Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3630 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

то математически эта зависимость будет выражаться так:

			Op =	Е • е .
Зависимость		эта	была впервые		установлена английским
ученым Гуком		и называется з а к о н о м				Г у к а.
Каков же физический смысл коэффициента пропорцио
нальности?
Это легко		установить,		если	сделать	допущение, что
А/ =	/, а значит е =		1. В этом случае Е =			ар . Можно ска
зать,	что Е — это такое напряжение растяжения, которое

возникает в материале, если брус удлиняется на величину, равную своей первоначальной длине. Надо отметить, что почти все материалы разрушаются гораздо раньше, чем напряжение достигает величины Е, поэтому это будет фиктивная величина напряжения. Тем не менее, она ото бражает действительные свойства материала, его способ


ность сопротивляться	упругой	деформации растяжения.
Коэффициент пропорциональности Е называется			м о д у
л е м у п р у г о с т и п р и р а с т я ж е н и и			( м о д у
л е м п р о д о л ь н о й	у п р у г о с т и ) .
Величина Е для различных материалов различна.
Например, для стали Е я» 2-Ю5		Н/мм2 . Для практических

расчетов удобнее иное математическое выражение закона

Гука		при	растяжении.
	Получить			его	несложно, если учесть,			что
гтл		IV		г-, Ш	или
Тогда		-p- = E--j-
					Д ' =	1 П Т -				(95)
	Следовательно,				абсолютное удлинение,			полученное		бру
сом, прямо			пропорционально			продольной силе и длине				бруса
и	обратно		пропорционально			площади	поперечного		сечения
и	модулю		упругости.
		§ 132.		Расчеты на прочность			при	растяжении
	1.	При	проверочном расчете, как мы уже отмечали,
надо		определить			действительные напряжения и				сравнить

их с допускаемыми. Прочность будет обеспечена, если ра бочие напряжения не превысят допускаемых. Математи-

290

чески это записывается так:

<*р = -/г«£ [ ар].

(96)

2. При проектном расчете требуется определить размеры поперечного сечения детали. В этом случае расчет ведется в предположении, что действительные напряжения будут равны допускаемым (или несколько меньше допускаемых).

Следовательно,

откуда F^s-^-j.	(97)
§ 133. Сжатие. Смятие
Деформация с ж а т и я	аналогична рассмотренной де

формации растяжения. Так же как и при растяжении, силы, деформирующие брус при сжатии, направлены вдоль оси

бруса в противоположные стороны (см.								р
рис. 194, б).	Однако			при	растяжении			\|
они были направлены от тела, а							при
сжатии — к	телу.			Внутренние			силы
упругости при		сжатии распределяются
по сечению, как и при растяжении, равно
мерно, ибо металл во всех точках попе
речного сечения испытывает одинаковую
деформацию.	Значит			и величина			дей	У/Ж////////////'/'<
ствительных	напряжений				при	сжатии		У/Ж////////////'/'<
ствительных	напряжений				при	сжатии
подсчитывается		аналогично:						Рис. 198.	Взаимо
				N				действие	тел, при
				N			(98)	водящее	к дефор
							(98)	мации	смятия
								мации	смятия
где N — равнодействующая внутренних сил упругости (про
дольная			сила);
F — площадь			поперечного			сечения		бруса.
Для сжатия		полностью применим закон Гука и его ма

тематические выражения аналогичны рассмотренным при растяжении.

Особенностью		деформации сжатия		является то,	что
оно	может сопровождаться		деформацией	с м я т и я .	Смя
тие	возникает на	опорной	поверхности а — б (рис.		198)

контактирующих тел, если одно из них нажимает па дру гое. Именно в этом основное отличие смятия от сжатия:.

10*

291

сжатие происходит во внутренних сечениях материала, а смятие — на его поверхности.

Естественно, что напряжения при смятии нормальные и что они во всех точках одинаковы. Поэтому величина дей

ствительных	напряжений определится					так:
			Och = -JT,				(99)
где Р — равнодействующая внешних						сил, приложенных
к	опорной		поверхности		контактирующих		тел;
F — площадь		опорной поверхности контакта тел.
	§	134.	Задачи с	решениями
З а д а ч а	27. Стальные стержни /			и	2 (рис. 199) круглого		сече


ния соединены между		собой и вертикальной стеной посредством шар
ниров. На шарнирный		узел В действует вертикальная с и л а Р = 10 кН.
Углы а = 30°	и р = 60°. Определить из условий прочности необходи
мые диаметры	стержней.

Рис. 199.

Стержневая

Рис.

200.

Разложение

сил

шарнирная

конструк-

(к

задаче

27)

ция — кронштейн

(к

задаче

27)

Р е ш е н и е .

Определение

внешних

сил, действующих на

стержни.

Вертикальная сила Р действует на

шарнир,

которым

соединены

оба стержня,

поэтому

силу

Р следует

разложить,

чтобы узнать ее со

ставляющие,

действующие

на каждый

из стержней

в отдельности.

В соответствии с рис. 200 получаем:

на

стержень

действует

сила

Рх

— Р • tg «;

на

стержень

действует

сила

Р а

—:—тг-.

292

Подставив	соответствующие			величины, получаем Р, я» 5,78 кН =
= 5,78-Юз	Н ;	рг^	П ) 5 4 к Н	=	11,54.103 н.

2.Определение внутренних сил, действующих в стержнях. При менив метод сечений, выясним, что для каждого из стержней в любом сечении внутренние силы равны внешним и ориентированы так, что стержень / испытывает деформацию растяжения, а стержень 2 — де формацию сжатия.

3.Определение необходимых размеров поперечных сечений стерж

ней.

Формула проектного расчета на прочность при растяжении (сжа

тии),	как	известно, следующая:
			_	N
				К ]
Для		данной	задачи, учитывая, что Л'1 =		Р 1 и N2	= P2 зависи
мости	запишутся		так:
				4
откуда
			У я - [ а р ]	У я [ а с
Таким	образом,		для определения	диаметров	стержней	необходимо

знать величину допускаемых напряжений при растяжении и сжатии.

Для

конструкционной

стали,

из которой

сделаны стержни,

принимаем

(по

справочнику)

[ар]

100 Н/мм2

[а с ]

= 100 Н/мм2 .

После

подста

новки

всех

числовых

данных

определяем

:> 8,6

мм

5г

12,2 мм.

28. На

конце

З а д а ч а

коленчатого

рычага

(а

450

мм;

6 =

150 мм) под

вешен груз

Р =

15 кН

(рис.

201).

Достаточно

ли

стерж

Рис. 201.

Схема

подвески

груза на

ню

изготовленному

из

коленчатом рычаге (к

задаче 28)

конструкционной

средне-

углеродистой

стали,

иметь

диаметр

d =

мм,

чтобы конструкция

была

достаточно

прочной?

1. Общая

схема решения.

Под действием силы Р рычаг стремится повернуться по часовой

стрелке. Этому препятствует стержень 1,

во всех поперечных

сечениях

которого,

очевидно, возникают нормальные напряжения

растяжения.

Диаметр стержня известен. Допускаемое напряжение можно опреде лить по справочнику, так как материал задан. Следовательно, задача сводится к определению действительных напряжений и сравнению их с допускаемыми (проверочный расчет).

2. Определение внешней силы, действующей на стержень.

Из условия равновесия рычага ясно, что на его плечи действуют силы, величины которых обратно пропорциональны длинам плеч. Так

293

как а : b =	3, то на	плечо OS действует сила Рх	= ЗР, т. е. 45 кН.
С такой же	силой рычаг действует на стержень		1.
3. Определение		внутренней силы, действующей в стержне 1,
Применив метод		сечений, выясняем, что равнодействующая внут

ренних сил равна внешней силе и что действительно, как мы и предпо лагали, стержень испытывает деформацию растяжения.

Определение

действительных

напряжений.

Формула

для

расчета

напряжений при

растяжении

Для

данного

случая

/V =

Pi = 45

кН

F — ——

= 176

мм2 . Таким

образом,

после подстановки получаем

о р =

4 5 1 ^ ° 3

=255

Н/мм2 .

Заключение

по

проверяемой

конструкции.

Необходимо сравнить действительные напряжения с допускае

мыми. По справочнику определяем [ар 1 =

100 Н/мм2 . Итак, а р > [ а р ] ,

т. е. стержень

не прочен.

135.

Упражнения и вопросы для

повторения

1. Трос свит из 20 проволок диаметром

1 мм;

допускаемое

напряжение материала

проволоки [ а р ] =

1 МН/м2 . Какой

груз

можно

безопасно поднять

этим тросом?

2. Какую силу Р надо приложить к стальному стержню диамет

ром d =

12 мм и длиной / =

4 м, чтобы он удлинился

на 0,5 см?

Какое

напряжение возникнет при действии этой

силы?

3. Какая существует зависимость между нормальным напряже

нием

и относительной

деформацией

при

растяжении

(сжатии)?

чем отличие

деформации сжатия

от

деформации

смятия?

5.Как распределены внутренние силы в поперечном сечении при растяжении (сжатии)?

6.Как определяется величина действительных напряжений при

растяжении; при сжатии; при смятии?

Глава двадцать вторая СДВИГ

§ 136. Характер деформации при сдвиге

Деформация сдвига возникает в тех случаях, когда внеш ние силы, действующие на брус, расположены в параллель ных плоскостях на очень малом расстоянии друг от друга и направлены в противоположные стороны. Характерным примером сдвига является резание материала ножницами, при этом происходит разрушение, называемое срезом.

294

Нетрудно представить, что при этом все точки деформи руемых сечений, ограниченных плоскостями действующих сил, смещаются на равные расстояния, т. е. материал в этих точках испытывает одинаковую деформацию. Следовательно, справедливо будет такое же рассуждение, какое мы приме нили при изучении деформации растяжения.' Повторим его. Одинаковые деформации вызывают одинаковые внутренние силы упругости, а следовательно, во всех точках сечения будут одинаковые действительные напряжения.

Поэтому их величина определится делением равнодей ствующей Q внутренних (поперечных) сил на площадь F поперечного сечения бруса. Так как вектор напряжения расположен в плоскости сечения, следовательно, воз никает касательное напряжение, т. е.

Как и при растяжении (сжатии), при сдвиге справедлив закон Гука — в зоне упругости напряжения прямо про порциональны относительным деформациям. Однако в этом случае относительная деформация другого характера (от носительный сдвиг) и обозначается у. Коэффициентом про порциональности служит величина модуля упругости при сдвиге G. Таким образом, закон Гука при сдвиге запишется в следующем виде: т = Gy.

§ 137. Расчеты на прочность при сдвиге (срезе)

Смысл и порядок расчета на прочность при сдвиге ничем не отличается от аналогичного расчета на прочность при

растяжении		(сжатии).
Так,	при	проектном	расчете
		7 г < [ т С р ] .		откуда
		F ^ - T ^ T		.	(101)
При	проверочном расчете
		Чр	р -	;[т с Р ] .	(Ю2)

Несколько сложнее лишь определение допускаемых на пряжений. Если для растяжения и сжатия величины [ар ] и [ас ] обычно приводятся в справочниках, то для опреде-

295

ления |TCPJ дополнительно пользуются наиденными из опь;;

тов закономерностями:
для	хрупких материалов [тс р ]	-"pi.0,5 [<тр].
для	пластичных материалов [тс р ]	-"pi.0,5 [<тр].

§138. Задачи с решениями

За д а ч а 29. Два листа (рис. 202) соединены заклепкой. На сое

динение действует сила	Р — 5 кН. Определить, достаточна ли проч
	ность заклепки, если ее диаметр
	d = 10 мм, а [т с р ] = 80 Н/мм2 .,

Рис. 202. Заклепочное соединение двух листов (к задаче 29)

1. Определение внешних сил, действующих на заклепку.

Через листы на заклепку передается действие сил Р, они действуют в параллельных плос костях на очень малом расстоя нии друг от друга и направлены

впротивоположные стороны.

2.Определение внутренних сил, действующих в заклепке.

Нетрудно заметить, что единственным сечением заклепки, в кото ром возможна деформация (исключая деформацию смятия на боковых поверхностях), является сечение, совпадающее со стыком листов. Применив метод сечения, выясняем, что равнодействующая внутрен них сил Q равна Р, а сами силы ориентированы так, что появятся каса тельные напряжения сдвига.

3. Проверка прочности заклепки. Прочность заклепки будет обеспече

на, если возникающие в ней действи тельные напряжения сдвига не превысят допускаемых.

Действительные напряжения

т с р =

5000

= 63,7

Н/мм2 .

3,14-

Ю2

Так как

т с р

[ т с р ] ,

то

прочность

обеспе

чивается.

• З а д а ч а

30. В стальном листе

тол

Рис. 203. К задаче 30

щиной

6 =

10 мм

пробили

на

прессе

квадратное

отверстие

со

стороной

мм

(рис.

203).

Определить силу, -которая потребовалась для

пробивания

отверстия,

если

предел

прочности при

срезе т г

400

Н/мм2 .

1. Общая

схема

решения.

При пробивании отверстия произошло разрушение материала листа

по четырем

поверхностям,

следовательно, Действительные

напряжения

при этом достигли напряжений предела прочности. Вполне очевидно, что при этом происходила деформация сдвига (среза). Таким образом, требуется определить внутреннюю и равную ей внешнюю силы по из вестным напряжениям и размерам, позволяющим подсчитать общую площадь деформируемых сечений.

296

2. Определение общей площади деформируемых сечений.

Эта площадь представляет собой площадь четырех прямоуголь

ников с размерами с X' б.
Таким образом				F =		4а-б	=	4-20-10 = 800		мм2 .
3.	Определение силы, потребной для пробивания отверстий.
Формула			для	расчета			напряжений		при сдвиге		(срезе)
ХСр =	-р-,	н о >	т а к к	а	к	Q — P	и	т с Р = т п ч .	то Р = т п ч		• F = 400 • 800 =
			=		320 000 Н.			Р =	320 кН .
	§	139.	Упражнения				и вопросы для			повторения
1.	Клиновое соединение						(рис. 204)		состоит	из	муфты 1, тяти 2
и клина 3. Размеры					соединения			указаны	буквами на		чертеже. Соеди-


		Рис. 204.				Клиновое соединение					(к упражнению 1)
нение передает усилие Р. Опре
делить		размеры			площадей				сече
ний, в которых происходит рас
тяжение,			срез и смятие.
2.		На	рис. 205 показаны две
конструкции. Определить,									какие
виды	деформации					испытывает
палец диаметра				d в том и другом
случае.		В каких			сечениях				про
исходят эти деформации?
3.		В	каких		случаях			возни
кает	деформация				сдвига?
4.		Как распределяются								на
пряжения			при	сдвиге			в	дефор
мируемом			сечении?
5.		Как определяется							вели
чина	действительных						напряже
ний	при		сдвиге		(срезе)?
Рис. 205. К упражнению 2:
а — сила			перпендикулярна							про	6)
дольной		оси пальца,				б	— сила			на
правлена			вдоль	оси		пальца

297

Глава двадцать третья КРУЧЕНИЕ

§ 140. Характер деформации при кручении

Кручение возникает при действии на брус двух пар сил, действующих в плоскостях, перпендикулярных оси бруса.


Момент	такой пары	внешних		сил	называется			с к р у ч и
в а ю щ и м м о м е н т о м .				При	кручении		каждое		попе
речное сечение по отношению				к соседнему			поворачивается
			на некоторый угол. Это легко
			можно		представить,			если	обра
			тить внимание на то, что прямо
			линейные			образующие			бруса
			принимают			вид винтовых			линий
			(рис. 206). Но это					значит, что
			в	каждом		сечении		происходит
			уже знакомая нам					деформация
			сдвига		и возникают			касательные
Рис. 206.	Резиновый	стер-	напряжения. Однако имеются и
жень до (а) и после		(б)	принципиальные				отличия. Если
скручивания			при обычном сдвиге все точки

			деформируемого сечения						прямо-
линейно	смещались	на равные расстояния,					то	при	круче
нии материал в различных точках одного и того же сече

ния, находящихся на разных расстояниях от оси бруса, испытывает разную деформацию. Чем дальше точка от оси, тем перемещение по дуге больше. Следовательно, по за кону Гука и напряжения в различных точках будут раз личны. Наибольшие напряжения кручения т т а х (так упро щенно их обозначают вместо тк т а х ) будут в наиболее удален ных точках, расположенных на поверхности бруса. Значит, в отличие от сдвига напряжения распределены по сечению неравномерно. Есть и еще одно отличие от обычной де формации сдвига. Заключается оно в следующем. Если при сдвиге внутренние силы приводились к равнодействующей

силе, то при кручений внутренние силы	образуют пару
сил, создающую к р у т я щ и й м о м е н т	Мк.
Оба эти отличия необходимо иметь в виду при определе

нии действительных напряжений. Если при сдвиге они определялись делением равнодействующей внутренних сил

на площадь	поперечного сечения,		то	теперь — при кру
чении — так	поступать	нельзя:	нет	равнодействующей
силы и распределены		силы по	сечению неравномерно.

298

Учитывая, что при кручении происходит сдвиг и что поэтому напряжение в каждой точке пропорционально относительной деформации, а сама относительная деформа ция зависит от расстояния точки до оси бруса (или, иначе говоря, до центра сечения, именуемого полюсом), можно с помощью математических преобразований, приравняв сумму моментов внутренних сил относительно продольной оси бруса внешнему моменту (метод сечения), определить величину максимальных касательных напряжений при кручении (вывод справедлив для бруса круглого попереч ного сечения диаметром d) следующим образом:

лк	м«	( 1 0 3 )
nds	0,2d3

Сам вывод не приводится ввиду его сложности.

Величина	я« 0,2d3 обычно обозначается Wp и называется
п о л я р н ы м		м о м е н т о м	с о п р о т и в л е н и я
к р у ч е н и ю .		Это, так же как и площадь, геометрическая
характеристика		прочности сечения.	Размерность этой ве-

§ 141. Расчеты на прочность при кручении

Как мы уже отмечали, типовой деталью, испытывающей деформацию кручения, является вал. При проектном рас чете на прочность надо по крутящему моменту и допускае мому напряжению определить требуемый диаметр вала.

Исходной является зависимость, в которой, как обычно, в качестве максимальных действительных напряжений используются допускаемые напряжения. Таким образом,

откуда

d ^ V w f a -

<104)

Так как для валов многих машин заранее бывает изве стен не момент, а передаваемая мощность N и угловая ско рость со вращения вала (или п об/мин), то прежде всего

299

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3630 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ