книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

где е — относительное отличие отношения у для двух точек, из вы­ ражения для г2 нетрудно получить, что при малом е

Из данной формулы, например, следует, что если относительное отличие отношения средних квадратических отклонений составляю­ щих процесса У для двух точек е=g;0,4, то г2^=0,92.

Пример 3. Пусть искомая вероятностная характеристика пред­ ставляет собой дисперсию установившегося значения У нормального случайного процесса на выходе модели системы с передаточной функцией

К ( Р ) — 1 + 2 | 7 > + Т 2р 2 ’

при воздействии на входе белого шума. В данном случае

R=--Y2.

Используя таблицы, приведенные в [29], получим квадрат ко­ эффициента корреляции гГіу^ значений У[ и У2 процессов в модели

системы в двух точках, характеризуемых параметрами: 1-я точка — |і, Ті и 2-я точка — £2, Т2:

Поскольку У) и У2 подчиняются нормальному закону распреде­ ления, то

200

fe частности, при Ті = Тг

(I + І2/&02 '

?.= І2=?

Отсюда, например, при §=0,5 и Тг!Ті=\,Ь имеем г ~ 0,97.

Число А40, определяющее потребную точность получения оценок, при расчетах было взято 200. Напомним, что число Мо равно необ­ ходимому числу экспериментов при обычно принятых организации экспериментов и обработке их результатов.

Организация экспериментов и обработка их результатов произ­ водилась в соответствии с § 4.3.

Числа экспериментов типа (1) и (2) ЛЧ=і/Ѵ2=100. В ходе экспе­

201

Оценки вероятностных характеристик в обеих точках

Лю —1,05; Л;>о —2,10.

Выигрыш в числе экспериментов для рассматриваемого примера составляет

По« 1,42.

4.8. О возможном применении метода к решению других задач

Сущность изложенного выше метода одновременного определения вероятностных характеристик для несколь­ ких значений параметров системы заключалась в про­ ведении различного типа экспериментов (в различных сочетаниях точек, взятых в области параметров системы) с выбором оптимальных чисел экспериментов и опти­ мальной обработкой их результатов. Причем необходи­ мые числа экспериментов и весовые матрицы для обра­ ботки находились по результатам самих экспериментов.

Такой метод, по-видимому, был бы плодотворен и при решении ряда других общих задач, связанных тем или иным образом с исследованием вероятностных характе­ ристик при различных значениях параметров модели системы. Остановимся кратко на двух из них.

В ряде случаев, общий вид зависимости вероятност­ ной характеристики от каких-либо параметров удается найти или обосновать, конкретные же значения коэффи­ циентов, входящих в эту зависимость, неизвестны. Иногда исследователя может интересовать аппроксимация по какому-либо закону в определенных пределах зависимо­ сти вероятностных характеристик от параметров. Таким образом, в обоих случаях возникает 'необходимость по­ лучения оптимальным способом в соответствии с желае­ мым критерием коэффициентов, входящих в зависимость вероятностной характеристики от параметров.

Приближенное решение данной задачи можно, по-ви­ димому, строить следующим образом. В той области значений параметров, для которой необходимо найти за­ висимость вероятностной характеристики от параметров, берется несколько точек (например, равномерно распре­ деленных). Далее коэффициенты зависимости находятся по статистическим значениям вероятностной характери­ стики в выбранных точках, полученным при различных типах экспериментов. Числа экспериментов различных

202

типов выбираются оптимальными в соответствии с же­ лаемым критерием, например исходя из минимума об­ щего числа экспериментов при требуемой точности полу­ чения коэффициентов. Необходимые для оптимального решения задачи вероятностные характеристики вычис­ ляются по тем же экспериментам, подобно тому, как вычислялись элементы корреляционной матрицы для рас­ смотренных в данной главе задач.

Очевидно, что в принципе, чем больше число точек, взятых в области значений параметров для решения этой задачи, тем ближе будет решение к оптимальному. Одна­ ко при этом усложнится процесс вычисления коэффици­ ентов, входящих в зависимость. Данные обстоятельства безусловно необходимо учитывать.

Изложенная здесь наметка возможного метода реше­ ния указанной задачи реализована в гл. 5 при рассмо­ трении метода оценки влияния разброса параметров на зероятностные характеристики (§ 5.4).

Перейдем ко второй задаче. В процессе исследования моделей систем довольно часто возникает задача отыска­ ния оптимальных параметров, дающих минимум или максимум какой-либо вероятностной характеристики и само значение вероятностной характеристики для этих параметров. При этом по результатам приближенных ис­ следований или ориентировочных оценок известна область в пространстве параметров, в которой находятся их оп­ тимальные значения. Данную задачу можно, по-видимо­ му, решить путем выбора точек в указанной области и проведения в них экспериментов различного типа подоб­ но тому, как это предлагалось делать в предыдущей за­ даче. Если область, в которой находятся оптимальные значения параметров, сравнительно невелика, то можно также воспользоваться аппроксимацией зависимости вероятностной характеристики от параметров полиномом второй степени. В связи с изложенным укажем на статью [18], в которой для определения оптимальных значений параметров предлагается использовать зависимые экспе­ рименты, т. е. эксперименты типа (1, 2, ..., I). Однако,

по-видимому, такая организация экспериментов не будет оптимальной, если одновременно искать с наилучшей точностью значение вероятностной характеристики при оптимальных параметрах.

203

Г л а в а 5

ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ СЛУЧАЙНОГО РАЗБРОСА ПАРАМЕТРОВ НА ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ

5.1. Возможные методы оценки влияния случайного разброса параметров на вероятностные характеристики модели системы

В .процессе проектирования системы перед исследова­ телем возникает целый ряд проблем, в числе которых не последнее место занимает вопрос о практической реали­ зуемости системы с желаемыми вероятностными харак­ теристиками. С этим вопросом связана необходимость решения таких проблем, как обеспечение надежности системы, проверка критичности работы ее в различных условиях и при реальном разбросе параметров и т. д.

В настоящей главе рассматриваются методы оценки влияния случайного разброса параметров модели систе­ мы на ее вероятностные характеристики. Такого рода оценки проводятся обычно на всех этапах проектирова­ ния: сначала при выборе структуры и параметров систе­ мы, с тем чтобы система была как можно в меньшей степени критична к этим разбросам, а на конечном эта­ пе— для получения вероятностных характеристик систе­ мы с учетом разброса параметров.

Характеристики разброса параметров системы связа­ ны с ее сложностью и надежностью. Действительно, как правило, более жесткие требования к допустимому раз­ бросу параметров системы приводят к необходимости принятия специальных мер по обеспечению их стабиль­ ности. Это, в свою очередь, усложняет элементы и всю систему и в конечном счете может, привести к уменьше­ нию ее надежности.

Обычно в процессе проектирования системы стремят­ ся номинальные значения параметров выбрать оптималь­ ными, т. е. обеспечивающими минимум или максимум той или иной ее вероятностной характеристики, являющейся характеристикой качества системы. Поскольку получение высокого качества системы представляет собой сложную проблему, решение которой практически всегда связано с колоссальными трудностями, то для исследователя естественно стремление получить такую систему и такие

204

разбросы ее параметров, при которых ухудшение каче­ ства системы было бы незначительным.

Последнее обстоятельство может быть использовано при выборе метода исследования влияния разброса па­ раметров. С одной стороны, оно позволяет применять различные методы, в которых используется эта малость, с другой стороны, оно требует применения специальных мер по оценке таких малых величин.

В настоящей книге под оценкой влияния случайного разброса параметров на вероятностную характеристику X модели системы будем понимать определение зависи­ мости изменения öX вероятностной характеристики от ве­

роятностных характеристик случайного разброса пара­ метров.

С математической точки зрения подобная задача, если не применять специальных мер, эквивалентна, ис­ следованию вероятностных характеристик процессов в не­ линейной системе. Действительно, даже в простейшей линейной стационарной системе разброс параметров, ко­ торый можно относить к воздействиям на систему, при­ водит, по существу, к необходимости анализа нелинейной системы.

Изложенные ниже методы оценки влияния случайного разброса параметров на вероятностные характеристики модели системы базируются на использовании априорной информации о малости этого влияния. Такой информаци­ ей, как правило, исследователь обладает, так как при построении системы он обычно исходит из требования некритичности системы к разбросу параметров. Однако если подобной информации нет, то исследование с пред­ положением о ее наличии позволит найти по крайней ме­ ре те характеристики разброса параметров, при которых их влияние на вероятностные характеристики системы было бы малым.

Предположение о малом влиянии разброса параме­ тров позволяет применить, хотя бы частично, аналити­ ческие методы по отношению к этим разбросам. Кроме того, при таком предположении возможно вместо исход­ ной рассматривать упрощенную систему. Покажем это.

Пусть X и |і — вероятностные характеристики исход­

ной и упрощенной систем с учетом случайного разброса их параметров. Вектор а параметров и его случайное от­ клонение (Ата для обеих систем будем считать одними и теми же. Отличие исходной системы от упрощенной бу­

205

дем характеризовать вектором е неслучайных параме­ тров, причем для упрощенной системы примем е= 0.

Обозначим через <р(Да; е) значение вероятностной характеристики исходной системы при конкретном зна­ чении вектора Да разброса параметров. Тогда можно

где /(Да) — дифференциальный закон распределения век­ тора Да.

Изменения бК п бр вероятностных характеристик за

счет случайного разброса параметров равны

8Я — Я — Я0,

(5.3)

=— fV

Всоответствии с высказанным выше положением не­ обходимо показать, что при определенных условиях

хотя

Я ф |Л,

(5.5)

КФѵ-ч-

С этой целью разложим функцию ф(Да; е) в ряд по степеням компонент Даі, Ааг, . . ., Дап и еІГ go, . . ., ет векторов Да и г. Будем предполагать, что значения Да, и ей являются малыми и в разложении можно ограни­

читься членами второго порядка, т. е.

206

Предполагая математическое ожидание вектора раз­ броса параметров системы равным нулю, из соотноше­ ний (5.1), (5.2), (5.3) и (5.6) получим

ют соотношения (5.4) и (5.5), которые необходимо было доказать.

Таким образом, для определения влияния случайного разброса параметров на вероятностные характеристики системы можно вместо исходной рассматривать упро­ щенную систему, если даже их вероятностные характери­ стики и отличаются.

Приведенное доказательство данного положения явля­ ется качественным, поэтому оно не дает какого-либо практического .рецепта для определения возможной сте­ пени упрощения. Допустимая степень упрощения может быть определена в каждом конкретном случае с учетом накопленного опыта исследования.

Частичное применение аналитического метода по от­ ношению к разбросу параметров (разложение в ряд) позволяет определить структуру зависимости изменения вероятностной характеристики системы от вероятностных характеристик разброса [см. формулу (5.8)].

Поскольку допустима замена исходной системы на упрощенную, то расширяется возможность использова­ ния аналитических методов решения задачи. Если исход­ ная система не может быть исследована с помощью толь­ ко аналитических методов, то исследование соответст­ вующей упрощенной системы с применением этих мето­ дов может оказаться полностью возможным.

При малом влиянии разброса параметров на вероят­ ностные характеристики не обязательно получать точную величину этого влияния. В ряде случаев вполне достаточ­ но иметь его оценку сверху.

206

В соответствии с изложенным в настоящей главе

рассматриваются следующие методы решения данной за­ дачи: оценка сверху, аналитический метод и аналитиче­ ский метод по отношению к разбросам параметров сов­ местно с методом статистических испытаний по отноше­ нию к остальным воздействиям на систему.

По существу, эти методы различаются по способам оценки коэффициентов разложения (5.8). При первом методе производится оценка коэффициентов сверху, при

Необходимо отметить разницу между задачей оценки влияния разброса параметров и задачей определения вероятностных характеристик с учетом разброса параме­ тров, рассмотренной, например, в [1, 2, 20, 21, 22, 25, 31,

41].

Если в результате решения первой задачи получается зависимость изменения вероятностной характеристики от вероятностных характеристик разброса параметров, с по­ мощью которой можно ответить на вопросы об измене­ нии вероятностных характеристик при различных разбро­ сах или оценить допустимые величины разбросов, то для ответа на эти же вопросы с помощью второй задачи тре­ буется многократное решение ее. С другой стороны, решить вторую задачу при наличии вероятностных ха­ рактеристик системы без учета разброса параметров не представляет какого-либо труда с помощью результатов решения первой задачи, причем для любых характери­

стик разброса.

Задача определения вероятностных характеристик с учетом разброса параметров может решаться с исполь­ зованием всех методов определения вероятностных ха­ рактеристик без какого-либо их видоизменения. Если при этом найдены и вероятностные характеристики без учета разброса параметров, то на первый взгляд может пока­ заться, что этим самым решается первая задача оценки влияния разброса. На самом деле это не совсем так. Действительно, при определении вероятностных характе­ ристик с учетом разброса параметров приходится ис­ пользовать приближенные методы, и если не принимать специальных мер, то оценка влияния разброса будет практически невозможна, так как из разности двух не­ точно вычисленных значений трудно найти малое отли­ чие одной величины от другой.

208

С другой стороны, оценка влияния не требует обяза­ тельного вычисления с высокой точностью вероятно­ стных характеристик, так как при правильной методике можно непосредственно находить само влияние, а не вычислять его через (вероятностные характеристики.

5.2. Оценка сверху

При определении влияния случайного разброса пара­ метров на вероятностные характеристики системы до­ вольно часто бывает вполне достаточно ограничиться гру­ бой, но простой оценкой этого влияния. Грубая оценка может быть полезной в ряде случаев. Например, если в результате этой оценки окажется, что влияние разбро­ са параметров несущественно, то тогда нет необходимости в проведении сложных точных расчетов. Грубая оценка может быть использована также и для определения до­ пустимых разбросов параметров, при которых изменение вероятностных характеристик лежит в допустимых пре­ делах.

Естественно, что использование грубой оценки целе­ сообразно в тех случаях, когда она может быть произве­ дена достаточно простым путем.

Номинальные значения, по крайней мере основных параметров системы, выбираются, как правило, опти­ мальными, т. е. обеспечивающими минимум или макси­ мум какой-либо вероятностной характеристики системы. Тогда случайные отклонения параметров будут приво­ дить к ухудшению указанной вероятностной характери­ стики, а грубая оценка сверху влияния разброса позво­ лит оценить сверху это ухудшение.

Метод получения оценок сверху заключается в сле­ дующем.

Вместо исходной системы рассматривается упрощен­ ная система. Степень упрощения может быть значитель­ ной, так как далее производится грубая оценка влияния разброса параметров. Условное значение вероятностной характеристики упрощенной системы, т. е. ее значение при конкретных отклонениях параметров, раскладывается в ряд по степеням отклонений параметров до членов второго порядка включительно. В этом случае изменение вероятностной характеристики из-за разброса параме­ тров будет выражаться через дисперсии и корреляцион­ ные моменты случайных отклонений параметров и коэф-

209