книги из ГПНТБ / Рикардс Р.Б. Устойчивость оболочек из композитных материалов

Подставляя в выражение (3.18) коэффициенты (3.20), чис­ ленные значения пределов прочности тканевого стеклопластика на базе ПН-3 и учитывая, что 022 = ^011, получаем квадратное уравнение относительно стц. Решая уравнение при различных k, получаем границу поверхности прочности. На рис. 6.3.3 пред­ ставлены контуры разрушаемости для данного материала. По­ верхность построена с учетом экспериментальных прочностей

(кгс/см2) :

ЯшО=1700; Я1100= 1800; 0220 = 2300; 7^0220 = 3000; 7?ц22о= 1300;

R0012 = 7^0012 = 950.

Характеристики жесткости материала: = 1,2• 105 кгс/см2; Е2 = = 1,9-105 кгс/см2; Gi2 = 0,25-105 кгс/см2; коэффициенты Пуассона

V12 = 0,2; V21 =0,126.

На рис. 6.3.3 поверхности 1—3 построены при фиксирован­ ных значениях 012. Показаны результаты подсчета напряжений в местах разрушения оболочки В-1 (пунктирные линии указы­ вают теоретические пределы прочности с учетом эксперимен­ тальных значений 012 в местах разрушения). Как видно, экспери­ ментальные точки не достигают этих пределов. Уровень нап­ ряженности оболочки в волне к центру кривизны при z = —h/2 выше, чем при z— +h/2 в волне от центра кривизны. В первом случае, по критерию (3.18), /(оц, 0ы)=О,74, во втором — 0,71. Как уже было сказано, разрушение наблюдалось в местах мак­ симальных изгибных напряжений. Важно отметить, что в местах максимальных значений 022 уровень напряжений сдвига 012 не­ высокий и достигает только 0,07—0,1 от сопротивления сдвигу. По рис. 6.3.3 видно, что компонента тензора напряжений 011 мала по сравнению с 022 и практически не влияет на разруше­ ние. При z = —h/2 появляются растягивающие напряжения 0ц. Главную роль в разрушении играет компонента 022Для более точного определения разрушающих напряжений в оболочке не­ обходимы значения прогибов в момент начала разрушения.

На рис. 6.3.4, а и б показана развертка части поверхности оболочки с линиями уровня напряжений 022 и 012 (пунктирные линии — места фактического разрушения оболочки). Как видно из рисунка, в местах максимальных сжимающих напряжений 022 напряжения сдвига 012 минимальные, и наоборот. При сред­ них значениях 022 уровень сдвиговых напряжений довольно вы­ сокий (0,2—0,3 от разрушающих), т. е. в местах, где кривизна

деформированной поверхности меняет знак. Подставляя экспериментальные компоненты напряжений в (3.18), устанав­ ливаем уровень напряженного состояния по всей поверхности

оболочки. На рис. 6.3.5, представлены линии постоянного уровня напряжений, т. е. f(oa, оы) =const.

Предельная поверхность, определяемая критерием (3.17), существенно зависит от скорости нагружения. На рис. 6.3.5 по­ верхность построена по прочностным характеристикам, установ­ ленным при нагружении с определенной постоянной скоростью; в нашем случае нагружение проводилось ступенчато, причем при каждой ступени нагружения в течение 10 мин измерялась форма выпучивания оболочки. Экспериментальные исследова­ ния изменения во времени компонент пределов прочности стеклопластиков указывают на значительное уменьшение проч­ ности, особенно в начальный период после нагружения. Следо­ вательно, необходимы дополнительные исследования разрушае­ мое™ оболочки с учетом временных факторов.

Г Л А В А VII

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК ИЗ КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА

7. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОБОЛОЧКИ

ИЗ КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА

Теория оптимального проектирования конструкций представ­ ляет собой сравнительно молодую отрасль знаний, основываю­ щуюся на запросах проектной практики. Эта теория рассмат­ ривает комплексные ситуации, в которых скрещиваются явно противоречивые требования проектирования, например минималь­ ная стоимость и максимальная надежность конструкции. Задача оптимального проектирования состоит в нахождении в этих ус­ ловиях наиболее эффективного решения.

Свой метод теория оптимального проектирования конструк­ ций заимствует у математики. В математическом отношении за­ дача оптимального проектирования сводится к определению условного экстремума функции. Ограничивающие условия пред­ ставлены в виде равенств и неравенств. Однако лишь немно­ гие из таких задач могут быть решены классическими методами; большинство из них требует применения методов линейного, не­ линейного и динамического программирования.

Большое количество работ посвящено оптимальному проек­ тированию стержневых систем [149, 178, 180] и др. Исследования в этом направлении продолжаются. Развитие теории оптималь­ ного проектирования пластинок и оболочек началось позднее и происходит значительно медленнее ввиду сложности задачи.

Особенно важное значение теория оптимального проектиро­ вания приобретает в связи с применением в оболочках компо­ зитных материалов. Здесь, в отличие от конструкций из традици­ онных материалов, возникает необходимость проектирования оболочки и материала одновременно.

Вопросы оптимального армирования оболочек из стекло­ пластика рассмотрены в [52, 85, 113] и др. Обзор по данному воп­ росу, а также по оптимальному проектированию конструкций приводится в [229, 221].

Рассмотрим постановку задачи синтеза анизотропных цилин­ дрических оболочек. За критерий качества примем минимум веса оболочки. Оболочка может быть подвержена действию стати­ ческих (осевой силы, внешнего или внутреннего давления, кру­ тящего момента) или динамических нагрузок (пульсирующая или ударная, поток газа или жидкости). Кроме того, если обо­ лочка подвержена динамическому воздействию, низшая частота ее собственных колебаний должна превышать определенный за­ данный предел. Оболочка может быть подвержена воздействию определенных температурных полей. Все перечисленные выше факторы выступают в качестве физических ограничений, кото­ рые накладывают определенные условия на поведение оболочки под действием внешних факторов. Кроме того, на проектиро­ вание оболочки налагаются некоторые геометрические ограни­ чения, касающиеся верхних и нижних значений геометрических переменных (размеры оболочки, углы намотки армирующих во­ локон, их количество и т. п.). Тогда математически проблема сводится к задаче нелинейного программирования

min z ( х ); фт (х)5г0,

Здесь фт (х) •— функции, характеризующие предельные состо­ яния оболочки; z(x) — критерий качества проекта (целевая функция); х = {хI, х2, ... , хп} — вектор параметров оптимизации; М — общее количество физических и геометрических ограниче­ ний. В качестве параметров оптимизации выступают геометри­ ческие размеры оболочки, направление армирующих волокон и относительное количество волокон в каждом направлении, объ­ емный коэффициент армирования; за исходные данные прини­ маются характеристики армирующих волокон и полимерного связующего (жесткость, прочность и др.). Таким образом, ре­ шая задачу оптимального проектирования оболочки (1.1), мы не только определяем оптимальную конструкцию, но и создаем оптимальный материал для данной конструкции.

Трудности задачи состоят в составлении функций ограниче­ ний фт(х) и в их исключительно сложном виде и невыпуклости. В связи с этим алгоритм поиска должен быть таким, чтобы при разумном расходе машинного времени можно было найти ло­ кальный минимум функции z(x) с некоторой уверенностью, что этот минимум не слишком значительно отличается от гло­ бального.

7. 2. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНО АРМИРОВАННОЙ

ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ

При проектировании круговых цилиндрических оболочек, выполненных из ортотропного стеклопластика, при продольно­ поперечном армировании возникает вопрос об оптимальном рас­ положении волокон вдоль образующей и по окружности. Кроме того, нужно выбрать геометрические параметры оболочки с та­ кими соотношениями, чтобы из данного количества материала и при заданной форме оболочки изготовить конструкцию наиболь­ шей прочности. Внешнее воздействие на конструкцию обычно мы знаем, и задача сводится к нахождению геометрических па­ раметров, обеспечивающих минимальный вес оболочки при за­ данной нагрузке.

Рассмотрим ортотропную круговую цилиндрическую обо­ лочку из стеклопластика, имеющую заданную длину L, удель­ ный вес у и нагруженную осевой сжимающей силой N. Для стек­ лопластика, армированного в двух взаимно перпендикулярных направлениях вдоль оси и по окружности оболочки, модули упругости можно выразить через коэффициенты армирования, модуль упругости стекловолокна и модуль упругости связующего, применяя формулы теории армирования. Рассмотрим случай, когда объемный коэффициент армирования р, является постоян­ ным, меняется лишь коэффициент ■&, характеризующий число стекловолокон, направленных по образующей и по окружности. В первом приближении ограничимся упрощенной линейной за­ висимостью, принимая, что модули упругости пропорциональны числу стекловолокон:

Здесь Е\ — модуль упругости стеклопластика в направлении оси оболочки; Е2 — то же в перпендикулярном направлении;

•О — коэффициент армирования, т. е. относительное число стек­ ловолокон, идущих вдоль оси оболочки, причем в общем случае (в нашем случае считаем, что (2. 1) справедливо в пре­ делах О Д ^'в'^Д ). Постоянная Е определяется модулем упру­

гости стекловолокон и их относительным содержанием в мате­ риале; £ 0 — модуль упругости связующего.

Далее предполагаем, что прочность стеклопластика на сжа­ тие вдоль оси оболочек зависит от коэффициента армирования:

(2.2) — чисто эмпирическое соотношение, которое получено после обработки экспериментальных данных, и рассматривается как первое приближение, поскольку картина разрушения труб при сжатии весьма сложная, а результаты эксперимента имеют большой разброс. (2.2) справедлива в пределах 0,1 1; в общем случае между прочностью при сжатии стеклопластика и коэффициентом армирования эта зависимость является более сложной.

N r (x )

Здесь

N* (х) = 0,5яh ^ E {E2= 0,5яh2E jk 2+ £ + 0 (1 - 0 );

N R (x) =n3L~2hR3Ei = n3L~zhR3E (& + 0 ) ;

N r (x ) = 2 n R h a i R = 2 n R h o i ( т + -д2/з) ;

Кроме того, <p4( x ) = / i ^ 0 и ц5(х) = R ^ 0 . Ограничением cpi(x) определяется возможность местной потери устойчивости обо­ лочки в предположении достаточной сдвиговой жесткости в трансверсальной плоскости и в плоскости оболочки; ограниче­ нием фг(х) лимитируется общая потеря устойчивости оси обо­ лочки при шарнирном опирании (как стержня с кольцевым поперечным сечением); ограничением ф3(х) — прочность мате­

риала на сжатие.

В сформулированной задаче целевая функция (2.3) содер­ жит переменные h и R, ограничения (2.4), кроме того, перемен­

Решим сформулированную выше задачу методом множите­ лей Лагранжа [173]. Неизвестные параметры оптимизации обо­ значим через Хг (i= l, 2, 3); Xi = h, x2 = R, х2 = ®. Обозначим в ог­ раничениях (2.4) и в целевой функции (2.3) постоянные вели­ чины одним коэффициентом:

А = 2щ Ь , В = п гЬ ~ 2Е \

Тогда ограничения и целевую функцию можем записать в виде

Метод множителей Лагранжа применим, если ограничения заданы в виде равенств. (2.7) можем превратить в равенства, используя вспомогательные переменные xs; (t= l, 2, 3):

Следовательно, чтобы выполнялись неравенства (2.7), вспомо­ гательные неизвестные xs должны быть неотрицательными:

Для отыскания минимума функции G(x) рассмотрим внут­ ренность неотрицательного ортанта 6-мерного пространства Е6, так как все неизвестные больше нуля, Xj>0, xsi^ 0 . Рассмотрим также границу ортанта, поскольку некоторые из вспомогатель­ ных неизвестных xs могут быть равны нулю. Составим функцию Лагранжа:

з

Ф(х, х8Д ) =G(x) + ^Д гфД х, х5) ; г= 1

h —{МДгДз}; xs= {xsl, xs2, xs3},

или, в развернутом виде,

Ф (х>х8, к) ~ А х 1X2 + Xi{— —xsi-)-.D.Xi2yfe2-t-k-\-x3{\ —Хз)} +

Аг{ N —xS2 ~\-ВХ\Х2^ (k-\-х3)} + Аз{—N —xs3+

В точке экстремума частные производные Ф(х, xs, Я) по всем переменным, включая xs, должны быть равны нулю:

<ЗФ(Х, Х8, к) _

дх\

_аФ(_х.х..А ) _ 0; гФ К х ,._ ц _ 0

дх2 дхг

Приравнивая нулю производные по дополнительным неизвест­ ным при условии, что xsi> 0, получаем

<ЗФ (X, Xs, к)

Как видим, если в точке экстремума любые из дополнительных неизвестных больше нуля (в оболочке это соответствует случаю, когда осевая сжимающая сила меньше какого-либо предельного значения), соответствующие множители Лагранжа кг обраща­ ются в нуль. Следовательно, при поиске точки минимума эти ог­ раничения можем отбросить. При движении по границе ортанта, где некоторые xsi = 0 (в оболочке случай, когда нагрузка дости­ гает одного или нескольких предельных значений), ограничения с соответствующими номерами следует учитывать, т. е. множи­ тели кг могут отличаться от нуля.

Чтобы найти минимум функции (2.6), необходимо решать совместно 6 уравнений: три уравнения (2. 11) и три неравенства (2.7), причем находятся такие значения множителей Лагранжа

минимум функции G(x), а также х3, соответствующее этому ми­ нимуму. Итеративный процесс нахождения этих неизвестных связан с громоздкими вычислениями, которые можно сократить, задав с достаточной точностью приближенные значения х3, т. е. Ф. Целесообразно поступать следующим образом. Принимаем фик-