Кг, = L zг 2 = Кг 3 = L zz4 = L^z-
Поперечные сечения этих балок могут быть разными. Грунты под основаниями каждой балки также допускаются разными.
Рис. ІХ-2
Требуется составить уравнения для определения значений неиз вестных величин Yn, ... , К43, возникающих в узлах пересечения балок.
Пользуясь уравнениями (ІХ-6а), (ІХ-бб) и (ІХ-6в), получаем:
^іі s та> |
Xy» |
+ 2 та>, |
(Ун - |
Na)=°. |
*.і 2 y?w* |
y t i |
+ |
2 Уз2(2/) г (Y*J - * |
ѵ> = °. |
i=l |
|
|
|
/=1 |
|
|
|
(IX-6a') |
|
|
|
|
|
|
|
|
i = l |
|
|
|
/ = 1 |
|
|
|
|
1=4 |
_•(41) |
|
|
/ = 3 . |
7(41) |
( V -NtJ) |
= |
0. |
(=1 |
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
' = 4 |
_ (12) |
|
|
/ = 3 _ (12, |
-NtJ) |
= |
0, |
/=1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=4 |
_(22) |
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
/=з_ (22, |
|
= |
0, |
(=1 |
|
|
|
/ = 1 |
|
|
|
(IX-66') |
1=4 |
7(32, |
V |
', |
fc3-(32, |
|
|
|
= |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
J = l |
|
|
|
7=1 |
|
|
|
|
i=4 |
7(42, |
|
|
/ = 3 _ |
(42, |
|
= |
0, |
(=1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
/•=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г=4 |
7(13) |
|
|
/ = з _ ,(13) |
|
|
-NtJ) |
= |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Гц |
|
|
|
|
i'=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-Nv) |
= |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(IX-6B') |
|
|
i = 4 |
"(33) |
|
|
/ = 3 _ |
(33) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-N,j) |
= |
0, |
|
|
|
|
(=1 |
|
|
S |
|
|
(Y3J |
|
|
|
|
|
|
|
/ = і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<=4 |
'(43) |
|
|
/ = з _ (43) |
|
|
-Nv) |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Xu |
|
|
|
|
1=1 |
|
|
|
/ = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зная ar , |
a. , |
ir |
, i. |
, br |
, b, , |
L r , L , , L 0 x |
и E0z |
, для |
балок |
xn' |
zm |
xn' |
zm |
xn' |
zm |
|
xn' |
|
'm1 |
uxn |
u z m " |
|
|
обоих |
направлений по |
формуле |
(ІХ-4) |
найдем^значения |
Хи , ... , Х43 и затем по табл. Ѵ-4 найдем величины уз1\\)х |
|
Уз\\\)г,..., |
являющиеся |
множителями |
при неизвестных |
силах Yn |
Yi3. |
Под |
ставляя |
взятые из таблицы значения величин г/зоп'*, ..., Уз\\\) г, •••, в |
уравнения (ІХ-6а')—(ІХ-6в')и |
решая |
их относительно Уц, |
... , Ya, |
найдем неизвестные силы Yn |
|
|
Y43. |
|
|
|
|
|
|
После нахождения неизвестных сил Yu, |
Yk3 |
в каждой балке в |
узловых точках к заданным силам yVn , |
|
yV43 присоединяем найденные |
силы. В результате этого каждую |
балку, |
входящую в состав |
системы |
перекрестных |
балок, |
рассматриваем |
и |
рассчитываем как |
простую |
балку постоянного поперечного сечения, лежащую на сплошном одно
родном |
упругом |
основании. |
|
|
|
Если какие-либо из сил Nn, |
Ni3 в узлах балок не приложены, |
то из уравнений |
(ІХ-6а') — (ІХ-6в') эти силы выпадают, но все урав |
нения |
остаются |
действительными. |
|
|
Пример ІХ-2. Рассмотрим перекрестные балки, |
лежащие |
на уп |
ругом |
основании |
и нагруженные |
сосредоточенными |
силами |
Nn, |
JV33, приложенными во всех узлах их пересечения |
11, 21, |
33 |
(рис. ІХ-3). |
|
|
|
|
Рис. ІХ-3
ГЬльзуясь первым уравнением из системы (ІХ-6а),] имеем:
откуда
|
|
|
|
77(4) |
р |
|
1 |
11 |
|
|
4 - " ы ( 1 1 ) |
|
|
„TT«1 1 ) |
|
|
И |
Уз |
(11) л: Т- »3(11) z |
Соответственно, на основании формул (IX-1) |
|
Y ' = p ( l - - |
|
У * " 1 ) г |
Зная |
показатели гибкости |
|
и а г |
по табл. (V—4), найдем значе |
ния узІи)х |
и г/з'аог. |
|
|
|
|
Пример ІХ-4. Даны перекрестные балки (рис. ІХ-5, а—е). Требу ется построить эпюры p , M и у .
Пусть
^ |
|
= ^ , |
= ^ |
= - = |
^ , |
; |
Pi = |
|
0,1; |
ß2 |
= |
0,4; |
pj=[0,9; |
|
|
|
|
|
|
|
(*,) |
= |
|
(дсг) = |
|
(г,) |
|
: |
|
<г2 ) = |
|
{г,)' |
|
|
|
|
|
|
Nu |
= N i t |
= NM |
= N n |
= 0; |
N2l |
|
= P; |
|
J V 2 2 = |
-|л |
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Зная |
все приведенные выше |
величины, сначала |
на |
ходим |
неизвестные узловые силы |
Yn, |
|
|
Y21, ... |
и |
Y'u, |
Y'2t ... |
|
|
Пользуясь уравнениями (ІХ-6а) и |
(ІХ-66) |
|
и формулой (ІХ-4), |
получаем линейные уравнения для всех шести узловых точек: |
|
|
Уз(іі) |
X Уц + |
Уз (h) ж Y2i |
4 - уз(з\) |
X Y3i |
|
+ |
г/з'/п) г Yti |
4 - |
Уз{\2) г Yі 2 |
= |
0; |
У32(11) X Yц |
+ |
У32(21) X Y2i |
4" Уз2(з\) X Y3i |
+ |
|
£/32(21) z Y2i |
+ £/з2(22) г Y22 |
= |
|
|
|
|
|
|
— т;<,2> |
P _ I _ » ( 2 |
, ) |
P |
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— УЗ (21) г г |
+1/3 |
(22) г - y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
{Д3(Уі) X |
YH |
4 - |
Уз3(2і) * Y2i |
4 - г/з3(зі) ж У з |
і |
+ І/З3/Зі) |
г У3 і + |
Уз3(32) г Y32 |
= |
0; |
Уз (k) |
X |
Yi2 |
4 - Уз (к) X Y2Î |
4- УзѴзг) x Y3 |
2 |
-\- yi'fn) г YИ |
|
4 - Уз'пг) г Уі 2 |
= |
0; |
#3 (12) X |
I 12 " Г |
УЗ (22) д: / |
22 " Г f/З (32) * У 3 |
2 |
" Г |
#3 (21) 2 |
У2 |
І |
4" |
#3 (22) 2 |
* 22 — |
|
|
|
|
|
|
|
— |
У З (21) 2 Г |
|
г/з (22) г |
— , |
|
|
|
|
|
|
|
f/33fl2) * ^12 4" #3("22) * У2 2 + УМ32) |
X Y3% |
|
4" І/ЗТЗИ ' |
Y31 4" і/ІТзг) 2 |
^32 |
= |
0. |
Подставляя в вышеполученные уравнения значения г/зѴіі)х, ••• , Уз3(32)г,--- из табл. Ѵ-4, имеем:
4,455 Гц + |
1,296 У 2 1 |
+ 0,443 У 3 1 |
+ 4,455 У и + 0,443 Y12 |
= |
0; |
2,789Гц + |
1,513У2 1 + 1,803У3 1 + 0,443У2 2 |
+ 4,455У2 1 = 4.455Р + |
0,444 У п |
+ |
0,324 У 2 1 |
+ |
4,455 У 3 1 |
+ 4,455 Y31 |
+ |
0,443 У 3 2 = |
0, |
4,455 У 1 2 + 1,296 У 2 2 |
+ 0,443 У 3 2 |
+ 0,443 YH |
+ 4,455 Yit |
= 0; |
2,789 Y12 |
+ |
1,513 Y22 |
|
+ 1,803 У 3 2 + 0,443 Y23 + 4,455 У"22 = |
|
|
|
|
= |
0,443 Р + 4,455 — ; |
|
|
|
|
|
|
0,444 Yl2 |
+ |
0,324 Y22 + |
4,455 Y32 + 0,443 Y3Ï |
+ |
4,455 Y32 |
= |
0 |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8,910 Yn |
+ 1,296 Y21 |
+ |
0,443 Y31 |
+ 0,443 Y12 |
= |
0; |
|
|
2,789 F u |
+ |
5,968 7 2 l |
+ 2,803 Y31 + |
0,443 F2 2 |
= 2,6705 P; |
|
0,444 F u |
+ |
0,324 У 2 1 + |
8,910 У 3 1 + |
0,443 Y32 |
= 0; |
|
|
8,910 У 1 2 + |
2,996 У 2 2 + 0,443 У 3 2 + 0,443 У п = |
0; |
|
|
2,789 Y12 |
+ |
5,968 Y22 |
+ |
1,803 У 3 2 + |
0,443 У 2 1 = |
2,6705 P; |
|
0,444 У 1 2 + |
0,324 Y22 |
+ |
8,910 F 3 2 |
+ |
0,443 У 3 1 |
= |
0. |
|
|
Решаем совместно полученные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
Уu = — 0,114 P; |
У 2 1 |
= 0,811 P; |
Y31 |
= — 0,018 P; |
|
У 1 2 = — 0,055 P; |
У 2 2 |
= |
0,4204 P; |
У з 2 = — 0,0117 P. |
|
Зная y u ; |
У2 1 , ... , находим |
Y'n; Y'2l, |
... и |
затем |
строим эпюры |
p, Q, M и у (рис. ІХ-5 б, в, г, |
о, |
е). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
ІХ-5. Даны пе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рекрестные |
балки |
(рис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IX-6). Требуется |
опреде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лить силы |
У п ; |
У2 1 ; У3 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y12; |
YZ2 |
и У 3 2 , |
возникаю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щие в |
узлах балок AхВх и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А2В2 |
и силы |
У|,; У2 1 ; ^ЗІІ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У;2 ; |
У2 2 и У3 2 , |
возникаю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щие в тех же узлах, |
но на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
балках C W , C 2 D 2 и |
C3 D3 . |
|
|
Рис. ІХ-6 |
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
L |
=L |
=L |
=L |
=L |
=L; |
|
|
a —a. = |
a |
= |
a |
= |
a |
= |
a = 100; |
|
|
* l |
X 2 |
Z |
l |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
ß i = 0,1; ß 2 = 0,4; ß 3 = 0,9; |
|
|
Ex = Ex = Ez = £ |
z |
= £ |
г |
= £ ; |
|
|
лі |
л 2 |
|
г! |
z 2 |
|
|
|
£ 0 (х,) = |
(дг.) = |
|
(z,) = £ |
0 |
(г,) = |
(г,) = ^О - |
|
Р е ш е н и е . |
Для |
определения |
|
неизвестных величин Yn; |
Y2l; |
У si, У и', У22 и |
У 3 2 |
согласно |
уравнениям (ІХ-4), (ІХ-6а) и |
(ІХ-66) |
следовало бы составить шесть уравнений. Но в связи с симметрией нагрузок
Nn |
|
= N21= N12= N22= N31= N32= P |
|
|
и конструкции (конструкция |
имеет одну ось симметрии) имеем: |
|
Уц |
— |
|
YlZf |
У ZI— |
|
У 22, |
У Ъ\= |
Уз2- |
|
|
Поэтому вместо шести |
|
уравнений |
достаточно |
составить |
следующих |
три уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9,353 К ц + 1,296 Г 2 |
1 + 0,443 Г 3 1 |
= 4,898 Р; |
|
2,789 У и |
+ 6,411 |
Г 2 |
1 |
+ 1,803 Y31= |
|
4,898 Р; |
|
0,443 Г п + 0,324 Y21+ |
9,353 Г 3 1 = 4,898 Р. |
|
Решаем эти три уравнения относительно Yn; |
Y21 и |
Y31: |
|
|
K u |
= |
0,44055 P; |
|
F 2 1 |
= 0,43483 P; |
|
|
|
|
|
|
|
Г 3 1 |
= |
0,48771 P; |
|
|
|
|
|
Пример IX-6. Рассмотрим |
перекрестные |
балки (рис. ІХ-6). Тре |
буется определить силы Yn; |
Y21; Y31; Yl2; Y22 |
и F 3 2 , возникающие в |
узлах балок АХВХ |
и А2В2 |
|
и силы Y'u; |
Y'2I; |
Y'31; |
Y'i2; |
и |
У'32> в о 3 ' |
никающие в тех же узлах, но на балках CXDX, |
C2D2 |
и |
C3D3. |
|
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nn= N21= N3X= Nx2= N22= N32= P; |
|
|
|
L = L = L = L = L = L; |
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
X% |
2, |
|
Z, |
2 , |
|
|
|
|
|
a * |
= a * |
= 100; |
a, |
|
= a |
= a |
= 400; |
|
|
|
E |
* i |
=£ |
= £ |
= £ = £ |
=£; |
|
|
|
|
|
|
* 2 |
|
2 t |
|
z, |
^ z , |
^ > |
|
|
|
|
|
hr |
= h = h = h = h = h; |
|
|
|
|
|
X\ |
|
x% |
|
Zi |
|
z% |
г.л |
|
|
|
|
|
E0 (Xl) |
= ^ 0 (*,) — E0 (X) ' |
|
v |
|
A m n |
E0 (z,) = |
^ 0 |
_^£l£o(z) |
— &* E0 |
(X) |
(z2 )4 . |
^ 0 (z,) |
= |
^ 0 (z) ï |
= |
|
|
4 > |
|
|
|
ßi = 0,l; ß2 = 0,4; ß 3 = 0,9.
Р е ш е н и е . Пользуясь уравнениями (IX-4), (IX-6a) и (IX-66), имеем:
4 (4,455 YIX + 1,296 Y2X+ 0,443 Y31) + 4,424 YXX + 0,371 YN = 4,898 P; 4 (2,789 YXX+ 1,513 7 2 1 + 1,803 F3 1 ) + 4,424 Y21 + 0,371 YZ2 = 4,898 P; 4 (0,444 F n + 0,324 Y21 + 4,455 У3 1 ) + 4,424 Y3X + 0,371 K 3 2 = 4,898 P или
22,244 YXX+ |
5,184 7 2 1 + |
0,371 Y12+ |
|
1,772 Y31= |
4,898 P; |
11,156 Г и + |
10,476^^+ 0,371 У 2 2 |
+ |
7,219 |
Y3L= |
4,898 P; |
1,776 F n + |
1,296 Y21+ |
|
22,244 7 3 |
1 |
+ 0,371 |
7 3 2 = |
4,898 P. |
Решаем полученные уравнения |
совместно: |
|
|
|
|
^11= 0,17 |
Р; |
^21 = |
0,16 |
P; |
П і |
= 0,19 |
P; |
Yl2 = 0,17 |
Р; |
^22 |
= |
0,16 |
P; |
^32 |
= |
0,19 |
P; |
У'п = 0,83 Р; |
Y2l = 0,84 |
P; |
|
|
|
0,81 P; |
0,83 |
Р; |
Y' |
= |
0,84_P; |
F' |
= |
0 . 8ГР . |
|
|
|
1 |
22 |
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
По полученным данным можно строить эпюры p; Q; M и у. |
|
Пример |
1Х-7. Даны |
перекрестные |
балки |
(рис. 1Х-6). Требуется |
определить |
силы |
YN; Y12; Y2x, |
F 2 2 ; |
Y31 |
и Y32, |
возникающие в узлах |
11, |
12, 21, |
22, 31 и 32 балок АХВХ и А2В2 |
и силы YN ; Y\2 |
; Y'2i ; Y'22 ; |
У'з\ |
и Уз2, возникающие в тех же узлах, |
но действующие |
на |
балках |
CXDX, C2D2 |
и C3D3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nu = N2i |
= Nai |
= N12 |
= W2 2 = JV32 = P; |
|
|
|
|
|
|
|
Lxi — Lx, = |
|
Lzt |
— L z |
, = L z |
, = L ; |
|
|
|
|
|
|
aXl |
= a*, = |
100; |
aZl |
= aZ s = aZt |
= 400; |
|
|
|
|
|
|
|
fjr, |
= |
EXt |
|
= EZl |
= EZt |
= Егз |
; |
|
|
|
|
|
|
£ o |
(л:,) = |
£ o (jt.) |
= £ o (г,) = |
E0 |
(г,) = |
E0 (гі); |
|
|
|
|
|
/г^ |
= /г*, = 0,5 |
м; |
|
hZl = Лг , = |
/г2> |
= |
0,317 м. |
|
|
Р е ш е н и е . |
Пользуясь |
уравнениями |
(ІХ-4), (ІХ-6а) |
и |
(IX-66), |
получаем*: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,455KU + |
1,296Y2L + 0,443 Y3X |
+ 4,424FU |
+ 0,371 Y12 |
= 4.898P; |
2,789УЦ |
+ |
1,513Г2 і + 1,803Г3 1 |
+ 4,424 Y2X |
+ 0,371 F 2 2 |
= |
4,898P; |
* Из-за симметрии конструкции и нагрузок Yxx |
= |
У1 2 ; К 2 І |
= К 2 2 и Y3X => |
= К 3 2 . Поэтому |
составляем только три |
уравнения. |
|
|
|
|
0 , 4 4 4 Г П + 0,324У2 1 + 4,455F3 1 |
+ 4,424F3 1 |
+ 0,371 F 3 2 = 4,898P. |
Решаем |
полученные |
уравнения относительно |
|
неизвестных Yn, |
Y гі, |
Yn; |
Y и, ... , Y'32 |
получаем: |
|
|
|
|
Yll |
= |
0.44P; |
V21 = |
0,44P; |
V31 |
= |
0.49P; |
|
Y1Z |
= |
0,44P; |
Y22 = |
0,44P; |
Y32 |
= |
0.49P; |
|
Y'u = |
0,56P; |
Y'21= |
0,56P; |
Y'3l |
= |
0,51P; |
|
Y'l2 |
= |
0,56P; |
Y22 = |
0,56P; |
Y32 == 0,51P. |
По полученным данным можно строить эпюры p; Q; M и у.
|
|
|
§ |
2. Расчет перекрестных балок (полос) |
и |
сетчатых плит, лежащих на упругом основании, |
концы которых |
одновременно опираются |
на |
несмещающиеся сосредоточенные опоры |
(рис. ІХ-7) |
|
У р а в н е н и я л и н е й н ы х п е р е м е щ е н и й б а л о к ( п о л о с ) , |
п а р а л л е л ь н ы х оси |
Ох |
Уравнения |
линейных перемещений в узлах с координатами / / , |
ml для балки А^Ву.
|
|
і=т |
|
|
|
|
+ |
УзІк) |
Yet", |
|
et I |
|
|
|
і=т |
|
|
и° м ) |
— У 7/ 2 1 ) |
X, Xi |
( Ь{Хі) — |
4 |
V °2I |
У21 |
I |
— Ь |
Уз(П)Хі |
|
_l-7/2 1 > V - ! - 7/ 2 1 ) |
V |
|
+ Уз (Л,) y A t |
+ |
У3 { B l ) |
У в, |
1 |
( s(*i) |
„ Л |
И |
Г V |
" ( m l ) |
|
|
( m l ) |
|
+ УЗ"ІА\) YAl + 1/37в') ^ B , |
|
Уравнения линейных перемгщений в узлах с координатами In; |
2п, |
тп для балки |
АпВп: |
|
I |
|
|
|
|
|
|
i=m |
|
|
|
|
|
2 |
^ ° i „ |
|
У in |
) |
|
|
Zi ^ ( ' " J * |
l " |
^ |
|
'Xn |
|
|
|
|
|
|
|
/ = 1 |
|
|
|
|
І |
|
|
|
|
|
|
i=m |
|
|
у |
, |
|
3t_ ( №„) |
_ |
„О <*„) |
\ = |
y |
- ( 2 » ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
I |
~(2n) |
v |
, |
~(2n) |
у |
|
|
|
|
|
+ |
У И \ ) У А п |
+ |
|
У*(Вп) УВп |
|
|
a |
і |
|
|
|
|
|
|
і=т |
|
|
|
|
х» |
** |
( |
|
— и°( *я» |
) = |
|
У |
ѵ{тп) |
|
Y- |
+ |
|
|
+ y * ( A n ) Y A + |
|
|
УЗ(Вп)УВп- |
|
|
В этих уравнениях YAi ; У В і , |
|
YAfi |
и F B „ — силы, возникающие |
по концам балок Аъ |
|
Ап; |
В1г |
|
|
Вп |
в результате их опирания на |
сосредоточенные |
несмещающиеся |
опоры. |
|
|
Рис. ІХ-7
Для нахождения этих сил используем условия равенства нулю реактивных давлений грунта под всеми концами балок:
L x Y A . |
п L |
[РЗ(Вп) |
гз (in) |
