книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

70

Непосредственной подстановкой коэффициентов ан можно убедиться в справедливости следующего соотно­ шения:

Яі

Из (2.35) и (2.36) с учетом того, что f(u\ q)>Q, полу­

чаем неравенство (2.27), которое необходимо было до­ казать.

Найдем, при каких условиях в (2.27) имеет место знак равенства, т. е. оценка Ко и статистическое значе­

Из (2.35) и (2.36) нетрудно получить, что это имеет место, если

і=і

т. е. когда функция W(u) удовлетворяет условию

W (u )= J W(u')f(u'; q)du! > ~ 1}

Функция (2.39) является частным случаем функции сле­ дующего вида:

<=і

Нетрудно убедиться, что только при определенных зна­

7J

понент вектора q вероятностных характеристик воздей­

ствия. Действительно, из (2.18) и (2.40) имеем

П

Таким образом, оценка Хо и статистическое значе­ ние X* могут быть одинаковыми по точности и выигрыш

в точности от применения аналитического метода к части системы может отсутствовать только в частном случае, когда X является линейной функцией <7, (г= 1, 2, ... , п ) .

Примеры, иллюстрирующие эффективность примене­ ния аналитических методов к части системы, будут рас­ смотрены в § 2.8.

2.4. Использование априорных сведений о вероятностных характеристиках модели системы

Под априорными сведениями о вероятностных харак­ теристиках системы будем понимать значения вероят­ ностных характеристик, полученные в ходе предвари­ тельных исследований системы. Вероятностные харак­ теристики, найденные при предварительных исследова­ ниях, могут относиться либо к более простой модели

при других, не окончательно выбранных значениях ее параметров.

Наличие указанных значений вероятностных харак­ теристик, которые в дальнейшем будем называть пред­ варительными вероятностными характеристиками, обус­ ловлено процессом проектирования системы, в ходе которого исследователи производят выбор и уточнение структуры и параметров системы. Кроме того, происхо­ дит непрерывное уточнение представления о системе. Предварительные вероятностные характеристики могут быть получены или в результате аналитических иссле­ дований или с привлечением метода статистических испытаний.

Если они найдены аналитическим методом, то оцен­ ка вероятностной характеристики системы с использова­ нием предварительных вероятностных характеристик может быть произведена методом, изложенным в гл, 1,

П

При этом под вероятностными характеристиками «упро­ щенной системы» следует понимать предварительные вероятностные характеристики, а под «исходной систе­ мой»— исследуемую. В данном случае для получения оценки помимо аналитических значений предваритель­ ных вероятностных характеристик необходимо найти их статистические значения, для чего потребуются допол­ нительные статистические испытания «упрощенной си­ стемы». Поэтому использование предварительных веро­ ятностных характеристик, как следует из гл. 1, будет целесообразным тогда, когда «упрощенная система» действительно является простой и определение статисти­ ческих вероятностных харктеристик не требует дополни­ тельного большого объема вычислений.

Если же предварительные вероятностные характе­ ристики найдены с привлечением метода статистических испытаний, то использование их для оценки вероятност­ ных характеристик системы может производиться с по­ мощью метода, изложенного в настоящем параграфе.

Будем предполагать, что вероятностные характери­ стики системы находятся каждый раз одинаковым обра­ зом и с использованием метода статистических испыта­ ний. В частности, для этих целей может быть применен и метод, изложенный в гл. 1.

Для того чтобы можно было использовать ранее найденные статистические значения вероятностных ха­ рактеристик, необходима хотя и не сложная, но спе­ циальная организация экспериментов и обработка их результатов.

Рассмотрим решение данной задачи, когда ищется оценка вероятностной характеристики системы при од­ ной совокупности значений ее параметров с использо­ ванием результатов статистических испытаний, прове­ денных ранее для другой совокупности значений этих параметров.

Пусть вероятностная характеристика Я представляет собой математическое ожидание некоторой случайной величины R. Отметим, что в случае применения метода, изложенного в гл. 1, за R в этой главе следует прини­ мать величину R —/C*BS^C_1SS(5 —ц).

Обозначим через %і и Х2 значения вероятностных

характеристик системы соответственно для ранее и те­ перь исследуемых совокупностей значений ее парамет-

73

ров. В дальнейшем эти совокупности значений парамет­ ров будем называть соответственно первой и второй точками. В силу сделанного предположения

значения Аі* вероятностной характеристики Хі в первой

могут быть найдены статистические значения Хю* и 1ц*

вероятностной характеристики Ац

/=ЛГ„+1

где Ra — значение Ri в j-u эксперименте.

В силу независимости экспериментов величины Аю* и Ац* являются независимыми.

Статистическое значение вероятностной характери­ стики в первой точке, найденное по всем Л'і экспери­ ментам, будет

(2-45)

і=1 Величина Хі* является искомым статистическим зна­

чением вероятностной характеристики Аі при перво­ начальных исследованиях, т. е. в первой точке. Для целей же оценки вероятностных характеристик во вто­ рой точке с использованием результатов, полученных в первой точке, будут необходимы величины Ію* и Ап*, которые зависят от числа N0. Оптимальное значение

числа іѴ0, как будет показано ниже, зависит от резуль­ татов статистических испытаний во второй точке, однако оно не превышает N t/2. Отсюда следует, что для при­

влечения при последующих возможных расчетах в дру­ гой точке результатов, полученных в первой точке, не­ обходимо запоминание значений Я ц для js^Ni/2 и Аі*.

74

Действительно, после того, как по экспериментам во второй точке будет найдено число N0, имея значения /Д; для js^'Ni/2, можно по формуле (2.43) найти Яю*, а за­

тем, зная Яі*, вычислить и Яц* по соотношению

Данная формула вытекает из (2.43) — (2.45). Статистические испытания для получения оценки

вероятностной характеристики во второй точке произ­ водятся следующим образом. Первые N0 экспериментов

осуществляются при тех же самых реализациях слу­ чайных -воздействий, что и N0 экспериментов в первой точке. В принципе это требует запоминания No реали­

заций случайных воздействий, однако при расчетах на

чисел {10, 17] можно ограничиться запоминанием только опорных чисел, из которых получались эти последова­ тельности. Остальные эксперименты производятся с не­ зависимой последовательностью случайных воздействий. Обозначая общее число экспериментов во второй точке через N2, можем аналогично (2.43) и (2.44) написать,

что статистические значения Яго* и Ягі* вероятностной характеристики Яг, найденные соответственно по N0

75

где а, Ь, с и с/ — коэффициенты, выбираемые из условия

Значения b и d, обеспечивающие минимум диспер­

76

Отсюда получим

где r — коэффициент корреляции -случайных величии R\ и Ri в первых No экспериментах,

Подставляя (2.56) в (2.54), найдем значение диспер­ сии Di при оптимальных коэффициентах 6 и rf:

Будем предполагать, что желаемая точность получе­ ния вероятностных характеристик в первой и второй точках определяется одним и тем же числом М экспери­

ментов, которые нужно было бы провести при обычной организации экспериментов и определении вероятност­ ной характеристики во второй точке независимо от ре­ зультатов экспериментов в первой точке. Следовательно,

Подставляя (2.59) и (2.60) в (2.58), получим уравне­ ние для нахождения общего числа N2 экспериментов во

второй точке:

~NT - N T N 2- N 0

Решая это уравнение, найдем, что

Мг — (Мг — Nl) г2

(2.62)

77

Число экспериментов N0 выберем таким, чтобы общее число экспериментов N2 для получения оценки вероятно­

стной характеристики во второй точке было минималь­ ным. Нетрудно получить, что No, обеспечивающее мини­ мум N2 , будет

чения опенки %2 о вероятностной характеристики системы

Выигрыш г|2о вчисле экспериментов при оценке вероят­

ностной характеристики во второй точке, обусловленный использованием результатов статистических испытаний в первой точке, определим отношением числа М экспе­

риментов, необходимого для получения вероятностной ха­ рактеристики с требуемой точ­ ностью при обычном определе­ нии вероятностной характери­ стики, к числу экспериментов N2 , необходимому при рассма­

триваемом методе:

Из (2.65) и (2.66) получаем

циента корреляции г представлена на рис. 2.2. Как вид­ но из этого рисунка, выигрыш г\2 о может быть весьма су­

щественным.

78

При оптимальном числе экспериментов М> в соответ­ ствии с (2.53), (2.56), (2.59) и (2.65) формула для оцен­ ки Аго принимает вид

ho* + Ѵ \ - г2 Лгі*

Оценка А2о не -может быть практически реализована, так как для ее получения необходимо знать дисперсии К и и Кгг и коэффициент корреляции г. Однако, как бу­

дет показано ів гл. 4, в аналогичных случаях, даже при небольшом числе М, можно Кн, К2 2 и г заменить на ста­ тистические значения Кн*, К2 2 * и г*, найденные по соот­

ветствующим экспериментам при незначительном ухуд­ шении точности оценки. Таким образом, вместо оценки А20 будем рассматривать практически реализуемую оцен­

ку

Статистическое значение г* коэффициента корреля­

ции находится по первым .Ѵ0 экспериментам в первой и второй точках, а статистические значения Кн* и К2 2 *

дисперсий— по всем экспериментам для соответствую­ щих точек.

Число экспериментов М0 в силу (2.63) зависит от ко­

эффициента корреляции г. Для практического опреде­ ления числа No вместо г будем пользоваться его стати­

стическим значением г* подобію тому, как это делается в гл. 4, где рассматривается одновременное определение вероятностных характеристик б нескольких точках. Та­ ким образом, вместо числа N0 будем пользоваться чис­ лом N*о, вычисляемым по аналогичной формуле:

а общее число экспериментов во второй точке будем определять числом N*2 вместо УѴ2, причем в соответствии

с (2.63) и (2.65)

N*2=2N*O. (2.71)

79