книги из ГПНТБ / Рикардс Р.Б. Устойчивость оболочек из композитных материалов

но ограничения <р„,(х) сложны. Таким образом, не каждый стан­ дартный метод прямого поиска может оказаться полезным. Рас­ смотрим методы синтеза, которые применялись в подобных за­ дачах. В § 7. 2 уже были отмечены метод множителей Лагранжа и метод случайного поиска [130]. В [206] для поиска использован метод «штрафных» функций [199], суть которого заключается в следующем. Вместо минимизации функций г(х) с ограничением Ф т(х )^0 последовательно минимизируется функция вида

где X — постоянный множитель, 7,>0. Пусть Х = Х\ и задан век­ тор х0 внутри допустимой области (где <рт (х)>0). Тогда произ­ водится минимизация функции Ф(х, Ц) без ограничений и находится вектор хь Процесс минимизации повторяется k раз для A,i>7w2> - - - A,fe>0. В [199] показано, что для выпуклой функ­ ции, если Хи>0, оптимальное решение для функции Ф(х, X/t) стремится к оптимуму функции цели:

Ф*(х*, Xh) =z*(x*).

Здесь х* — вектор параметров оптимизации, при котором функ­ ция цели z(x) принимает минимальное значение. Минимизацию функции Ф(х, X) можно производить одним из методов ре­ гулярного поиска: градиентным, симплекс-методом или, напри­ мер, методом, предложенным в [200], который удобен в случае так называемых «овражных» функций, какой является функция «штрафов» Ф (хД). Функция Ф, вообще говоря, многоэкстре­ мальна. В связи с этим для ее минимизации желательно исполь­ зовать подходящий метод случайного поиска [130].

Для решения задачи, сформулированной в § 7.3, нами была использована модификация метода проективных градиентов [219], сводимая к следующему: рассматривается задача нахож­ дения максимума нелинейной функции при наличии нелинейных ограничений. Целевая функция

Рассмотрим евклидово «-мерное векторное пространство Еп. Точка в Еп определяется вектором

Пусть точка х0 лежит в 6-окрестности пересечения S q гиперпо­ верхностей Sm, т= 1 ,..., q, где 1 ^ q ^ t n . Гиперплоскость, со­ держащая х0, ортогональная к uj(x0) и касательная к Sm в точке х0, называется опорной гиперплоскостью Нj(x0) к гиперпо­ верхности Sm в точке х0. Введем обозначения для вектора гради­ ента целевой функции:

и матрицы Ug(x), столбцы которой являются векторами гради­ ентов активных ограничений:

(UgT — транспонированная матрица Ug). Симметричная мат­ рица проектирования размером пХ п определяется таким об­ разом:

Из'точки xfe будем двигаться в направлении вектора г (x):

который представляет проекцию градиента целевой функции g

Рис. 7.4.1. Движение к оптимуму по много­ образию S q.

на пересечении опорных гиперплоскостей (рис. 7.4.1). После шага длиной т вдоль вектора г получим новую точку

которая, естественно, не будет принадлежать ни области допус­ тимых решений R, ни многообразию S q. Возвращение на S q со­ вершим путем итерации по ^-мерному линейному многообразию, ортогональному к Hq(xk). Для этого используем рекуррентную зависимость

W g ( x ) — вектор рассогласования. В точке х достигается локаль­ ный максимум функции z(x) или минимум функции веса G(x), если выполнены условия

(г — вектор проекции градиента до нормализации).

Алгоритм решения состоит в следующем.

1.Проверяются условия оптимальности (4. 13) и (4. 14).

2.Если | г| > е, совершается шаг по формуле (4.11) с воз­ вращением на многообразие S q при помощи итеративной про­

цедуры (4.12).

3. Если новая точка xfe+) нарушает какое-либо из пассивных ограничений, отыскивается такая длина шага которая дала бы Xft+i на пересечении многообразия S q и гиперповерхности

нарушенного пассивного ограничения. Нарушенное ограничение включается в число активных, и получается новое многообразие 5 д+ь по которому продолжается движение.

4. Если |г |^ е , но по крайней мере одно st<0, то из числа активных исключается соответствующее ограничение. Движение продолжается по новому многообразию S9_i.

Существенное значение в обеспечении успешной работы алго­ ритма имеет выбор значений начального шага т, величин 6 и е, а также элементов матрицы а.ц. В процессе практических вычис­

7. 5. РЕЗУЛЬТАТЫ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК

С ПРОИЗВОЛЬНО НАПРАВЛЕННЫМИ

АРМИРУЮЩИМИ ВОЛОКНАМИ

Рассмотрим некоторые числовые результаты синтеза цилин­ дрических оболочек для задачи, сформулированной в § 7. 1 и § 7.3. В качестве метода поиска использован алгоритм, основан­ ный на методе проективных градиентов, изложенном в §7.4.

Рассмотрим следующий пример: спроектировать оптималь­ ную цилиндрическую многослойную оболочку заданной длины L с углами намотки слоев (0, +45, —45 и 90°). Исходным мате­ риалом являются борные волокна с характеристиками Еа =

= 4,2-106 кгс/см2; va= 0,21; удельный вес уа= 2,6 г/см3 и эпоксид­ ное связующее, модуль упругости которого £ с = 3,5-104 кгс/см2; коэффициент Пуассона vc=0,33 и удельный вес Yc=B2 г/см3 [153]. Данные прочности при сжатии и сдвиге однонаправленного композита в зависимости от коэффициента армирования р при­ ведены в табл. 7. 5. 1 [195].

В рассматриваемом примере пять параметров оптимизации — толщина, радиус оболочки и относительное количество стеклово­ локон в продольном и поперечном направлениях и под углом 45°:

х = { х ь Х2, til, «2,tf3}-

Необходимо найти вектор х*, обеспечивающий минимум веса оболочки. Приведем результаты оптимизации для L = l00 щи;

процесс оптимизации начат в точке допустимой области, где х0= {0,458, 0,130, 0,700, 0,50, 0,250},

На 26-м шаге достигнут оптимум, где целевая функция прини­ мает значение G*(x*) =28,15 кг и вектор х* = {0,298, 0,745, 0,240, 0,015}. При этом матрица жесткости материала имеет следую­ щие компоненты:

На рис. 7.5. 1 показано уменьшение веса оболочки в процессе оптимизации. Отметим, что точка оптимума находится на пере­ сечении гиперповерхностей, которое соответствует ограничениям местной устойчивости, прочности и геометрическому ограниче­ нию на минимальный радиус оболочки. Такой же вектор х* по­ лучен также в нескольких случаях расчета, когда процесс опти­ мизации начат с других точек допустимой области. Следова­ тельно, с некоторой вероятностью можем быть уверены в том, что достигнутый оптимум является глобальным.

Для композитного материала существует некоторое опти­ мальное значение объемного коэффициента армирования р, так

спуска к оптимуму в случае переменных углов намотки значи­ тельно снижается по сравнению с фиксированными. Для данного примера (при р = 0,5) достигнут локальный оптимум, в котором целевая функция имеет значение G*(x*) =28,19 кг и вектор х* =

Соответствующая структура намотки армирующих волокон сле­ дующая (±0, ±48 и ±81°).

Если R взять достаточно большим, таким, что активным ог­ раничением в течение процесса оптимизации явится ограни­ чение местной устойчивости, задача минимизации веса оболочки будет эквивалентна задаче максимизации критической нагрузки оболочки.

Более полное представление о проблеме оптимизации дает исследование вида каждой функции ограничений. Особенно ин­ тересен вопрос о том, какое влияние на поведение оболочки ока­ зывают структурные параметры композитного материала: углы намотки армирующих волокон и процентное содержание воло­ кон в данном направлении. Подобное исследование является очень трудоемким даже для современных мощных вычислитель­ ных машин. Представим здесь некоторые результаты по иссле­ дованию функции устойчивости — критической осевой силы ци­ линдрической оболочки, теряющей устойчивость по неосесиммет­ ричной форме:

Количество экспериментов по установлению выпуклости функ­ ции устойчивости

где я — общее число оптимизируемых параметров. Так, при осе­ вом сжатии цилиндрической оболочки из материала структуры с элементарными слоями двух типов (х = {/г, Фь 'Ог, Рь Рг}) для установления выпуклости функции устойчивости необходимо проведение 18 экспериментов. Разумеется, что в связи с боль­ шим разбросом свойств композитных материалов количество об­ разцов каждой структуры должно быть достаточным для уста­ новления весьма точной величины критической нагрузки. При этом точность эксперимента должна быть увеличена, если функ­ ция устойчивости слабовыпуклая.

Далее можно ожидать, что и в случае действия нескольких нагрузок на оболочку функция устойчивости имеет подобный характер. Такое же исследование можно провести и для других физических ограничений, и прежде всего, для ограничения проч­ ности. Только при накоплении обширных экспериментальных данных о характере зависимости структурных параметров мате­ риала от физических ограничений можно будет создать надеж­ ную теорию синтеза оболочек из композита.