книги из ГПНТБ / Рикардс Р.Б. Устойчивость оболочек из композитных материалов

■сдвиговой жесткости (кривая ]), значительна. В случае длинных оболочек расчет критических нагрузок по классической теории и теории типа Тимошенко дает близкие результаты. У коротких оболочек большее влияние поперечных сдвигов на критическую нагрузку можно объяснить тем, что с уменьшением длины увели­ чивается число волн, по которым' выпучивается оболочка, т. е. локальные кривизны больше как в поперечном, так и в продоль­ ном направлениях. Следовательно, при выпучивании коротких оболочек деформации поперечных сдвигов больше, чем длин­ ных. Эксперимент, проведенный на оболочках из стеклопластика, показал, что под действием внешнего давления критическая на­ грузка падает с уменьшением длины по сравнению с теорети­ ческим расчетом по классической теории. Отметим также, что с уменьшением модуля межслойного сдвига изменяется форма потери устойчивости. Так, например, для оболочки с парамет­ рами h/R = 1/25; R/L = 1; £4 = £5 = оо; 0,05; 0,01 число волн по ок­ ружности, при котором значение критического давления (2.15) имеет минимум, /г*= 5,7 и 8 соответственно. С уменьшением мо­ дуля межслойного сдвига увеличивается число волн, по которым

мость внешнего давления от параметра волнообразования. Гра­ фик построен для h/R= 1/25 и R/L= 1; кривые 1—5 соответст­ вуют параметрам £4 = | 5 = оо, 0,3; 0,1; 0,05 и 0,01. Параметр волнообразования может принимать только дискретные целочис­ ленные значения вблизи точки минимума (на рисунке обозна­

Граничным условиям шарнирного опирания оболочки удовлет­ ворим, представив неизвестные функции w, ух и уу, следующим образом:

жении прогиба w учтено, что вмятины к центру кривизны имеют большую амплитуду. Экспериментальные исследования по фор­ ме выпучивания, приведенные в главе VI, свидетельствуют о том, что, действительно, волны, по которым происходит потеря устойчивости, имеют большую амплитуду к центру кривизны.

Принимаем, что форма начального волнообразования нахо­ дится «в резонансе» с волнообразованием оболочки в процессе деформации. Такое допущение несколько увеличивает влияние начальных неправильностей в сторону запаса устойчивости [44], но значительно облегчает решение. Тогда для начальных проги­ бов и углов поворота нормального волокна

В главе VI приведены результаты экспериментальных изме* рений формы начальных несовершенств цилиндрических стекло­ пластиковых оболочек и ее развитие при нагружении и во вре­ мени. Показано, что не всегда форма выпучивания ховпадает с формой начальных несовершенств. г ,

Подставим (3.5) и (3.6) в уравнение (3.4). После интегри­ рования этого уравнения получим выражение для функции на­ пряжений, в граничных условиях которой учтено, что на обо­ лочку действует внешнее давление (напряжение 022° = —qR/h):

--^гЬрл-Ярг^г' 1 (х2 — х20) ]cos2ax + -r^-npiX

Хп -^ ц ^ !2 —Л'ю2) cos 2 ^y+ — (xlx2 - x l0x20) х

У/2j

Здесь безразмерные параметры материала и геометрии оболочки определены по (2. 12), а коэффициенты ki и k2 следующим спо­ собом:

^1 = 9ц % 2 {n~2K2pi2 --2 U l{-%2- x\xrx+ U -{+ ^ n 2n~2p r 2l r lP~l :

k 2 = ц~1\2~1п~2я2рI2—2 |3£1~112-1 + |б~1+ п2л~2р\-21 г 1ц_!•

Далее решаем систему (3.1) —(3.3) методом Бубнова—Га- леркина, подставив в правые части этих уравнений разложения (3.5) и (3.6), а также выражение (3.7) для функции напряже­ ний. Согласно этому методу, интегрированием по поверхности оболочки необходимо найти следующие уравнения:

2ЯЯ L

I I Z sin ах sin fiydxdy = 0;

2яН Ь

J J Z sin2 axdxdy = 0 \

оо

2ЯЯ L

II Y cos ах sin fiydxdy = 0;

оо

После интегрирования получаем систему, состоящую из двух, нелинейных и трех линейных алгебраических уравнений относи­ тельно пяти неизвестных х4 (i —1, 2,... , 5):

Здесь коэффициенты a, b, с, d, f выражаются через геометричес­ кие и физические параметры материала, величину нагрузки, ам­ плитуд начальных прогибов и углы поворота нормального во­ локна. Представим коэффициенты а* для первого уравнения системы:

Oi=—-l (Zin2pl2n - 2 +%2n - 2p r 2n2);

Таким же образом получены коэффициенты для второго уравне­ ния системы:

Рис. 4.3.1. К определению верхней предель­ ной и нижней критических нагрузок.

кривую нагрузка—амплитуда прогиба. Сходимость при решении системы (3.9) была хорошей только в докритической стадии. Для закритической стадии (после «хлопка» в модели) по­ лучить кривую нагрузка—амплитуда прогиба не удалось. Для улучшения сходимости система (3.9), состоящая из пяти урав­ нений, была преобразована в систему двух уравнений путем ис­ ключения из первого и второго уравнений системы (3.9) неиз­ вестных х3, х4 и х5. Из четвертого уравнения системы получаем выражения для неизвестного

Решая совместно третье и пятое уравнения системы (3.9), полу­ чаем выражения для неизвестных х3 и х5:

/4С3 —сДз_______Cjf3— C3fi ^

f2c3 — c2f3 / 2 ^ 0 £2 / з

Подставляя (3.11) и (3.12) в первое и второе уравнения сис­ темы (3.9), получаем систему двух нелинейных алгебраических уравнений относительно двух неизвестных Х\ и х2, сумма кото­ рых f= x i+ x 2 представляет амплитуду прогибов:

случае величины х30, х40 и х50 выражаются через амплитуду на­ чальных прогибов Хю и х20 следующим образом:

-Гзо = х40 = лрфг^го, -*5o = ?lP2^io- (4.3.14)

Для приведенного примера значение верхней критической на­ грузки qB~ 8,2210~2, значение верхней предельной и нижней критической нагрузок для кривой 1 <р= 7,85-10~2 и ^н = 6,98-10-2 соответственно. Из рис. 4.3.2 видно, что в случае больших на­ чальных искривлений с увеличением нагрузки амплитуда моно­ тонно возрастает, т. е. отсутствует «хлопок». Разница между верхней и верхней предельной критической нагрузками неболь­ шая (меньше, чем у изотропной оболочки с такими же парамет­ рами толщины и длины). Этот факт установлен эксперимен­ тально и исследован теоретически [66, 205]. Показано, что для анизотропных оболочек (например, из боропластика) влияние начальных неправильностей в виде отклонений срединной по­ верхности от идеальной формы играет меньшую роль, чем у изо­ тропных. Тем не менее, в оболочках из армированных пластиков существенную роль может играть неоднородность материала. Это обстоятельство можно учитывать, если отнести случайную неоднородность к отклонению поверхности оболочки от идеаль­ ной формы и тем самым приближенно оценивать возможность снижения критической нагрузки.

Ранее было отмечено, что в экспериментах на оболочках из стеклопластика после потери устойчивости материал может рас­ слаиваться. Для толстостенных оболочек расслаивание воз­ можно и до потери устойчивости или в процессе потери. Макси­ мальное сдвиговое напряжение, например огз, в оболочке после потери устойчивости (точка В на рис. 4.3. 1) можем определить следующим образом. Подставляя в соотношение для деформа­ ций поперечных сдвигов

d(w — wо)

Соответствующие сдвиговые напряжения огз определяются по

точки оболочки, где sin ax cos рг/= 1, что соответствует х — Ц 2 и