Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Рикардс Р.Б. Устойчивость оболочек из композитных материалов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

11.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3221 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

5.3. Устойчивость при нагружении с постоянной скоростью

203

Сравнивая выражения для гу через перемещения, с одной сто роны, и через функцию F — с другой, находим

dv	1	/ d2F	d2F \	1 / dw \ 2	1 / dw0 \2	w — w0
~ду=~ Щ \ ~ д ^ ~ [12~д^2 !				~2\~ду~/	+~2'~ду~ '	+~ R	‘
						(5.3.8)
Пользуясь выражениями (3.3), (3.4) и (3.8), получим
		qR2	/ + /о			(5.3.9)
	E2h ( f - f Q)		8			(5.3.9)
	E2h ( f - f Q)		8
Таким		образом,	параметр	ф оказывается выраженным			через
/ и ф.		определения зависимости между параметрами прогиба
	Для	определения зависимости между параметрами прогиба

и изменяющейся во времени нагрузкой выпишем уравнения Лаг ранжа типа

d	/ дТ	дТ	(5.3. 10)
dt	dqj	+ Qj= о.
		dqj

В качестве обобщенных координат выберем параметры прогиба

qi= £i, q2 = Xa\				в	качестве обобщенных			сил — величины	<5i =
= дЭ/д^		и	Q 2 = d3/dt,2. Здесь введены безразмерные параметры
г _ ( / - М Ф . г _ f /о.							nLh3^EiE2	у ( Д	Ки-
ь -------- / Г			'	е, “ “ а				я= 1E,e 2
нетическая энергия системы
	L	2ЯЛ		I	dw
			yh					(5.3. 11)
'	- У	!	ё	(	п й	dxdy’
							4R
в	безразмерном				виде	Т— Т-		Полная потенциальная

энергия		Э				nLh3yE iE2
			определяется как сумма потенциальной энергии де
формации			срединной			поверхности и изгиба, за вычетом работы

сил нормального давления. Компоненты полной энергии опреде

ляются по соответствующим		формулам для ортотропного тела,
после использования которых находим
Q i= -	t\|(&4 + A2)£i (£i + 2£o) ^	(Я, + Я2)АЕ4л (^1 + 2Ы?22
	16Д		+£о

	£2А		* ■	(5.3. 12)
	(1 + 8\|% )+ -		£l + £o
	ti(£i + 5o)

Глава V . Некоторые задачи динамической устойчивости

204

Q2 —2^2А\|4112 (£1 + 2£о)2 (^1 + Я2) ■							■(£i + 2£o) (1 + 8\| 4А2) +
-КгА -НбФ П ^г]2.								(5.3. 13)
В (3. 12),	(3.13)		были введены обозначения:
)		nR		Rh			n2h
Ь - Л >	§	n L ’		L2	’		II -p
	§	n L ’		L2	’
Ei			1EiE2 .				G12
Д= У e 2	«	CO	G,2 «	0	=	1e ,e 2 '		Q = - yExE2
	1						1
■» = 12(1-щ рг)			1	81g4+9g2(co-2mA)A + A2
			1
Л2=- \| 4 + \| 2Д(<о-2ц1Д )+Д 2 ’
Лз= £4£2+	^ 2p2Q-\|—^ - ) \| 2+А.
В дальнейшем примем,					что		давление q изменяется во вре

мени по закону q = ct. Предполагаем при этом, что выпучивание оболочки происходит на восходящей ветви импульса давления. Введем безразмерный параметр времени

t=-	ctR2									(5.3. 14)
t=-			Яв							(5.3. 14)
h2qB^E xE2			Яв
Первое из уравнений (3.10)							тогда примет вид
d%	+ -	Л2(?1+ ?о)		т			-	4S 1(^1+ ^0)
				т			-
di2				V			/	4 + T]2(?, + So)2
di2	'	4 -И\|2(£,+&,)2 Х di					’	4 + T]2(?, + So)2
		^(g4+A2)?i(^ + ^						(^ + ^2)Ag4ri(Ci + 2^)g22		+
			16Д<?в						Яв(£>1+£o)
		Д(1 + 8\| 4А,2)£2				-	Л	—}		(5.3.15)
	+		4qB		-	-	Л	—}	= о -.	(5.3.15)
			4qB				£i + £o
где S j=		(E1/E2y i2r\qB3				("^•)		~	• Второе уравнение	(3.10):
d%2	’	Sl	{2^ A iV (?1+ 2^0)2(^i + M -
dt2		г\Явл
		- ^	L(Ci+ 2£o)(1+864X2) + S2A+160Q£26V} •							(5.3.16)

5.3. Устойчивость при нагружении с постоянной скоростью

205

Уравнения (3. 15) и (3. 16) были проинтегрированы по методу Рунге—Кутта при следующих начальных данных:

dti Л	dt,2	=0 при t = 0,	(5.3. 17)
^1= ^°; ~~df~ ° ;	di

причем при вычислениях принимались различные значения V21, V12, Ei и Ё2 применительно к различным маркам стеклопластика для следующих параметров оболочек: L/R = 2,6; 3,5 и h/R = 2l 143, для случая ^о = 0,001.

На рис. 5.3.2 представлена серия кривых £i = £i(f) для обо
лочек L/R = 2,6;	hlR = 2/u3\		EJE2 = 2 при скорости нагружения
с= 2000 ат/сек	для	разного	числа волн п. Как видим, раньше
всего отклоняется		от оси абсцисс кривая, для которой п —7.

Можно предполагать, что выпучивание реальных оболочек при данной скорости нагружения и для выбранной стрелы началь ного прогиба будет сопровождаться образованием семи вмятин по окружности, вместо шести или пяти волн, имеющих место при


статическом				нагружении.			Бурное	нарастание прогибов		имеет
место при параметре V, лежащем в пределах от 2,7 до 3,9. Та
ким образом,					критическое				4
давление			в	рассматрива

емой	задаче				примерно в				I 3
три	раза			больше,		чем			I $j1
верхняя		критическая на					с 2>0\°т/сск
грузка. На рис. 5.3.3 и									/~2
							L/R-г.б
5.3.4	приведены кривые						Ый-г/т
£i = £i(0		>		отражающие
зависимость				между		стре
лой	полного				прогиба и
временем нагружения при
скоростях с?=0,2 - 104; 0,5•
•104; 2-104; 5 -104 ат/сек
для Е\/Е2 = 2 и 5 соответ
ственно.			На		рисунках
представлены кривые для
такого числа волн п, при
котором		бурное нараста
ние	прогибов				соответст		г	з	ч	V	s
вует	наименьшему					пара
метру V.			Как видим, ди
намический эффект прояв							Рис. 5.3.2. Зависимость стрелы прогиба от
ляется		в	последователь				времени	нагружения	для различного	числа
							волн по окружности:		1 — л = 9; 2 — п—8;
ном	возрастании					числа	3 — п—5; 4 — п = 6; 5 — п = 7.

Глава V. Некоторые задачи динамической устойчивости

206

Рис. 5.3.3. Зависимость стрелы полного				прогиба и
времени	для различных	скоростей	нагружения:
1 —	с = 5 -1 0 4 ат!сек,	«=10;	2	—	с=
= 2 -104	ат/сек, и=9; 3 — с = 5 -1 0 3		ат/сек,		«=8;

4 — с = 2 • 103 ат/сек, п = 7.

волн и значительном увеличении критического давления. На рис. 5.3.5 приведены кривые £i = £i(?') для различных соотноше ний EJE2 при скорости нагружения 5-103 ат/сек. Первая кривая слева отражает зависимость £i = £i(^) для изотропных оболочек, остальные — для оболочек с различной степенью анизотропии. По мере увеличения степени анизотропии кривая перемещается вправо, в сторону больших значений V, На рис. 5.3.6 приведены

Рис. 5.3.4. Зависимость стрелы полного прогиба и времени нагружения для

различных	скоростей нагружения при Е\1Е2=Ь:	1 — с = 5 -1 0 4 ат/сек,	п=13;
2 — с=104	ат/сек, «=11; 3 — с = 5-103 ат/сек,	п = 9; 4 — с = 2 -1 0 3	ат/сек,

и= 8.

Рис. 5.3.6. Зависимость коэффициента дина мической перегрузки от скорости нагруже ния. 1 — EiIE2= 1; 2 — Ei/E2= 2; 3 — E i/E2 = 5.


5.3. Устойчивость при нагружении с постоянной скоростью								207
кривые,	устанавливающие			зави			'3
симость	между коэффициентом				У_Щ11 г-ЫР°-/м
динамической перегрузки и ско
ростью	нагружения (ат/сек) для				Т . .	I i П h/R-г'/М
различных		соотношений		EJEz			( 2

при E i^ E 2. Как видим, коэффи
циент kD растет по мере увеличе								Г 1
ния скорости			нагружения	и сте
пени анизотропии.
В результате численного ре
шения задачи для некоторых зна
чений L/R		и h/R при определен
ных скоростях нагружения уста
новлена зависимость между па
раметрами прогиба и временем,
характеризующая поведение обо						3	5	i1
лочки. Динамическая потеря ус					/			7
тойчивости		в	рассматриваемом		Рис. 5.3.5. Зависимость прогиба и
нами случае трактуется как про					времени нагружения от соотноше
цесс «прощелкивания» оболочки					ния Ei/E2. 1 — EJE2—5,			/1=10;
из стеклопластика к новому рав					2 — EifE2= 2, п = 8; 3 — E r fE ^ l,
					n= 7.
новесному состоянию.				выра
Эффект		динамичности

жается в увеличении числа волн, что свидетельствует о переходе к более высоким формам потери устойчивости. С увеличением скорости нагружения воз растает и величина кри тической нагрузки. При выбранных параметрах оболочек число волн п возрастает с 4—6 до 10—12, а критическая на грузка в три и более раз превышает верхнее кри тическое давление' при статическом нагружении.

По мере увеличения степени анизотропии кри вые £i = £i(?') смещаются вправо, в сторону боль ших значений V, что сви детельствует о росте ко эффициента динамичес кой перегрузки для ортотропных оболочек (име ется в виду, что направ

Глава V . Некоторые задачи динамической устойчивости

208

ление волокон, соответствующее большему модулю Е\, располо жено по длине оболочки).

Теоретические данные, полученные А. С. Вольмиром и Л. Н. Сметаниной, качественно подтверждаются эксперименталь ными работами [34] по исследованию поведения цилиндрических оболочек из стеклопластика под действием внешнего давления. Результаты экспериментов свидетельствуют о существенном уве личении несущей способности оболочек из стеклопластика при динамическом нагружении. В зависимости от величины импульса давления возможны качественно различные картины переход ного процесса деформации и возникновения линейных и нели нейных колебаний. В отличие от металлических оболочек и в силу достаточно совершенной упругости стеклопластика, оста точные вмятины не образовывались вплоть до момента разру шения.

Установлено также, что, подвергая цилиндрические оболочки из стеклопластика продольному удару, число вмятин вдоль ок ружности возрастает примерно вдвое но сравнению со статичес ким нагружением, в результате чего существенно увеличивается несущая способность оболочек [1].

5.4. УСТОЙЧИВОСТЬ АНИЗОТРОПНОЙ

ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА

Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку бесконеч ной длины, изготовленную из ортотропного материала (стекло пластика), и приведем решение о ее устойчивости в сверхзвуко вом потоке газа [15].

За координатную	поверхность принимается срединная по
верхность оболочки,	которая представлена координатами а,	р
(а — вдоль образующей, р — по дуге поперечного сечения)		и

радиусом кривизны i? = const. Принимается, что материал обо лочки подчиняется обобщенному закону Гука и в каждой точке имеет три плоскости упругой симметрии, главные направления которых совпадают с направлениями ортогональных линий

а ', Р', у-

Пусть одна из плоскостей упругой симметрии материала на правлена к срединной поверхности оболочки, а остальные две составляют некоторый угол <р с осями Оа и Ор. Следовательно, система а', р7, у получается из а, р, у путем поворота вокруг об щей оси у на некоторый угол ф. Пусть далее оболочку обтекает

5.4. Устойчивость в сверхзвуковом потоке газа

209

Рис. 5.4.1. Схема цилиндрической оболочки в сверх звуковом потоке газа.

сверхзвуковой поток сжимаемого газа с не возмущенной скоростью V, направленной вдоль оси Оа (рис. 5.4. 1).

В отношении тонкой пологой оболочки принимается гипотеза недеформируемых нормалей, в силу которой из обобщенного за

кона Гука, отнесенного к триортогональной системе							координат
а, р, у, имеем
Па=Лцеа + Л [гер+Л^уар + у (Л пха + Л 12хр + Л 16%ар);
—Л 12Ва + Л22Вр+ Л2бУа0+ Y (Л 12Э<а + Л22*р+ Л2бХар) i							(5.4.1)
■Оар = Л ]68а+ Л266p + Л66Yap + Y (Л 1б5<а + Л2б>Ср + ЛббХар)							(5.4.1)
Здесь
=	ди	dv	w	=	ди	dv
=	да	ер= -^—Н—n>		=	—i	X— ;
	да	с?р	/?		д$	да
	d2w		d2w			d2w	(5.4.2)
’Ха=~ ~ 1 № ’				Хар = ~ 2		ддаЗр ’	(5.4.2)
’Ха=~ ~ 1 № ’				Хар = ~ 2		ддаЗр ’

Aik — упругие коэффициенты материала оболочки в системе ко ординат а, р, у. которые выражаются через постоянные A'ik в системе а', р', у известными формулами преобразования:

Лц = Л/11 cos4ф + 2(Л/12 + 2Л/66) sin2<р cos2ф+Л'22 sin4ф;

Л22= Л /п sin4ф+ 2(Л/12+ 2Л6б) sin2ф cos2ф+Л^г cos4ф;

Л12=Л /12+[Л/ц -j-A'22 — 2 (Л/ 12+ 2Л/6б)]:sin2 ф cos2 ф;

Лбб= Л'бб+ [Л/ц + Л /22—2 (Л12+ 2Лбб)] sin2ф cos2 ф,				(5.4.3)
где
1 / / ’	22 1 / /	12	>
1—V21V12	1—v 2lV	12

Л,12 = У,21Л/22 = У'^Л'ц; Л'бб—^12-

Побочные коэффициенты Л^ и Л26, которые в системе коор динат а', р', у равны нулю, здесь, в системе координат а, р, у,

имеют вид

Л 16= -~[А' 22 sin2 ф —А'и cos2 ф+ (Л/12+ 2Л'66) cos 2ф] sin 2ф;

14 — 1744

Глава V. Некоторые задачи динамической устойчивости

210

^ 26=	И '22 cos2 <р —А 'и sin2 cp—(A'l2 + 2A'66) cos 2ф] sin 2ф;
											(5.4.4)
u = u(a,fi,t),				v = v(a, р, t),		w = w(a,fi,t)			— соответственно тан
генциальные				и нормальные перемещения точки (а, р)							средин
ной поверхности оболочки.
Подставляя значения напряжений оа,										и аар в обычные фор
мулы для внутренних сил и моментов, получим:
	ои			ov	(	du	dv \			w
^а=Сц —--- hC12 —— +С16						dp +	da /
	da			dp		dp +	da /
	ди			dv	(	du	dv			w
N&=Cl2 ~ д ^+С22^ К +С26\ —							da h	c 22		~R’
				~др		dp +	da h			~R’
_	du			dv	I du		dv \		w
S — c12- 7—+ c26—— + c66 V dp +							l / +C26		~R’		(5.4. 5)
	da			dp			da		~R’
л r	„		d2w		d2w		d2w
Ma = —D\\			— —— D12 •			— 2 D 16
			da2		dp2		dadp
Ma	-D22		d2w - D		12 d2w	—2D26 d2w
			dp2		da2		dadp
H= —D16-		d2w		- D 26	d2w	2D66	d2w				(5.4.6)
H= —D16-		da2		- D 26	dp2	2D66					(5.4.6)
		da2			dp2	dadp
Здесь жесткости растяжения—сжатия										и изгиба	имеют
вид
					/г3						(5.4.7)
Cik—Aikh, Dih —А ik ‘12											(5.4.7)
где h	—		толщина оболочки. Эти усилия и моменты удовлетво

ряют следующим дифференциальным уравнениям движения обо лочки:

dNa	dS	d2u	dNa		dS	d2v
~ й Г +	lip =Po/Zd ^ ’ I f T			+	d l - ^ p h d F ;
d ^	d ^ _	№		1		d2w
da2	dadp	dp2	+			(5.4.8)
da2	dadp	dp2	+	-Q-N?>+q=ph ~~d¥ ’

где p •— плотность материала оболочки; q — нормально прило женная внешняя нагрузка.

5.4. Устойчивость в сверхзвуковом потоке газа

211

Подставляя значения внутренних сил и моментов из (4.5), (4.6) в уравнение движения (4.8), получим следующую систему дифференциальных уравнений движения оболочки:

ozu

д2и

d2u

d2v

ч d2v

£и v r + 2с16

dadp

+ С16 1Г_^ + (с12 + с6б) ~—— +

+Ст'д§2 '

' 1Uда2

'°D/dadp

d2v

dw \

, д2и

+ с” 5 р +

' С|2л

+С!,5 р Т " ( >Л dt2

d2v

d2u

д2и

С22

4“ 2^26“ -----

■^66 X

- ; +

С26 Ч Ч Т +

(С 12 + С6б)

dp2

dadp

да2

dp2

d2v

dadp

д2и

+C|ffcT + >

' C22' ^

+C26fc ■) =Ph I t 2 ’

d4OJ

+2(D[! + 2i)«s) ^

+ 4D,e Л

Яп

+ 4 Di6- ^

da4

da3dp

da2dp2

dadp:

d4w

1 Г

ди

“Ь

D66 ■

---I

£ 1 2 ----- + С2 6 -----+Соо------

dp4

R I

dv 1

, d2w

(5.4.9)

+ ^26—ч- J + C22-ppp — cj-\-ph ■

= 0

Я2

dt2

В случае оболочки, совершающей колебания в газе, выраже

ние для поперечной нагрузки имеет вид [22, 24]

„

(5.4. 10)

q= -2рПг— - +А р.

Здесь е — коэффициент затухания; Ар — избыточное давление таза, которое, согласно «поршневой теории» [78], определяется как

%Рос ( d w ^ y	d®	(5.4. 11)
Ар = - йоо ’ dt	da

где рк, — давление невозмущенного потока газа; а<*, — скорость звука для невозмущенного газа; я — показатель политропы; U — скорость невозмущенного потока газа.

Если частота собственных поперечных колебаний оболочки мала по сравнению с соответствующей величиной в плоскости ее поверхности, то тангенциальными составляющими сил инерции можно пренебречь. В этом случае, введя функцию Ф(а, р,^),свя занную с и, v, w соотношениями [10]:

d	i d	2	d2	d2	a, p, t)\
гг—\ fl22 47P7 ~~ а'2~я~о + а26 л <-					a, p, t)\
da	'	dp2	da2	dadp

14*

Глава V . Некоторые задачи динамической устойчивости								212
1 д Г	д2			д2	дР-		] Ф-
Т " а р г “2г ф +				м + 2а“
1	(?3ф		;
—0i6-pr*—r-			;
R	да3		д4	д4
д* п			д4	д4		+
w = [ ф 1-т—;+2^16			, 7D + (абб — 2а12) ■ ■			+
да4		да3с?р		da2dj$2
	д4			д4			(5.4.	12)
+ 2^26 дад$г ~Ь 0,22				dp4” ] ф ,			(5.4.	12)
+ 2^26 дад$г ~Ь 0,22				dp4” ] ф ,

тождественно удовлетворяем первым двум уравнениям системы

(4.9). При этом, с учетом<(4. 11),

третье уравнение (4.9) приво

дит систему (4.9)

к одному разрешающему уравнению

д4

+ 2 (Dl2 + 2D66)

д4

° "

+411иъ щ

д4

] [

“ "aT J + 2° 1«

д4

+ (абб —2а 12)

д4

д$4

<?а3др

д а Щ 2

да4

+ 2й26

д4

<34ф

д2

,+ а2 2 - ^ ] Ф+

да4

[р/г

дадр3

(?р4

dt2

+ 2рhe

%роо

%р.

д4

CLoo

да

l a ^

+ 2а16

д4

даЩ

+ (йбб—2а 1г) д а Щ

+ 2^26

дадф-

д4 I

(5.4. 13)

+ ^2237^- J Ф— О,

д$4

где

0-22—

ап = СПС66—с 1&

с 22е 66 — Г 262

СббП

ГббП

Ч\2 —

с12с66~~с16с26

а 6 6 ~

с \\с 2 2 ~ с 122

СббП

ГббП

Ф6 =

С\\С2&~С\2С\&

а26~

с22с]6~с12с26

_1_

СббП

ГббП

(5.4.

14)

Q= ^бб5[(с11с66~с162) (с22с66 —с262) ~

(С12С66~ Ибс2б)2]-

Решение уравнения (4. 13)

ищем в виде

Hat—ha--- Р)

(5.4.15)

Ф = Ф0е

л .

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3221 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ