книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

тельную задачу, комплексное решений которой в значйтельной степени способствует успеху эксперимента.

Здесь мы не будем рассматривать данную проблему и оговорим только те общие положения об измеритель­ ной системе, которые будут использованы при рассмот­ рении задач определения вероятностных характеристик системы по натурным экспериментам с использованием результатов теоретических исследований. Отметим, что эти положения являются довольно общими, тем не менее перед тем, как пользоваться изложенными ниже мето­ дами, необходимо проверить их выполнение.

Перейдем к изложению основных предположений по измерительной системе.'

1. Измерительная система обеспечивает получение не только значений случайных процессов в системе, по которым непосредственно находятся статистические зна­ чения ее вероятностных характеристик, но также и изме­ рение ряда -воздействий и процессов в системе. От того, какие и сколько воздействий и процессов регистрируют­ ся системой измерения, зависит эффективность привле­ чения результатов теоретических исследований к оценке вероятностных характеристик системы по натурным экс­ периментам. Измеряемые при натурных экспериментах воздействия будем называть внешними, а остальные — внутренними воздействиями на систему.

2. При испытаниях всей системы или ее отдельных частей соответствующие воздействия или процессы из­ меряются с одинаковыми точностными характеристи­ ками.

3.Измерительная система имеет одинаковые точност­ ные характеристики в различных экспериментах и неза­ висимые от эксперимента к эксперименту ошибки.

4.Ошибки измерений не зависят от случайных от­ клонений измеряемых значений воздействий и процессов от их математических ожиданий.

5.Ошибки измерения значений процессов, по кото­ рым находятся статистические значения вероятностных характеристик системы, таковы, что ошибки в вычисле­ нии величины R (математическое ожидание от R пред­

ставляет собой искомую вероятностную характеристику) можно считать с достаточной степенью точности линей­

ной функцией ошибок измерения.

6. Математические ожидания ошибок измерения рав­ ны нулю.

100

В. Модель систёмы

Под моделью системы будем понимать математиче­ ское описание системы и ее внутренних воздействий или физический аналог системы и ее внутренних воздействий, позволяющие при наличии как реализаций, так и веро­ ятностных характеристик внешних воздействий получать реализации процессов в модели системы.

Напомним, что внешними воздействиями называются воздействия, которые измеряются при натурных экспе­ риментах, а внутренними — все остальные воздействия на систему и ее модель.

В модель системы могут входить и не все внутренние воздействия на систему, и, кроме того, модель может включать внутренние воздействия, не имеющиеся в си­ стеме. Хотя такое положение в принципе и допустимо, однако следует помнить, что эффективность излагаемых ниже методов зависит от того, насколько процессы в модели соответствуют процессам в самой системе и какая часть воздействий на систему относится ж внеш­ ним воздействиям.

Одни и те же в физическом смысле внешние воздей­ ствия на систему и ее модель отличаются за счет того, что на систему поступают реальные воздействия, а на модели — либо измеренные значения воздействий, либо воздействия, сформированные на основании вероятност­ ных характеристик, полученных по измерениям воздей­ ствий. Таким образом, если на систему поступают ре­ альные внешние воздействия, то на модель системы по­ ступают воздействия в том или ином виде, содержащие еще и ошибки измерений.

Одинаковые в физическом смысле внутренние воздей­ ствия на систему и модель также отличаются, так как на систему поступают реальные воздействия, а в модели эти воздействия формируются по каким-либо априорным вероятностным характеристикам, которые могут сущест­ венно отличаться от реальных.

Модель системы представляет собой отображение знаний о системе, накопленных исследователями и про­ ектировщиками в процессе проектирования, разработки и испытаний системы и ее отдельных элементов. Поэтому естественHt), что модель непрерывно изменяется, уточ­

няется и расширяется. На начальном этапе модель созда­ ется как наметка будущего облика системы и служит для проектирования ее, выбора .параметров, проведения

101

прикидочных расчетов и т. д. На последнем этапе в мо­ дель все в большей и большей степени вкладываются сведения об уже сделанной и частично испытанной си­ стеме, а исследования на модели предназначены для получения сведений о поведении системы в разнообраз­ ных условиях, в том числе и в тех условиях, в которых не может быть испытана реально сама система. Послед­ ние исследования будут тем достовернее, чем в большей степени модель будет соответствовать системе. Поэтому естественно стремление исследователя получить как можно больше сведений о системе и внести их в модель.

Сведения о системе, вносимые в модель, могут быть получены самыми различными путями. Они могут по­ явиться ів ходе теоретического исследования физических процессов в отдельных элементах системы или в ходе специальных экспериментальных исследований. Кроме того, одним из важных источников сведений о системе является опыт проектирования и разработки систем с аналогичными физическими процессами. В этом смыс­ ле модель включает в себя информацию, приобретенную не только проектировщиками и исследователями систе­ мы, но и их предшественниками. Вообще, близость моде­ ли к системе в сильной степени определяется уровнем

в большей степени будут отражать процессы, происходя­ щие в системе, и, следовательно, все в большей мере будут содержать информацию о разрабатываемых систе­ мах, роль моделей в исследовании систем будет безуслов­ но возрастать.

Таким образом, модель системы, представляющая со­ бой отображение знаний о системе, всегда несет в себе определенную информацию о самой системе.

Определение вероятностных характеристик системы немыслимо без натурных экспериментов, но из-за слож­ ности этих экспериментов желательно возможно мень­ шее число их. Уменьшить же число экспериментов мож­ но за счет какой-либо другой информации о вероятност­ ных характеристиках. Из изложенного выше ясно, что интегрально информация о системе заключена в ее мо­ дели. Поэтому с определенной степенью уверенности можно заключить и то, что информация о вероятностных характеристиках системы содержится в вероятностных характеристиках модели системы.

102

Мы не будем -касаться в настоящей книге методов построения -математических моделей различного рода си­ стем, поскольку этот вопрос по существу рассматривает­ ся в обширной литературе, посвященной математическо­ му описанию элементов и систем. Укажем лишь на книги [8, 9, 24], в которых математическому моделированию некоторых -систем и процессов уделено особое внимание.

В данной главе будут рассмотрены -математически обоснованные методы определения вероятностных харак­ теристик системы по натурным экспериментам с привле­ чением информации, заключенной в вероятностных ха­ рактеристиках модели системы.

Г. Т е о р е ти ч е с к и е и ссл е д о в а н и я с п о м о щ ь ю м о д е л и си сте м ы

Как указывалось выше, по мере построения и уточ­ нения модели в нее вкладывается определенная инфор­ мация о системе, .накопленная ее создателями и иссле­ дователями в ходе разработки, исследований и предва­ рительных экспериментов -с -системой и ее элементами. Эта информация о системе, в частности, может быть получена из модели в интегральном виде при дальней­ ших теоретических исследованиях и выявлении вероят­ ностных характеристик модели.

В настоящей книге будем рассматривать только два вида исследований по определению вероятностных харак­ теристик модели системы.

При первом виде исследований на модель системы подаются непосредственно измеренные значения івоздействий, полученные при натурных испытаниях системы. Те же воздействия, которые не были измерены при натур­ ных экспериментах, формируются на -основании имею­ щихся априорных -сведений об их вероятностных харак­ теристиках. В результате исследований получаются реа­ лизации процессов -в модели системы, на основании кото­ рых находятся значения -вероятностных характеристик системы. Эти значения вероятностных характеристик бу­ дем называть в дальнейшем -статистическими.

При втором -виде исследований на модель системы подаются воздействия, -сформированные на основании их вероятностных характеристик, найденных, в свою оче­ редь, по измеренным значениям воздействий из резуль­ татов натурных испытаний системы. Значения вероятно­ стных характеристик, -полученные -при этом исследова­ нии, будем условно называть расчетными.

|03

Для 'получения расчетных значений вероятностных характеристик можно рекомендовать следующий поря­ док исследования.

Сначала, исследуя модель системы и воздействия на систему, необходимо получить априорные сведения о воз­ действиях и модели (см. гл. 2). Далее по реализациям измеренных значений воздействий и априорным сведе­ ниям о воздействиях и модели системы находятся веро­ ятностное характеристики воздействий на модель систе­ мы, необходимые для получения ее вероятностной харак­ теристики.

Затем, зная вероятностные характеристики воздейст­ вий, определяют расчетное значение вероятностной ха­ рактеристики модели системы. Для этого могут быть применены любые методы, в том числе и методы, изло­ женные в настоящей книге. Поскольку исследование на модели в принципе может быть произведено в достаточ­ но большом объеме, то даже при использовании метода статистических испытаний мы будем предполагать число экспериментов N0 с моделью настолько большим, чтобы

пренебрегать ошибками в определении расчетного зна­ чения вероятностной характеристики за счет конечности числа экспериментов No. При этих условиях ошибка

в определении вероятностных характеристик будет обу­ словлена в основном ошибками в вероятностных харак­ теристиках измеренных значений воздействий на модель за счет конечности числа натурных экспериментов N.

Таким образом, в случае определения расчетного значе­ ния вероятностной характеристики с применением мето­ да статистических испытаний, число экспериментов No по сути дела должно определяться из условия N0^>N.

В силу изложенного расчетные значения вероятност­ ных характеристик модели системы можно считать точ­ ными при найденных из натурных экспериментов веро­ ятностных характеристиках измеренных значений воздей­ ствий.

3.2. Оценка вероятностных характеристик системы по результатам ее натурных испытаний и теоретических исследований

В настоящем параграфе рассматривается задача оценки вероятностной характеристики системы по натур­ ным экспериментам с использованием результатов тер-

104

ретическйх исследований, заключенных в вероятностных характеристиках модели системы.

Примем, как и ранее, что искомая вероятностная ха­ рактеристика системы X представляет собой математи­ ческое ожидание некоторой величины R, которая являет­

ся известной функцией вектора значений Х0 процессов в системе, т. е.

где 4я(Хо) — некоторая известная функция вектора Х0.

где ЛХ0 — вектор ошибок измерений значений процессов. При независимых экспериментах, проведенных в оди­ наковых условиях, и при .выполнении предположений 3 и 4 относительно измерительной системы значения вектора X в различных экспериментах будут независи­

мыми и будут подчиняться одному и тому же закону распределения. Реализации значений вектора X , полу­ ченные при N натурных экспериментах, обозначим через

Х і, Х 2, . . . , Xjv.

Отметим, что в силу предположений 5 и 6 об измери­ тельной системе с достаточной степенью точности

Оговоренные условия позволяют по результатам на­ турных испытаний вычислить статистическое значение к* вероятностной характеристики X:

N

(3.5)

** = т г 5 > ' 1=1

При натурных испытаниях измеряются внешние воз­ действия на систему (см. § 3.1). Обозначая через U0век­

тор значений внешних воздействий на систему, а через AUo — вектор ошибок измерений этих значений, можем

105

записать, что вектор Ü измеренных значений воздействий

будет

В силу независимости экспериментов и одинаковости условий их проведения, а также в силу предположений 2, 3 и 4 относительно измерительной системы значения U

в различных экспериментах будут независимыми и будут подчиняться одному и тому же закону распределения. Реализации значений вектора U, полученные в N экс­

вектора воздействий будем использовать для получения значений вероятностной характеристики ц модели систе­ мы. Так же как и по отношению к X, будем считать, что (I — математическое ожидание от некоторой величины S,

представляющей собой какую-либо функцию от вектора Уо значений процессов в модели системы, т. е.

Для модели системы найдем два значения вероятно­ стной характеристики ц — статистическое ц* и расчет­ ное Цо-

Статистическое значение ц* получим по результатам N экспериментов с моделью системы при подаче на нее N реализаций измеренных значений внешних воздейст­ вий, характеризуемых векторами Uі, 1)2, ..., UN. Из этих N экспериментов получим реализации Уш, Уог, .. Уогѵ

вектора процессов в модели, на основании которых по формуле (3.9) вычислим N значений бф S 2, .. ., S N слу­ чайной величины S. В силу независимости Uu U2, .. UN значения Si, S 2, ..., S N также будут независимыми, а по­

этому статистическое значение ц* вероятностной харак-

106

теристи'ки можно будет определить по формуле

N

(3.10)

/ = і

Расчетное значение ро вероятностной характеристики модели системы вычисляется одним из способов, указан­ ных в § 3.1.

Оценку Яо вероятностной характеристики системы по натурным экспериментам и результатам теоретических исследований 'будем находить с использованием стати­ стических значений Я* и р* вероятностных характеристик системы и ее модели и расчетного значения ро вероятно­ стной характеристики модели. Оценку Яо будем искать оптимальной в смысле минимума дисперсии в классе линейных несмещенных оценок, т. е.

Кроме тоге, из (3.1), (3.5), (3.8) и (3.10) получаем

М[Я*] = Я,

(3.14)

АГ[р*] = р,

Так как вероятностные характеристики Я и р могут отличаться по величине, то с учетом (3.13) и (3.14) из условия несмещенности имеем

Значение коэффициента с найдем исходя из миниму­ ма дисперсии К о оценки ЯоТак как Я*, р* и ро получены

в конечном счете через одни и те же .воздействия, кото-

107

рые имели место при натурных экспериментах, то их значения между собой коррелированъ!. Поэтому

Найдем формальное выражение для расчетного зна­ чения ро вероятностной характеристики модели системы. Оно необходимо для доказательства соотношения (3.13) и получения выражения для коэффициента с, которое можно было бы использовать для практических вычис­ лений.

Пусть q—/-мерный вектор вероятностных характери­

стик измеренных значений внешних воздействий, через компоненты которого определяется расчетное значение

вероятностной характеристики модели системы. Необхо­ димый состав вектора q (число I и физический смысл

компонент) определяется априорными сведениями об из­ меренных значениях воздействий и о модели системы с учетом того, какая вероятностная характеристика мо­ дели системы вычисляется. Как и во всех других случа­ ях, будем считать, что вектор q представляет собой ма­

тематическое ожидание некоторой известной векторной функции Ѳ вектора U измеренных значений внешних воз­

действий, т. е.

Тогда статистическоезначение q* вектора q, полу­ ченное по результатам N натурных экспериментов, будет

Л'

/= 1

Истинное же значение вектора q обозначим через qa.

Пусть функция ц(д) отображает зависимость вероятно­ стной характеристики модели системы от вектора q.

Тогда очевидно, что

108

Из описанного в предыдущем параграфе способа определения расчетного значения р0 вероятностной ха­ рактеристики -следует, что

ио=р,(<7*). (3.22)

При достаточно большом числе экспериментов N ком­ поненты вектора q*—qa имеют малые дисперсии. Поэто­

му выражение для цо можно разложить по компонентам этого вектора, ограничившись первыми степенями раз­ ложения:

то из (3.26) получим соотношение (3.13), которым поль­ зовались при построении оценки Яо-

Из (3.26) и (3.20) легко получить следующее фор­ мальное представление расчетного значения р0 вероят­ ностной характеристики модели:

Отметим, что в силу одинаковости закона распреде­ ления и независимости Uj для различных / случайные величины Pj также независимы и имеют одинаковый за­ кон распределения. Далее, так как Pj зависит только от

109