книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие

Часть третья ОСНОВЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Глава двадцатая ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

§ 124. Деформация тел

На все детали машин и сооружений во время их работы действуют различные силы (нагрузки). Методы определения величины и направления таких сил, приложенных к телам, находящимся в равновесии, мы изучали в разделе теоретиче­ ской механики, который назывался «статика». Однако при этом делалось допущение, что все тела являются абсолютно твердыми, т. е. недеформируемыми.

В действительности реальные тела под действием прило­ женных к ним сил в той или иной степени будут менять свою форму и размеры, т. е. деформироваться. Степень деформации может быть различной. Если тело в результате приложения к нему силы изменит свою форму, а затем, после прекращения действия нагрузки, восстанавливает прежнюю форму, то такая деформация называется у п р у ­

зависит от величины действующей на тело силы, размеров тела и механических свойств материала. В зависимости от направления действия сил, приложенных к телу, могут

нейшем мы будем знакомиться с деформациями тел наибо­ лее простой конфигурации. Таким телом является прямо­ линейный б р у с — тело с прямой осью, у которого длина больше поперечных размеров.

280

Деформация растяжения или сжатия возникает в том случае, когда силы направлены по одной прямой (вдоль оси бруса) в разные стороны (рис. 194, а, б). Если на брус

шается методами, изучаемыми в разделе механики, назы­ ваемом «сопротивление материалов».

§ 125. Внешние силы, внутренние силы и напряжения

Нагрузки, действующие на данное тело в результате

281

через очень маленькие площадки и с достаточной степенью точности могут считаться приложенными в точке. Именно такие силы мы изучали в разделе «Статика»; ими будем интересоваться и сейчас. По характеру действия нагрузки делятся на постоянные (статические) и переменные. Мы будем рассматривать наиболее простые случаи, когда дей­ ствуют постоянные нагрузки.

Как мы уже отмечали, под влиянием внешних сил тело деформируется. Это означает, что изменяются межмолеку­ лярные расстояния. При этом силы взаимного сцепления между молекулами оказывают противодействие внешним силам—так возникают внутренние силы упругости. Эти внутренние силы упругости распределены по всей площади

и всякая сила) является вектором, то и напряжение является также вектором. Следовательно, напряжение на схемах будет обозначаться векторами, размерность напряжения — Н/м2 , а также кН/м2 и МН/м2 . Если вектор внутренних сил, а значит, и напряжений направлен перпендикулярно сечению тела, напряжение называется нормальным и обозна­ чается буквой «сигма» — а. Если напряжение действует в плоскости сечения тела, то его называют касательным и обозначают буквой «тау» — т. К этим буквам в качестве индексов добавляют обозначения вида деформаций: р — растяжение, с — сжатие, ср — срез (при сдвиге), к — кру­ чение, и — изгиб. Например, ар — нормальные напряже­ ния при растяжении, т к — касательные напряжения при кручении и т. д.

§126. Действительные, предельно-опасные

идопускаемые напряжения

напряжения, которые фактически будут иметь место, если тело заданных размеров будет заданным образом нагру-

282

Величина нормативного запаса прочности выбирается конст­ руктором на основании опыта с учетом большого числа фак­ торов (свойства материала, характера нагрузки, степени ответственности детали и др.), примерные величины допус­ каемых напряжений для простейших расчетов обычно при­ водятся в справочниках.

Таким образом, окончательно условие прочности любой детали будет таким: действительные напряжения меньше или равны допускаемым напряжениям.

Обычно допускаемые напряжения обозначают теми же бу­ квами, что и действительные, но заключают их в квадратные скобки. Например, а р — действительное напряжение при растяжении, а [ар] — это допускаемое напряжение при рас­ тяжении.

Условие прочности можно написать и в таком виде п 2==

§ 127. Метод определения внутренних сил (метод сечений)

Повторим кратко еще раз основное направление наших рассуждений, принятое в предыдущих параграфах: 1) внешние силы вызывают деформацию; 2) в результате деформации появляются внутренние силы упругости; 3) интенсивность распределения внутренних сил характери­ зуется величиной этих сил,.приходящихся на единицу пло­ щади поперечного сечения, т. е. напряжением; 4) действи­ тельные напряжения не должны превышать допускаемых, в этом случае гарантируется прочность детали; 5) основной задачей сопротивления материалов является определение минимально необходимых размеров детали, обеспечива­ ющих ее работоспособность.

Таким образом, для решения основной задачи сопротив­ ления материалов необходимо научиться по внешним силам определять внутренние силы упругости. Для этого приме­ няют метод сечений. Сущность его заключается в следующих четырех действиях.

Пусть имеется брус, к которому приложены известные внешние силы. Брус находится в равновесии.

1. Мысленно рассекают брус плоскостью, перпендику­ лярной к его оси, в том месте, где требуется определить внутренние силы.

2. Отбрасывают любую из полученных частей. Равно­ весие оставленной части не нарушится лишь в том случае, если к ней приложить внутренние силы, заменяющие

284

действие отброшенной части. Для оставленной части они будут играть роль внешних сил.

3.Заменяют действие отброшенной части искомыми внутренними силами.

4.Уравновешивают оставленную часть, т. е. по прави­

лам статики составляют и решают уравнения равновесия

для сил, приложенных к оставленной части. В результате определяют искомые внутренние силы. Следует отметить, что в этом случае определяется не закон распределения внутренних сил по сечению, а лишь равнодействующая этих сил (или пара сил).

Вначале проиллюстрируем этот метод на трех простых случаях нагружения бруса (рис. 195, а).

Первый шаг — рассекаем брус (рис. 195, б), затем отбрасываем одну часть (рис. 195, в) (показана оставленная часть); наконец заменяем действие отброшенной части внутренними силами с таким расчетом, чтобы соблюдались

285

условия равновесия, т. е. одновременно в уме для таких простых случаев составляем и решаем элементарные урав­ нения равновесия (иначе говоря, производим третье и четвертое действие) (рис. 195, г).

Рис. 196. Определение внутренних сил методом

точно, чтобы внутренние силы приводились к равнодейст­

место нормальные напряжения сжатия ас . В случае I I I силы

286

действуют в плоскости сечения и поэтому появятся каса­ тельные напряжения сдвига т с р .

Рассмотрим применение метода сечений еще для двух более сложных случаев нагружения (рис. 196, а).

Первые два действия — рассекаем брус и отбрасываем одну его часть (рис. 196, б, в) — ничем не отличаются от аналогичных действий в предыдущих примерах. Не отли­ чаются и следующие два действия (рис. 196, г), однако результат они дадут иной. Так как брусья нагружены внешними моментами сил, то и уравновесить последние, как известно из статики, можно лишь равными им моментами сил. Очевидно, что в сечении внутренние силы в этих слу­ чаях приводятся не к равнодействующим силам, а к парам

сечения (т. е. иначе — плоскость действия пары сил перпен­ дикулярна продольной оси бруса), а значит и сами внутрен­

ющуюся результатом действия нормальных сил. Поэтому возникнут нормальные напряжения изгиба аи .

§ 128. Проектный и проверочный расчеты на прочность

При решении практических задач сопротивления мате­ риалов могут встретиться два типовых случая.

1. Известны внешние силовые факторы (силы, моменты) и материал. Требуется определить размеры поперечного сече­

поперечного сечения детали будут тем меньше (а это эконо­ мически, естественно, более целесообразно), чем большие действительные напряжения мы допустим в ней. Следова­ тельно, мысленно приравняем действительные напряжения самым большим безопасным, т. е. допускаемым. Затем, применив метод сечений, определяем внутренние силовые факторы (силы, моменты). В заключение, зная напряжения и внутренние силовые факторы, определяют размеры попе­ речного сечения по расчетным формулам. Эти расчетные

287

формулы будут приведены ниже при рассмотрении каждого вида деформаций.

2.Известны внешние силовые факторы (силы, моменты)

иматериал; также известны размеры поперечного сечения детали. Требуется произвести проверку прочности детали.

Такая задача называется п р о в е р о ч н ы м расчетом. В этом случае надо определить действительные напряжения, сравнить их с допускаемыми и сделать вывод о прочности. Как мы уже знаем, деталь будет прочной, если окажется выполненным следующее условие: действительные напря­ жения меньше или равны допускаемым напряжениям. Вели­ чина допускаемых напряжений выбирается, как и в первом

288

5. Какое различие между понятиями «действительное напряжение», «предельно-опасное напряжение» и «допускаемое напряжение»?

6. Каково основное условие прочности любой детали?

7. В чем сущность основных расчетов: проектного и проверочного?

Глава двадцать первая РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

§ 130. Характер деформации при растяжении

Как мы уже отмечали, деформация растяжения возни­ кает в том случае, если внешние силы направлены по одной прямой в разные стороны вдоль оси бруса. Если представить себе в таком брусе воображаемые продольные волокна, то ясно, что все они удлинятся, и причем, очевидно, удлине­ ния всех волокон будут одинаковы. Иначе говоря, материал в любой точке поперечного сечения будет испытывать оди­ наковую деформацию. Следовательно, и внутренние силы упругости также во всех точках будут одинаковы, ведь они пропорциональны величине деформации. Но это означает, что во всех точках будут одинаковые напряжения. Оче­ видно, что при таком равномерном распределении внутрен­ них сил по сечению величину действительных нормальных напряжений можно получить, разделив равнодействующую JV внутренних сил (продольную силу) на площадь F попе­ речного сечения бруса, т. е.

§ 131. Закон Гука при растяжении

Многочисленными опытами установлено, что в некото­ рых пределах нагружения при упругих деформациях напря­ жение при растяжении ор оказывается прямо пропорцио­ нальным величине относительного удлинения е. Относитель­ ным удлинением называется отношение абсолютного удли­ нения (прироста длины) бруса к его первоначальной длине, т. е.

Величина е безразмерная или выражается в процентах. Если коэффициент пропорциональности между напряже­ нием и относительным удлинением обозначить буквой Е,

\