книги из ГПНТБ / Рикардс Р.Б. Устойчивость оболочек из композитных материалов

Далее следует сравнить величины G(x) для дискретных зна­ чений коэффициента Д ( O ^ ^ ^ l ) . Из всех решений следует ос­ тавить то, которое соответствует наименьшему значению функ­ ции G(x), т. е. минимальному весу оболочки. Эту задачу удобно решать на ЭЦВМ. Рассмотрим следующий числовой пример:

также армирующих волокон и их процентным содержанием от общего объема. Найдем для различных значений осевой сжима­ ющей силы минимальный вес G*(x*) и оптимальное расположе­ ние армирующих волокон О*, а также оптимальную толщину /г* и радиус £* оболочки. При (V = 400 тс оптимальные значения па­

(2.7). Неравенства (2.7) удовлетворяются этими значениями параметров.

Для решения подставим в (2.11) значения хг и найдем множители Лагранжа Я,, причем Я ^ О , Я3=/=0, а Я2 = 0. Следова­ тельно, ограничение <р2(х) (на общую потерю устойчивости) для данного уровня нагрузки неактивно. В этом случае точка опти­ мума находится на пересечении гиперповерхностей, соответст­ вующих первому и третьему ограничениям, т. е. местной потере устойчивости и прочности. Оптимальное отношение модулей уп­ ругости в продольном и поперечном направлениях в этом случае

Следует отметить, что оптимальное расположение волокон в продольном и поперечном направлениях будет изменяться в за­ висимости от прочности материала О] и жесткости Е*.

* Недавно нами было показано, как, используя теорию двойственности геометрического программирования, эту же задачу можно решить аналити­ чески (см. Р и к а р д е Р. Б. Двойственная задача оптимизации ортотропной цилиндрической оболочки. — Механика полимеров, № 5, 1973). Полученное решение совпадает с приведенным, но качественное исследование двойствен­ ной программы дает дополнительную информацию о влиянии исходных пара­ метров Е, a, L на оптимальное решение.

ветственно. Как видим, при одинаковой прочности с увеличе­ нием жесткости материала оптимальная оболочка становится легче. На рис. 7. 2. 2 пунктирной линией показано оптимальное расположение армирующих волокон в поперечном и продольном направлениях в зависимости от уровня нагрузки.

Если рассматривать все три ограничения (2.4) в отдельности, то для оптимального расположения волокон получим неверный результат. Так, для критерия местной устойчивости во всех слу­ чаях Ф = 0,5 (при k-*~0), а исходя из формул прочности и общей устойчивости оболочки для любого значения осевой силы полу­ чим ■6’=1. Из рис. 7.2.2 видно, что при рассмотрении всех огра­ ничений (2.4) совместно получаем количественно иной резуль­ тат для оптимального расположения поперечных и продольных армирующих волокон, если цель конструирования — получить минимальный вес оболочки.

Сформулированная нами задача методом случайного поиска решена в [51], где на числовом примере получены в принципе те же значения оптимальных параметров. Некоторое различие ре­ зультатов объясняется, по-видимому, выбором шага АО= 0,01 для коэффициента армирования при минимизации целевой функции G(x).

7. 3. ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ И ОГРАНИЧЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, АРМИРОВАННОЙ ПОД РАЗЛИЧНЫМИ УГЛАМИ

Рассмотрим следующую частную задачу синтеза цилиндри­ ческой оболочки. Допустим, что оболочка подвержена действию статических нагрузок: внешнего давления и осевого сжатия. Ма­ териал оболочки формируем следующим образом. Из ортотропных элементарных слоев, расположенных под различными уг­ лами, в процессе оптимизации конструируется многослойная оптимальная структура материала оболочки (рис. 7.3. 1). Струк­ тура материала выбрана таким образом, что в линиях главных кривизй материал ортотропен. В общем случае огра­ ничение подобной структурой не обязательно. В данном же слу­ чае это несколько упрощает вид ограничений.

Направим оси X х , х 2 и х3 вдоль образующей, по окружности и нормали цилиндрической оболочки. Составим вектор оптимизи­ руемых параметров

количества волокон в элементарных слоях всех типов должна равняться единице. Это ограничение для удобства можно заме­ нить неравенствами вида:

ft + 3

Следующую группу составляют ограничения на поведение оболочки под нагрузкой (физические):

1) общая потеря устойчивости цилиндра как стержня трубча­ того сечения;

2)местное выпучивание стенки цилиндрической оболочки по неосесимметричной или осесимметричной форме;

3)разрушение материала оболочки от действия напряжений

вплоскости оболочки.

Допустим, что перечисленные виды потери несущей способ­ ности оболочки взаимно независимы. Принимаем также, что на­ грузки (осевая сила и внешнее давление) могут действовать как каждая в отдельности, так и одновременно. Тогда ограничения на поведение оболочки можем записать в следующем виде:

Фт(х) = 1 - -Т— -Г >0; <7=1,..., Q; т = / + 1 , . . . , / + /. (7.3.5)

Л д(Х)

Здесь Хд — действующая нагрузка на оболочку или параметр нагрузки; X*q(x) — критическая или разрушающая нагрузка оболочки или параметр нагрузки; Q —■общее количество внеш­ них нагрузок на оболочку; I — общее количество геометричес­ ких ограничений; / — количество ограничений на поведение обо­ лочки (в нашем случае / = 5, т. е. ограничения на разрушение оболочки от действия осевой силы N, внешнего давления q и их совместного действия, ограничение устойчивости от действия комбинированного нагружения q + N и ограничение на общую устойчивость).

Составим целевую функцию — вес оболочки, который зави­ сит только от параметров дц и х2, характеризующих размеры обо­ лочки (h и R), но не зависит от углов армирования и относи­ тельного количества волокон в направлении р&:

G(x) =2л1{цуа+ (1 —р)ус} {xi (h+— h-) +/г_} {x2(R+—R~) +R~}.

(7.3.6)

7.3. Целевая функция и ограничения

Здесь (.1 — коэффициент арми­ рования материала; уа — объ­ емный вес армирующих воло­ кон; ус — объемный вес связу­ ющего.

Рассмотрим процесс состав­ ления ограничений устойчи­ вости. Устойчивость оболочки зависит от характеристик жест­ кости материала, а жесткость, в свою очередь, является функ­ цией углов армирования и относительного количества во­ локон. За исходные характе­ ристики принимаем модуль упругости и коэффициент Пуас­ сона связующего и арматуры Ес, Еа и \’с, vaи объемный коэф­ фициент армирования ц. Из имеющихся материалов фор­ мируем однонаправленно ар­

ного слоя определяем по известным формулам теории армиро­ вания [102]:

7-1°= £ с (1 -р )+ £ ац ;

Здесь Ei°, E2°, Gi2°, vi2° — жесткостные характеристики орто­ тропного элементарного слоя в осях х0\ х02. Из технических ха­ рактеристик жесткости (3. 7) по известным формулам получаем компоненты матрицы жесткости сц° для элементарного слоя. Несколько элементарных слоев под углами +|3ь и —|За, форми­ руют многослойный пакет с k типами слоев, которые обра­ зуют ортотропный материал с осями ортотропии х 1, х2 и х3. Далее принимаем, что общее количество слоев велико и все типы их распределены равномерно по толщине и симметрично

относительно срединной поверхности оболочки. Жесткость по­ вернутого на угол Pft элементарного слоя в осях х '~ х 2 опреде­ ляется по известным формулам преобразования:

где gij — матрица преобразования, которая для частного слу­ чая плоского поворота имеет вид

— - sin 2(3ft — sin 2pft cos 2fK

2 2

Для пары элементарных слоев ( + (3* и —(3*) ненулевыми явля­ ются компоненты матрицы жесткости сик, с22\ C[2h, c^'1. Для всего пакета, образованного из элементарных слоев под различ­ ными углами Pft, жесткостные характеристики определяются по формуле

К К

«ft — количество пар слоев, расположенных под углами + рк и

рами оптимизации, принимаем, что они изменяются непрерывно. В случае действия осевой силы N и внешнего давления q устойчивость цилиндрической оболочки обеспечена, если выпол­

нено условие

где N*(x) и <7*(х) — критическая осевая сила и критическое внешнее давление, определяемые как бифуркационная нагрузка на основе уравнения линейной теории (3.5.15) и гипотезы Кирх­ гофа—Лява:

яУ6

у з (1 — V12V21 )

/

или для осесимметричной формы потери устойчивости

iE\E2

А'**(х) =2л h2

УЗ (1 —V12V21)

Если на оболочку действует лишь осевое сжатие, то в зави­ симости от соотношения модулей, т. е. от структуры материала, оболочка может потерять устойчивость как по неосесимметрич­ ной, так и осесимметричной форме. Следовательно, в ограниче­ ния должны войти оба эти предельные состояния. В некоторых случаях для оптимальной конструкции оба ограничения, соот­ ветствующие осесимметричной и неосесимметричной формам потери устойчивости, могут быть активны. Это всегда имеет место для сжатых цилиндрических оболочек, работающих на местную устойчивость, т. е. когда ограничение прочности неак­ тивно. Такой случай оптимизации рассмотрен в [107] примени­ тельно к стеклопластикам на основе ткани.

В процессе оптимизации геометрические параметры оболочки могут принимать значения, при которых существенным стано­ вится критерий общей устойчивости, т. е. оболочка может поте­ рять устойчивость как стержень трубчатого сечения. Ограниче­ ние в этом случае принимает вид

Если известны жесткостные характеристики материала c,j, Cij° и Cijk, можем определить напряженное состояние каждого слоя в зависимости от величин внешних нагрузок. Напряжения, действующие на слой, определяем по известному закону преоб­ разования компонент тензора напряжений:

(вы0 — напряжения на слой в осях x0' ~ xq2; Oij — напряжения