Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1305 вузов, 5173 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Симвулиди И.А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании учеб. пособие для студентов строит. специальностей вузов

.pdf
Скачиваний:
62
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
13.16 Mб
Скачать
☆

yAl =

ь + 2

мг + ^2 y[Al) Pi) +

 

г

i ill

(X-4)

 

В этих уравнениях приняты следующие обозначения:

 

 

 

ЦІ — равномерно распределенная нагрузка, приложенная

непосред­

 

М

і

ственно на нижний

ригель;

 

 

 

 

 

— сосредоточенный изгибающий момент, действующий

непосред­

 

РІ—

ственно на нижний

ригель;

 

 

 

 

 

сосредоточенная сила, действующая непосредственно на ниж­

 

 

 

ний

ригель;

 

 

 

 

 

 

<Ф,''4<'

— угол поворота нижнего ригеля в сечении At

от ———= 1

"*

 

(из табл. Ѵ-1);

 

 

 

7zEo

 

 

— (А.)

 

значение прогиба нижнего ригеля в сечении Л г от •q ,

L = 1

U

I

 

—(А.)

 

(из табл. Ѵ-2);

 

 

 

M,

 

 

угол поворота нижнего ригеля в сечении At от

 

 

 

 

 

%і

1

 

 

 

 

 

 

 

•кЕп

Ы?

 

 

 

 

M А.

 

 

 

 

 

 

или

1

(из табл. Ѵ-5);

 

 

 

 

 

 

 

ъЕ0

Ыг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м,

 

 

 

 

 

прогиб нижнего

ригеля в сечении At

от

 

1 или

 

 

 

 

 

 

 

 

кЕ0 bL

 

 

 

 

 

МА.

1 — =

1 (из табл. Ѵ-б);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%і

 

 

' угол

поворота нижнего ригеля в сечении А, от

Р,

= 1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ъЕа

bL

 

 

 

или

А.

=

1 (из табл. Ѵ-3);

 

 

 

 

 

 

 

KnE0bLi

 

 

 

 

y^fî1

— прогиб нижнего

ригеля в сечении At

от ( Р'

^ = 1

или

 

 

 

Y.А.

 

 

 

 

V

кЕ0Ь

 

 

 

 

 

=

1 (из табл. Ѵ-4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

іЕаЬ

В уравнениях (Х-3) и (Х-4) множители, помещенные за фигурными скобками, можно также представить и в следующем виде:

1

 

J _

аЕ !

El

at

 

 

1

 

 

 

т.Е0 bL

*EI

EI

ai

где t — погонная жесткость рассматриваемого элемента.

В дальнейшем для удобства величины, помещенные в первые] круг­

лые скобки уравнений (Х-3), умноженные на - ^ - , обозначены <р°А, al

ОО

ФЛ фл.-

Величины, помещенные

в первые круглые скобки

уравнений

(Х-4), умноженные на

~ ,

обозначены у°А

, у°д

, ...

,

у А і .

По

урав-

 

 

al

 

І

2

 

i

 

 

нениям (Х-3) и (Х-4) можно рассчитать

как

раму,

так

и

другие

инженерные

конструкции,

лежащие на

упругом

основании

любой

сложности*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ниже приведены примеры расчета рам.

 

 

 

 

 

 

Пример

Х-1. Дана

длинная железобетонная

рама,

лежащая

на упругом основании, вертикальное поперечное сечение которой показано на рис. Х-3, а.

Требуется построить эпюры моментов и прогибов для всей рамы, включая и нижний ригель, и эпюру реактивных давлений для нижнего

ригеля

AB.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано: ц о =

0,3;

ц = 0,167;

Е0=

320

кГІсм2;

 

Е

= 2,1

X

105

кГІсм2;

Ь =

1 м; h

=

4 м\

L = 4,5 м;

 

 

 

 

Ô =

0,3;

Р -

10

Т.

 

 

Р е ш е н и е .

Рассматриваем

вырезанную

раму

в поперечном на­

правлении длиной Ь = 1 м (рис. Х-3, а). Для решения этой замкнутой рамы расчленим ее так, как показано на рис. Х-3, б. Для нахождения

неизвестных МА

и Мс

используем следующие условия (из-за симмет­

рии ограничимся

двумя

условиями)**:

1) равенство

углов

поворота

верхнего ригеля CD в узле С и

стойки АС в узле

С:

фс =

— фс .

 

 

* При выводе формул (Х-3) и (Х-4) принято: положительные нагрузки направлены вниз, а положительные моменты — против движения часовой стрел­ ки и поэтому при решении числовых примеров необходимо учитывать знаки нагрузок и моментов (на рис. Х-3,б силы Yc и YD должны быть направлены вверх).

** Изложенный ниже прием расчета выбран для более детального раскры­ тия условий совместности перемещений некоторых элементов системы.Если следо­ вать обычным методам строительной механики, можно отделить от балки AB раму ACDB, как показано на рис. Х-2, и, например, методом перемещений выполнять условия (Х-1), рассчитав П-образную раму и балку на упругом основании. Для двухэтажных и более сложных рам лучше использовать какойлибо из методов строительной механики (метод сил, перемещений, смешанный метод, метод фокусов, распределения и т. д.).

356

Рис. Х-3

2)

равенство углов поворота стойки АС в узле А и нижнего ригеля

AB в

узле А:

 

 

(АС)

(AB)

 

ф Л

— — ф Л •

Используя универсальную формулу упругой линии балки, легко найдем:

а) угол поворота верхнего ригеля CD в узле С

(Х-5)

В этом уравнении по условию симметрии

| ^ | = И с І

357

и поэтому

(CD) M C L . iY a\

б) угол поворота стойки АС в узлах С и А

 

 

 

 

 

 

VhAC) = TîrT(MA+2MC)',

 

 

(Х-7)

 

 

 

 

,лс)

 

 

 

{2MA+Mc)h_

 

 

 

 

 

 

 

*А

= — б Т ^ л — '

 

 

( Х ' 8 )

в) угол поворота нижнего ригеля AB в узле А.

 

Пользуясь

формулами

(Х-3), для данного случая имеем

 

Ф л ^

= — l — l - v t t

МА

+ 5Й> Мв

+ L фГ } Р\ .

(Х-9)

Здесь по условию симметрии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\мв\

=

\мА\.

 

 

 

Одновременно,

заменяя

 

 

 

выражением

,

получаем

 

Ф Г >

= — L — \Ш-фИ})

 

Мл +L^A)

Р) .

(Х-10)

 

 

 

 

£ 3 / 3 а

 

 

 

 

 

 

 

Выполняя

условия wlcCD) = — фсЛ С ) и флЛ С )

= — ф л Л В ) ,

имеем

 

 

 

 

Мс L _

 

/г ^ - ( М Л + 2 М С )

 

 

^ +

^

*

= — F T " "

 

- ^ )

М 4

+ LT^

P),

откуда

6 £ і

/ і

 

Е3І3а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МЛ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ЛС) _ ( 2 M „ + М С

) Л _ МА

h

2 + l_t

 

 

 

 

ф л

 

ЩТг

 

_

~2ËJ[ ' 3 + 2Х '

^*1^

 

 

 

M

=

 

 

I i

,

 

(Х-13)

где

X1

=

I L . A .

(Х-15)

Учитывая, что EJX — E 2 I

2

= E 3 I 3 = El,

имеем

358

 

 

M,

2L

+ h

 

ah

 

 

 

- 7 Й

 

)

(Х-17)

 

 

 

 

+ ( ? Й ,

)

 

 

 

 

3L + 2h

 

4L

 

 

Определяем

показатель

гибкости

a:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• 38

 

3200

4,5 У

:200.

1 —у*

 

Е \ Ь )

 

1 — 0,32

 

 

2 100 000 V 0,3

 

 

 

 

 

 

Пользуясь табл. Ѵ-3 и Ѵ-5, имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мл =

 

 

3,98 • 10 • 4,5

 

 

 

 

 

 

— 1,40 Т • м;

 

2 - 4, 5 +

4

200 • 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

73,51

 

 

 

 

 

 

 

3 - 4, 5 + 2 - 4 ' 2 - 4 , 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,4-4

 

 

=

0,26 7 • м.

 

 

 

 

3 - 4 , 5

+

2 - 4

 

 

Из условия

статики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у,

=

Y

=

Y

=

Y

= 0-

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

Z Л

1 В

1

С

 

1

D

U>

 

 

 

 

 

 

У

=

М А - М С

=

-

1,40

- 0 , 2 6

= _

 

 

 

 

 

Л

 

ь .

 

 

 

л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ ± ^ £ . = = 0 , 4 1 5 Г.

 

 

 

Зная Х л ,

Х с , УИЛ, Мс

и Р, строим эпюры изгибающих момен­

тов M и прогибов у для стоек АС и BD и для верхнего ригеля CD.

Чтобы построить эпюры p, M и у для нижнего

 

 

ригеля AB (балки

на упругом основании), на котором в середине действует сосредоточен­ ная сила Р и по концам изгибающие моменты МА и Мв, производим следующее.

Сначала от всех усилий находим ординаты p, M и у. Для того чтобы определить ординаты реактивного давления грунта рр от действия сосредоточенной силы Р, приложенной к нижнему ригелю AB, необ­ ходимо из табл. II1-1 для a = 200 и ß = 0,5 взять значения ординат

рр — от £ = 0 до g = 0,5 (из-за симметрии) и затем каждую из Еел»чин

умножить на

Р

 

 

(ПІ-23):

 

 

= 2,223 согласно формуле

 

 

 

bL

 

 

 

 

'

5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

~Рр

0,666

0,846

0,987

1,087

1,147

1,167

 

 

 

 

 

 

РР

1,480

1,880

2,193

2,416

2,549

2,593

359

Затем из табл. ІѴ-1 берем значения рм

и рм

для а = 200;

ß 2 l =

 

 

 

 

 

А

В

 

 

 

0

и ß 2

2 = l ; согласно формуле

(ІѴ-15)

умножаем их на

• ^ - =

 

1,4

 

 

Мя

 

 

 

 

 

 

1 • 4 , 5 2

~

0,069" и на 6-L^т2 Ѵ = 0,069:

 

 

 

 

 

 

 

0

0,1

0,2

0,3

0,4

 

0,5

 

 

 

15,323

7,758

2,572

—0,655

—2,343

—2,911

 

рмв

 

—3,679

—2,402

—2,106

—2,373

—2,781

—2,911

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РМА

+ Р Л * В

11,644

5,356

0,466

—3,028

—5,124

—5,822

 

 

 

 

 

 

 

р м л +

рмв

0,803

0,370

0,047

—0,209

—0,354

—0,402

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

т. е.

 

 

Р = Р Р + РмА + Рмв>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0,1

0,2

0,3

 

0,4

 

0,5

Р

2,283

2,250

2,24

2,207

2,195

2,193

 

Эпюра р

построена на рис. Х-3, е.

изгибающего момента M р

 

Для того чтобы определить ординаты

от

силы Р, необходимо из табл. ІІІ-З для

а = 200 и ß = 0,5

(из-за

симметрии) взять значения ординат Мр

от |

= 0 до g =

0,5 и

каждую

из

величин

умножить

на PL — 10 X 4,5 = 45

согласно

формуле

( I I 1-25):

 

 

 

 

 

 

 

5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

 

0,5

Мр

0

0,004

0,015

0,037

0,070

0,114

мр

0

0,18

0,675

1,665

3,150

5,130

3 6 0

Для

определения

ординат изгибающих моментов от моментов МА

и Мв,

приложенных к нижнему

ригелю в точках А и В, необходимо

из табл. ІѴ-3 взять

значения

ординат

Мм и

MMß для а = 200;

ß 2 i =

0;

ß2 2 = 1

и

согласно

формуле

(IV-17)

умножить их на

МА =1,4 и Мв=

1,4:

 

 

 

 

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

М М А

—1

—0,937

—0,796

—0,625

—0,460

—0,318

 

0

—0,015

—0,054

—0,119

—0,204

—0,318

 

—1

—0,952

—0,850

—0,744

—0,664

—0,636

М м А + М М в

—1,4

—1,333

—1,190

—1,042

—0,930

—0,890

Складываем полученные величины:

M = Мр + ММд + M

тогда

5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

M

- 1 , 4

—1,153

—0,515

0,623

2,220

4,240

Эпюра M для балки (нижнего ригеля) построена на рис. Х-3, г. Пользуясь табл. Ѵ-4 и Ѵ-6, находим ординаты прогибов балки AB. Для построения эпюры у р из табл. Ѵ-4 берем данные, соответствую­

щие а = 200 и ß = 0,5, для всех значений от g = 0 до \ = 0,5, и на

 

 

Р

10

 

основании формулы (Ѵ-36) умножаем их н а д £ , ь

= 1 Q Q 4 g

= 0,000995.

Для определения

ординат

у М д и yMß от действия

изгибающих

моментов МА и Мв,

приложенных в точках

А и В, производим то

же, что и при определении у р

, только пользуемся табл. Ѵ-6.

361

е

 

0

 

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

~Ур

0,00

 

0,397

0,784

1,132

1,393

1,498

Ур

0,00

0,000395

0,00078

0,00113

0,00139

0,00149

НіА

 

0,00

 

—5,922

—10,001

—12,551

—13,942

—14,531

 

 

 

 

 

 

 

 

Умв

0,00

 

—0,441

—0,865

—1,228

—1,442

—1,363

 

 

 

 

 

 

 

ІГУм

0,00

 

—6,363

—10,866

—13,779

—15,384

—15,894

 

 

 

 

 

 

 

2 Ум

0,00

—0,000206

—0,000351

—0,000445

—0,00457

—0,000513

2 УМ + Ур

0,00

0,000189

0,00043

0,000685

0,000893

0,000977

Строим

эпюру

прогибов у = ур

+ уМд + ум

для балки на уп­

ругом

основании.

 

 

 

 

Полная эпюра моментов и прогибов для всей рамы показана на

рис.

(Х-3, г) и

рис. (Х-3, д).

 

 

 

Пример

Х-2.

Дана

замкнутая

прямолинейная рама,

лежащая

на упругом основании, одновременно по концам опирающаяся на со­ средоточенные опоры (рис. 4, а).

Требуется построить эпюру M для рамы и эпюру р для нижнего ригеля. Данные взять из примера Х-1.

Р е ш е н и е . Расчленяя раму на отдельные элементы (рис. Х-4, б), находим:

Мс

=

 

с

<АС\

МА h

ф £*с > = _ d _ •

2 £ /

Ф(лß ) = -^jjy

 

h

 

 

 

4

 

 

 

M,

—г

 

 

М,

4,5 = —0,186 М . ;

A

L

=

"'А

 

h

 

 

 

4

 

 

А

З + 2 - f

 

 

3 + 2 - 1 -

 

 

 

L

 

 

 

4,5

 

 

 

2 +

L

 

МЛ

2

+ 4,5

 

М,

 

и

 

= _ Л _ .

 

: —

=

1 209 -à-

 

 

OFI

 

3 + 2

і

 

Fl

3 + 2 —

 

 

4

 

£ /

 

 

L

 

 

 

4,5

 

 

{73,509 МА +

4,5 [3,98 P -

 

8,211YA]} =

= - ^ Т Г {73,509Лід + 17,91

P-36,95YА).

362

MA

M,

 

M,

Г

I "a.

 

L .

 

Для

определения YA воспользуемся формулой (VI-67) и табл. V I - 1 ,

- 5 - V I - 8 .

 

 

 

 

 

YA =

{("»Ii "Г"М 1 з )Ф

Л

— (® Н — № 18)фв}

=

 

4<ou <ols

1

 

" '

 

= -

4- 123,226L 174,699

{ 2 9 7 > 9 2 5 [ 2 8

' 8

1 " Й Г "6 6 2 ' 7 3 7

T Ï T . +

+159,1949 -— ] + 51,473 [28,81 - т ^ - + 159,1949-^- —

—662,737 -^7*1} = -86TÖ9 ( 1 0 0 6 6 > 1 6 ^ — 39096,8Л1Л } =

= — (0,117Р — 0,454М Л ),

т. е.

YA = — (0,117Р — 0 , 4 5 4 М Л ) .

Подставляем найденное значение YА в формулу для Ф ^ ' :

Х?АЛВ) =

E L B L I

{73,509А1

+ 17,91Р —36,95 [ — (0,117Р —

- 0 , 4 5 4 М Л ) ] }

=

- i - L _ - {56,734МЛ

+

22.233Р).

Используя

условия

флЛ С ) = — фл1 5 ' , имеем

 

 

1 - 2 0

9 4г

= -

і^ш

(56'734 м*

+ 2 2

' 2

3 3 р)

или

 

 

 

 

 

 

 

 

1,209 M

=

 

— — (56,734 Мд +22,233 Р) ;

1,209 МА = — 2 ,

1 ' 1

0 8 " О - 0 0 2 2 5 (56,734МА

+ 2 2 , 2 3 3 Р ) ;

 

 

 

 

203472

 

 

 

1,209 МА

= — 0,023 (56,734 МА

+ 22,233 Р) ;

Откуда

1,209 М^ = — 1,305 МА—

0,511 Р .

 

м

= _

0,511 Р = _ 0

203Р;

 

 

 

 

 

 

л

 

 

2,514

 

 

 

М г = 0,186 • 0,203 Р = 0,038 Р;

Г и = —(0,117 Р + 0,454 • 0,203Р) = — Р(0,117 + 0,092) = — 0.209Р

Пользуясь табл. I I I - 1 , Ш-З и IV - 1, ІѴ-3, имеем:

М Ш а х = 0,135 YA L + 0,114 PL — 0,636 МА

= 0,135 • 0,209 Р • 4,5 +

+ 0,114 • 4,5 Р — 0,636 • 0,203 Р = (0,136 +

0,513 — 0,149) P fs

0,5 Р .

На рис. Х-4, в и Х-4, г построены эпюры М и р .

 

Пример Х-3. Рассмотрим

замкнутую

прямоугольную

раму

(рис. Х-5, а). Построим эпюры

моментов и прогибов для всей

рамы,

включая и нижний ригель, и эпюру реактивных давлений для нижне­

го

ригеля.

 

 

 

 

 

 

 

Дано: ц 0 = 0,3; ц =

0,167; £ „ = 320 кГІсм\ Е = 2,1 X 105 кГІсм%;

b = 1 м; h =

4

М; стпред

=

0,3;

q = 2,5 Т/ж2 ; L = 4,5 м.

 

 

Р е ш е н и е .

Рассматриваем

вырезанную раму в поперечном на­

правлении длиной b =

1 м. Расчленяя раму так, как это показано

на

рис. Х-5, б и используя универсальную формулу упругой линии

бал­

ки,

получаем

значения

величин:

 

364

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности