАБ=

—

(А)

3?2А

(Х-116)

/AD

• аAD'

.(I)

a A B

—(А)

'лв

Фгв

°АВ»

(Х-117)

л°

'АС

Ф2С « A C Î

ААВ =

R A T - O T

2 '

(Х-118)

*АС =

№

) 2

а 2

394

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 3935 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ