
книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие
.pdfзначения работ в уравнение (68а):
kx2 |
mv2 , , . |
mv2 |
kx2 |
— = — - ( - M s * ) ; |
— = ~2 / m £ * - |
Конечная скорость тела равна:
-,/" fee2 „,
§ 90. Энергия вращающегося твердого тела
Для определения энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, можно поступить точно так же, как и при определении энергии тела, движущегося посту пательно. Только исходным уравнением будет уравнение динамики для вращательного движения тела (см. § 75 и 77):
М д в - Л4С = / е . |
|
Рассмотрим работу движущего вращающего момента |
М д в |
•и момента сил сопротивления Мс. Для этого умножим |
обе |
части равенства на угловое перемещение ср тела: |
|
Мдв ср — Л1сф = Убф. |
|
Произведение Л4д в ф равно работе ^4ДВ движущего вращаю щего момента. Так как направления момента движущих сил М д в и углового перемещения ф совпадают, то эта работа всегда положительна Л д в = Млв ф.
Произведение Мс ф равно работе Л с момента сил сопро тивления. Направление действия вращающего момента Мс противоположно угловому перемещению ф, поэтому работа Л с всегда отрицательна Л с = —Мс ф. Из последних трех равенств имеем:
Л д в - ( — Лс ) = /еф, Л я в + Л с = Уеф.
В том случае, когда действующие моменты Мдв и Мс не изменяются с течением времени, угловое ускорение е тела остается постоянным.
Из кинематики известно, что при постоянном угловом ускорении тело вращается или равноускоренно, или равнозамедленно. Угловое перемещение ср определяется через угловую скорость со,, в начальный момент времени, угловую скорость со в момент времени, когда тело повернется на угол ф, и постоянное ускорение е при помощи выражения,
220
полученного в § 52:
ф : 2е '
Из формул, приведенных выше, находим:
Л д в + Л с = ^ - ^ - . |
(69) |
Теперь рассмотрим величину - ~ в этом выражении.
Мы знаем, что для изучения движений твердого тела его представляют как сумму большого количества малых эле ментов и к каждому элементу применяют закономерности, полученные для движения материальных точек (см. § 74). Каждый малый элемент вращающегося твердого тела имеет массу mi и линейную скорость vt = г;со, где со — угловая скорость, общая для всех точек тела.
Кинетическая энергия малого элемента равна:
Р — |
m-vf |
— |
m.r?(o2 |
' ' |
' ' |
||
^ Kt — |
о |
— |
о |
Если мы сложим величины кинетических энергий всех малых элементов, то получим кинетическую энергию вра щающегося тела:
co2m,r? со2
Ек = 2 EKi = I — ? 1 — = -g- • 2 т-Д.
Здесь величина со2 вынесена за знак суммы как общий множитель. Величина 2 т г г | нам уже известна. Она равна моменту инерции тела J = 2/П;Л?. Поэтому величина кине тической энергии вращающегося твердого тела' равна
£ к = ^ . |
(70) |
Таким образом, в выражении (69) в правой части на-
/со2
ходится разность кинетической энергии —^— в момент вре мени, когда тело под действием вращающего момента по вернется на угол ф, и кинетической энергии тела •—1 в на чальный момент времени. Следовательно, суммарная ра бота, совершаемая над любым вращающимся твердым телом, равна изменению кинетической энергии тела. Этот вывод полностью совпадает с выводом, полученным в § 89 для тела, движущегося поступательно,
221
Подставляя в уравнение |
(69) |
величины |
работ Л д в |
и Ас, получим: |
|
|
|
М д в Ф = - ^ - |
^ |
+ М с Ф . |
(69а) |
Работа движущего вращающего момента равна сумме изменения кинетической энергии вращающегося тела и ра боты момента сил сопротивления.
Этот результат имеет весьма важное прикладное зна чение, так как вращательные движения тел наиболее рас пространены в технике. Рассмотрим следующую задачу.
З а д а ч а 26. Двигатель внутреннего сгорания приводит во вра щение компрессор. Частота вращения вала двигателя равна 1000 об/мин. Момент инерции всех вращающихся частей равен 0,2 кг-м 2 . Внезапно кратковременно уменьшилась нагрузка на компрессор (например, упало давление воздуха). Это привело к тому, что в течение небольшого промежутка времени вал успел повернуться на 15 оборотов, а вра щающий момент двигателя был больше момента сил сопротивления, действующего со стороны компрессора, на 5 Н • м. Необходимо опреде лить изменение угловой скорости вала двигателя, которое при этом произойдет.
Для решения задачи воспользуемся выражением (69а). Найдем все величины, которые можно подсчитать по условиям задачи. Раз
ность движущего |
вращающего |
момента |
и момента |
сил |
сопротивления |
|||||||
равна |
Л1дВ |
— Мс |
= |
5 Н - м . Угловое перемещение |
вала, |
соответствую |
||||||
щее 15 его оборотам: ср = |
2л-15 = 94,2 |
рад. Момент инерции вращаю |
||||||||||
щихся частей J = 0,2 кг - м 2 . Угловая скорость в начальный момент |
||||||||||||
времени: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пп |
|
я • 1000 |
„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
С 0 » = ^ г = - ж - : = 1 0 4 ' 7 р а д / с - |
|
|
|
|
|||||
В уравнении (69а) остается неизвестным угловая |
скорость |
со |
вала |
|||||||||
после |
его |
разгона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(M№-Mz)q> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
9 • 5 • 44 9 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
•' m,7* |
+ Z |
° Q 2 % |
=125,6 рад/с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
125,6 |
|
Угловая |
скорость |
вала |
двигателя |
увеличится |
в |
— = |
. „ . ' |
= |
||||
= 1,2 |
раза. |
|
|
|
|
|
|
со0 |
104,7 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теперь изменим условие задачи. Увеличим момент инерции вра |
||||||||||||
щающихся |
частей в 5 раз, т. е. J' = 5/ |
= 5-0,2 = |
1 кг-м2 . Это можно |
сделать, установив на валу двигателя маховое колесо. Отличительной особенностью этого колеса является массивный обод. Сосредоточение массы вблизи наружного диаметра увеличивает момент инерции махо вого колеса (см. § 76). Определим увеличение угловой скорости вала
222
в этом случае при неизменных |
остальных |
условиях: |
|
|
||||||
|
ш = |
Л Г ~ |
|
2 ( Л 1 Д В - М с ) ф |
|
|
||||
|
у |
cos Н |
|
|
— |
= |
|
|
||
= |
"j/~104,72 |
+ |
2 - 5 |
t |
9 4 |
' 2 = Ю 9 , 1 рад/с. |
|
|
||
Угловая скорость |
вала |
увеличится |
в |
со' |
109,1 |
|
раза. |
|||
— = |
, _. _ = 1,04 |
|
||||||||
|
|
J |
|
|
|
|
со0 |
104,7 |
г |
|
Сравнивая полученные результаты, мы видим, что угло вая скорость вала двигателя увеличивается значительно меньше при большой величине момента инерции вращаю щихся частей. Это объясняется тем, что большая часть ра боты «избытка» движущего вращающего момента над мо ментом сил сопротивления увеличила кинетическую энер гию дополнительно установленного махового колеса. Однако чрезмерное увеличение момента инерции махового колеса нежелательно, так как его размеры и масса возрастают, а вы игрыш от уменьшения изменения угловой скорости вала становится не так существенным.
Например, увеличим момент инерции вращающихся частей в 10 раз по сравнению с первоначальным значением: J" = 10У = 10-0,2 = = 2 кг-м2 . Тогда
|
|
|
(й"=у |
co-SH |
jr, |
|
|
|
= |
l/'mA |
72 |
, |
2-5-94,2 |
= 106,9 |
рад/с |
' |
н |
со" |
106,9 |
= ] / Ю4,7- |
+ |
g |
|
- _ |
= _ . = 1,02. |
со'
Таким образом, при J' — 5J мы получили — = 1 , 0 4 и при J" = со0
со"
= 10У =1,02. Момент инерции увеличился значительно, а откло-
пение угловой скорости от начального значения со0, хотя и уменьши лось, но не так существенно.
Коленчатый вал двигателя внутреннего сгорания всегда вращается неравномерно вследствие изменения давления газов, образующихся при сгорании топлива, за время каж дого рабочего цикла, а также вследствие неодинаковой работы отдельных цилиндров двигателя. Если изменения угловой скорости будут слишком велики, то возникают нежелательные вибрации тех механизмов, которые соеди няются с двигателем. В результате уменьшается их дол говечность и надежность работы.
Поэтому установка махового колеса всегда желательна в тех случаях, когда необходимо уменьшить изменения угло-
223
вой скорости, происходящие во время работы машин и ме ханизмов.
Маховое колесо применяют и в тех случаях, когда в те чение небольшого промежутка времени требуется затратить большое количество энергии. Например, в механических прессах, крупных ножницах для разрезания металла и т. п. Время, в течение которого осуществляется нужная нам де формация заготовки, обычно мало по сравнению с време нем, необходимым для выполнения подготовительных опе раций (установки заготовки, выемки изделия и т. п.). Поэтому во время выполнения подготовительных операций двигатель увеличивает угловую скорость махового колеса, и происходит процесс накопления кинетической энергии. Эта энергия расходуется на совершение механической ра боты в течение кратковременного рабочего хода. Конечно, можно было бы обойтись и без махового колеса, но в этом случае нужно установить двигатель большой мощности, который значительную часть времени будет работать вхо лостую, что невыгодно с экономической точки зрения.
§ 91. Закон сохранения механической энергии
В предыдущих параграфах были рассмотрены виды ме ханической энергии: потенциальная энергия — энергия, связанная с поднятием тела над Землей, и энергия, свя занная с упругими деформациями; кинетическая энергия —• энергия, связанная с движением тела. Мы также устано вили, что при поступательном и при вращательном движе нии тела мерой механической энергии является работа, зависящая от величины действующих сил или вращающих моментов и перемещения тела. Так как силы и моменты сил всегда являются результатом взаимодействий тел, то и при рассмотрении механической энергии нужно учитывать энергию всех взаимодействующих тел или, как говорят, системы тел."
Если мы поднимем тело над поверхностью Земли и предо ставим его самому себе (освободим от удерживающих его связей), то оно будет падать под действием силы тяжести.
После начала падения тела запас потенциальной энер гии системы начинает уменьшаться, а кинетическая энер гия системы увеличивается. Можно доказать, что величина кинетической энергии Земли при рассмотрении относитель ного движения тела и Земли очень мала, поэтому практи чески вся потенциальная энергия системы, состоящей из
224
тела и Земли, превращается в кинетическую энергию рас сматриваемого тела. Именно на этом основании условно
говорят, что тело обладает относительно |
поверхности |
Земли потенциальной энергией, которая может |
переходить |
в кинетическую энергию тела. На самом деле, всегда нужно рассматривать энергию системы тел и возможные превра
щения потенциальной |
и кинетической энергии системы |
|
тел. |
|
|
Из курса физики известно, что для случая движения |
||
тела, когда на него действует только |
сила тяжести, а силы |
|
сопротивления воздуха |
отсутствуют, |
сумма кинетической |
и потенциальной энергии не изменяется.
Точно также для любой системы тел, взаимодействующих между собой с силами тяготения и силами упругости, всегда оказывается постоянной суммарная потенциальная и кине тическая энергия. Например, мы можем бросить тело с не которой высоты на пружину, расположенную вертикально. В данном случае имеется система, состоящая из тела, пружины и Земли. Для всех этих тел сумма потенциальной энергии тяготения, потенциальной энергии упругости и кинетической энергии будет оставаться постоянной. При движении количество энергии каждого вида может изме няться, энергия может переходить из одного вида в другой и от одного тела к другому, но общий запас механической энергии остается неизменным. В этом и заключается закон сохранения механической энергии: полная энергия системы
тел, между |
которыми |
действуют |
силы |
тяготения и силы |
|
упругости, |
остается |
неизменной |
при |
любых |
движениях |
тел этой системы; возможны только взаимные |
превращения |
потенциальной и кинетической энергии.
Обратите внимание на следующее обстоятельство. В этой формулировке ничего не говорится о внешних силах, дей ствующих на рассматриваемую систему тел со стороны дру гих систем, а также о силах трения. Предполагается, что внешние силы и силы трения отсутствуют. Однако наши знания об окружающем мире говорят о том, что все движе ния на Земле сопровождаются трением. Поэтому закон со хранения энергии в механике в более общем случае форму лируется так: изменение полной энергии системы при пе реходе из одного состояния в другое равно работе, совер шенной при этом внешними силами и силами трения.
Например, при падении тела с большой высоты его ско рость вследствие действия возрастающих сил сопротивле ния воздуха становится постоянной. Парашютист, совер-
8 И, И. Гольднн |
225 |
шающий затяжной прыжок, достигнув скорости .примерно 60 м/с, продолжает падать равномерно. В этом случае кинетическая энергия перестает изменяться, а потенциаль ная энергия поднятия над Землей продолжает уменьшаться. За счет убыли потенциальной энергии совершается работа против сил сопротивления воздуха.
В пружинном аккумуляторе (см. § 89, задача 25) потен циальная энергия пружины расходуется не только на уве личение кинетической энергии тела, но и на совершение работы против сил трения.
После выключения электродвигателя станка кинетиче ская энергия вращающихся частей расходуется на совер шение работы против сил трения.
Из приведенных примеров видно, что потенциальная и кинетическая энергия системы тел может уменьшаться, если в системе действуют силы трения. Убыль энергии идет на совершение работы против сил трения и не исчезает бесследно, а переходит в другие виды энергии (тепловую, химическую и т. д.).
Энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она может превращаться из одного вида в другой. Всегда общее количество энергии всех видов, включая и механическую и все другие виды энергии, остается постоянным. В этом за ключается всеобщность закона сохранения энергии.
Закон сохранения механической энергии, который мы рассмотрели выше, является лишь частным случаем. Меха ническую энергию всегда можно подсчитать, пользуясь основными законами движения тел. *
§ 92. Механический коэффициент полезного действия
Любой механизм совершает работу за счет энергии, ко торую он получает от двигателя. Двигатели осуществляют превращение энергии какого-то определенного вида в ме ханическую энергию. Например, в электродвигателе про исходит превращение электромагнитной энергии в механи ческую энергию; в двигателе внутреннего сгорания внут ренняя энергия газов, образовавшихся при сгорании топ лива, также превращается в механическую энергию.
Механическая энергия, получаемая от двигателя, пере дается от него потребителю энергии. Потребителем энергии являются те машины и механизмы, которые мы строим для выполнения полезной работы. На станках производится обработка деталей, подъемные краны поднимают и переме-
226
щают грузы, компрессор сжимает воздух, насос обеспечи вает подачу жидкости под давлением. Однако не вся меха ническая энергия, получаемая от двигателя, расходуется на совершение полезной работы. В любом механизме, в лю бой машине действуют силы трения, на преодоление которых нужно затратить часть энергии, потребляемой механизмом. Эта энергия превращается во внутреннюю энергию деталей механизма, идет на их нагревание и не может быть превра щена в полезную работу. Работа, совершенная за счет этой энергии против сил трения, для потребителя является бес полезной и потерянной. Заметим, что и в самом двигателе процесс преобразования энергии также сопровождается потерями. Например, внутренняя энергия газов в двига теле внутреннего сгорания расходуется не только на со вершение механической работы, но и на бесполезное нагре вание деталей двигателя. В электродвигателе электрический ток нагревает те проводники, по которым он проходит. Кроме того, часть механической энергии, полученной в дви гателе, расходуется в нем самом на работу против сил тре ния (например, потери энергии на трение в подшипниковых узлах). Для того чтобы показать, насколько эффективно происходит превращение энергии из одного вида в другойили насколько хорошо используется подводимая энергия для совершения полезной работы, в технике используют
специальную величину, которая |
называется |
к о э ф ф и |
|||||
ц и е н т о м п о л е з н о г о |
д е й с т в и я |
(сокращенно |
|||||
к. п. д.): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полезная |
энергия |
|
|
||
|
к.П.Д. = |
|
|
. |
|
|
|
Коэффициентом |
затраченная |
энергия |
|
или ма |
|||
полезного |
действия |
механизма |
|||||
шины |
называется |
отношение |
полезной |
энергии |
к |
затрачен |
|
ной |
энергии. |
|
|
|
|
|
|
Так как мерой количества механической энергии яв ляется работа, то справедливо также и следующее определе
ние |
к. п. д.: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полезная работа |
|
|
|
|||
|
К.П.Д. = |
|
s |
• |
|
|
|
|
|
|
совершенная |
работа |
|
|
|
||
|
Коэффициентом |
полезного |
действия |
механизма |
или |
ма |
||
шины называется |
отношение |
полезной |
работы |
к |
совершен |
|||
ной |
работе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Наконец, величина мощности показывает, как быстро |
|||||||
совершается механическая работа. |
Поэтому |
можно |
дать |
8 |
227 |
и следующее |
определение к. п. д.: |
|
|
||||
к.п.Д. |
мощность, передаваемая механизмом потребителю |
|
|||||
|
мощность, |
подведенная к |
механизму |
|
|||
|
|
|
|||||
Коэффициентом |
полезного |
действия |
механизма или |
ма |
|||
шины называется |
отношение |
мощности, передаваемой |
по |
||||
требителю, |
к подведенной |
мощности. |
|
|
Определения к. п. д., приведенные выше, являются рав ноправными, так как все они говорят о том, какую долю из
располагаемого |
запаса |
энергии |
мы |
используем |
полезно |
||
в том или ином конкретном случае. |
|
|
|||||
В |
технике |
обычно |
предпочитают |
определять |
к. п. д. |
||
через |
величину |
мощности |
Nlt |
подводимую к механизму, |
|||
и величину мощности N2, |
отдаваемую механизмом потреби |
телю. Если обозначить коэффициент полезного действия ц
(греческая буква |
«эта»), то в соответствии с определением |
к. п. д. получим |
следующую формулу: |
Обозначим все потери мощности в механизме Л^П 0 Т ерь. Согласно закону сохранения энергии мощность Nlt подве денная к механизму, равна сумме полезной N2 и потерянной ^потерь мощностей:
|
N i = N 2 - f - N n 0 T e p b . |
|
||||
Разделим |
обе части равенства |
на |
величину |
Л^: |
||
|
j |
N2 |
1 |
Nпотерь |
|
|
|
|
|
1 |
N, |
• |
|
Используя |
выражение |
(71), |
находим: |
|
||
|
|
. |
|
^потерь |
(72) |
|
|
4 = 1 |
|
д ^ . |
Так как потери мощности неизбежны в любом механизме, то и к. п. д. всегда меньше единицы.
Все механизмы и машины стремятся сделать такими, чтобы бесполезные потери энергии в нем были возможно меньше. Для этого стараются уменьшить силы трения и другие вредные влияния. В наиболее совершенных механиз мах и машинах удается уменьшить потери энергии на столько, что они составляют всего несколько процентов от величины затрачиваемой энергии. Например, наибольший коэффициент полезного действия электродвигателей пере-
228
менного тока средней мощности равен ц = 0,93 ~f- 0,95, крупных гидротурбин г\ — 0,91 -г- 0,94.
К. п. д. является переменной величиной для каждого механизма и машины. Он зависит от величины сил, разви ваемых при работе, и от скоростей движения отдельных деталей. Представьте себе, что мы пустили в ход электро двигатель, не соединенный с потребителем энергии. В этом случае из сети потребляется электрическая энергия, кото рая расходуется только на совершение работы против со противления внутри самого двигателя. Полезной работы при этом не совершается. Следовательно, к. п. д. электро двигателя в данных условиях равен нулю. При работе
Рис. 130. Схема гидравлического привода металлорежу щего станка
электродвигателя, соединенного с потребителями энергии, всегда найдутся такие условия, при которых механическая энергия будет использоваться наилучшим образом и к. п. д. достигнет наибольшего значения. Если заставить работать электродвигатель в других условиях, отличающихся от наиболее благоприятных, то величина к. п. д. будет меньше по сравнению с максимально возможным значением.
В технике, как правило, используют агрегаты, т. е. устройства, состоящие из нескольких соединенных друг с другом механизмов и машин. Например, на рис. 130 по казана схема гидравлического оборудования, применяю щегося в некоторых типах станков для осуществления пере мещения стола, режущего инструмента и т. д. Электродви гатель потребляет из сети электрическую мощность Л^э и преобразует ее в механическую мощность Nlt которая рас ходуется на приведение в действие насоса. При этом к. п. д.
229