книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

Расчеты производились при следующих значениях параметров воздействий, системы, ее модели и измерительной системы:

°да, = 0,05Ve.

Система отличается от модели наличием нелинейности, разбро­ сом параметров, характеризуемым величинами ДЬmax, 'ABmax, ДСтах, ДDmax и наличием внутреннего воздействия, величина которого опре­

Оценка Хоі вероятностной характеристики, вычисленная по фор­ муле (3.36), получилась равной

?,оі=15,2. (3.118)

Выигрыш в точности оценки за счет использования результатов теоретических исследований был определен по формуле (3.43) пу­ тем подстановки в нее вместо точных значений дисперсий и корре­ ляционных функций их статистических значений, найденных по N= =300 экспериментам. Полученное значение выигрыша в точности равнялось

т] о~ 2 ,1 .

Таким образом, привлечение результатов теоретических иссле­ дований при оценке вероятностных характеристик системы по натур­ ным испытаниям для рассмотренного примера позволяет в 2,1 раза повысить точность определения вероятностной характеристики при данном числе экспериментов или в 2,1 раза сократить объем натур­ ных экспериментов при той же точности.

Уменьшение разброса параметров системы и величины внутрен­ него воздействия приближает систему к модели. При этом естествен­ но должен увеличиваться выигрыш в точности за счет привлечения результатов теоретических исследований на модели системы. Умень­ шение ошибок измерительной системы также приводит к увеличению выигрыша.

Для иллюстрации этих положений был определен выигрыш т)о в случае, когда разброс параметров системы, величина внутреннего воздействия и ошибки измерительной системы в два раза меньше, чем ранее приведенные. Величина выигрыша при этом увеличилась с 2,1 до 3,2.

140

Пример 2. Для системы, рассмотренной в предыдущем примере, произведем оценку вероятностной характеристики по результатам натурных испытаний в случае, когда часть экспериментов была про­ изведена не при окончательно выбранных значениях параметров.

Расчеты производить при следующих значениях параметров: Т = lcj'&o = 3; m = 20;

^Omax 19, Vat —0,6 */с,

Были получены следующие результаты. При предварительных экспериментах (ЛРП=50):

|т*і. = 14,7,

М'0и== 14,1.

Для окончательных экспериментов (/Ѵ=30):

X*= 17,6,

[г* = 19,2,

Но =16,5.

Оценка Лоь найденная по результатам всех экспериментов по формуле (3.71), получилась равной

13,9.

Выигрыш в точности оценки за счет использования результатов предварительных экспериментов, вычисленный по формуле с исполь­ зованием вместо корреляционных моментов их статистических зна­ чений, получился равным

X—4,73.

Таким образом, при числе окончательных экспериментов N=30 привлечение результатов ранее проведенных экспериментов позволяет получить точность, соответствующую числу экспериментов N «52.

Г л а в а 4

ОДНОВРЕМЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МОДЕЛИ СИСТЕМЫ ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ЗНАЧЕНИЙ ЕЕ ПАРАМЕТРОВ

4.1. Общая формулировка метода

Анализ и синтез модели системы довольно часто сво­ дится к исследованию зависимости вероятностных харак­ теристик от каких-либо параметров (или характеристик) модели и приложенных к ней воздействий. Найти явную

141

зависимость вероятностных характеристик от этих пара­ метров удается в редких случаях, а поэтому обычно веро­ ятностные характеристики определяют для нескольких значений параметров и по ним уже строят интересую­ щую зависимость. Поскольку для отыскания вероятност­ ных характеристик процессов в сложных системах в ко­ нечном счете в том или ином виде приходится применять метод статистических испытаний, то объем указанных исследований особенно для системы, характеризуемой многими параметрами, становится значительным.

Существующие способы уменьшения объема исследо­ ваний в таких случаях, как правило, сводятся к умень­ шению числа значений параметров, для которых опре­ деляются вероятностные характеристики. Например, вводятся обобщенные параметры, не исследуется зави­ симость от несущественных параметров, учитывается предполагаемый характер зависимости от параметров и т. д. Тем не менее даже с учетом всех этих способов объем вычислений для указанных исследований может остаться весьма большим.

Выбранные для исследования значения параметров характеризуются некоторыми точками в многомерном пространстве параметров, поэтому в дальнейшем в целях сокращения эти значения параметров будем называть просто точками.

В данной главе под статистическими испытаниями в каждой точке будем понимать не только применение чистого метода статистических испытаний^ но и исполь­ зование по мере возможности и целесообразности этого

цессов в модели системы находятся методом статистиче­ ских испытаний независимо в каждой точке. В то же время ясно, что если для каких-либо точек подавать одни и те же случайные воздействия, то статистические значения вероятностных характеристик будут коррелированы между собой, и поэтому вероятностные характе­ ристики в нескольких точках рационально определять не независимо в каждой точке, а путем совместной обработ­ ки результатов статистических испытаний во всех точках при соответствующей оптимальной организации самих испытаний.

142

Прежде чем приступить к постановке задачи, введем понятие последовательности воздействий, под которой будем понимать независимые от эксперимента к экспе­ рименту совокупности необходимых для статистических испытаний случайных (воздействий. Отметим, что обыч­ но на вычислительных машинах для получения таких последовательностей воздействий используются последо­ вательности псевдослучайных чисел [10, 17]. В силу этого повторение любой последовательности воздействий на вычислительных машинах не представляет каких-либо трудностей.

Пусть Я—«-мерный вектор вероятностных характери­ стик системы, значения которого в / заданных точках Яі, Яг, ..., h необходимо найти. Будем, как и ранее, счи­

тать, что Я — математическое ожидание некоторого век­ тора R, представляющего собой функцию значений про­

цессов в системе,

дены все возможные виды экспериментов. Возможную совокупность экспериментов в I точках можно разбить на эксперименты, в которых для всех т (т= 1, 2, ..., I) из I точек подавалась одна и та же последовательность воз­

действий, не зависящая от других последовательностей. Таким образом, можно считать, что проведены экс­

143

Вероятностные характеристики, равные вероятностным характеристикам воздействий, приложенных к модели системы.

Общее число независимых последовательностей воз­ действий равно

I

(4.3)

т=1

Общее Число .экспериментов, проведенное в различ­ ных точках, будет

также равно q. Эти числа определяют количество экспе­

риментов различного типа и будут в дальнейшем выби­ раться оптимальными.

Обычно проводимые эксперименты для определения зероятностных характеристик модели системы в различ­ ных точках включают в себя либо эксперименты типа (і), либо последний тип экспериментов (1, 2, . .., I).

Иногда проводятся эксперименты типа (г) и последнего типа (1, 2, ..., /), но обработка результатов эксперимен­ тов для получения оценок вероятностных характеристик осуществляется раздельно для каждой точки, а следова­ тельно, иеоптимальным образом и без оптимальных зна­ чений JVI, NZ, ..., Ni и N i. 2,.... i-

В рассматриваемой постановке задачи значительно больше возможных типов экспериментов. Если при этом еще осуществляется оптимальная обработка результатов с выбором оптимальных чисел экспериментов различно­ го типа, то от такой организации статистических испы­ таний можно ожидать существенный выигрыш.

Перейдем к вопросу оптимальной обработки резуль­

144

В экспериментах любого типа, за исключением по­ следнего, находятся независимые от эксперимента к экс­ перименту реализации только части компонент вектора R'. Ввиду независимости экспериментов данного типа по

ним могут быть найдены статистические значения векто­ ра вероятностных характеристик в соответствующих точ­ ках простым усреднением полученных реализаций ком­ понент вектора R'.

Хотя при экспериментах любого типа, кроме послед­ него, будут найдены статистические значения только лишь части из векторов Хи составляющих вектор L, бу­

дем формально принимать для простоты записи, что на­ ходятся статистические значения всех компонент вектора. L. Поскольку, как будет показано далее, для определе­ ния оценок ,Хю, Аао, ..., Хю необходимо знать весовые ма­ трицы статистических значений вектора L, обратные кор­

реляционным матрицам, то соответственно будем прини­ мать, что дисперсии тех компонент вектора L, которые

не найдены в экспериментах данного типа, имеют бес&шь нечно большие по величине значения. При этом соответ­ ствующие весовые матрицы будут иметь часть нулевых блоков (см. § 4.2).

там какого типа найдено данное статистическое значение вектора L.

Очевидно, что математические ожидания статистиче­ ских значений вектора L равны самому вектору L.

Обозначим оценку вектора L через Ь0:

^•10

(4.8)

h o

Оценку Lo -будем определять через -статистические значения L *, Li>h*, ..., L1>2..../*. Значение Lo найдем

в классе линейных но отношению к этим -векторам не­ смещенных -оценок, оптимальных в смысле минимума дисперсий его компонент. В соответствии с -приложени­ ем I оценка будет иметь следующий вид:

В данных формулах произведение числа N и матри­ цы Q е аналогичными индексами представляет собой

весовую матрицу, обратную корреляционной матрице со­ ответствующего статистического значения вектора L.

Корреляционная матрица Ко вектора оценок L0 опре­ деляется через матрицу Р по соотношению

Матрицу Q с индексом, указывающим тип экспери­

мента, будем называть весовой матрицей одного экспе­ римента данного типа.

Матрица Q представляет собой матрицу, обратную корреляционной матрице -вектора R' в экспериментах данного типа. Способ получения матриц Q и их свойства

будут рассмотрены в § 4.2. Сейчас укажем только на то, что блоки матрицы Q для любого типа экспериментов будут выражаться -через блоки Кш матрицы К:

146

Блоки Кіи представляют собой 'корреляционные ма­ трицы векторов Ri и Rk при условии подачи одних и тех же случайных воздействий на модели системы в і-й и k-й точках:

Для определения оценки L0 необходимо знать весо­ вые матрицы Q, которые выражаются через блоки Кін матрицы К. Точные значения блоков Кш 'нам неизвестны,

однако аналогично тому, как это делалось в гл. 1, можно показать, что при достаточно большом числе экспери­ ментов значения блоков Кіл м о ж н о заменить их стати­ стическими значениями Кіь* без существенной потери в точности оценки Ь0.

Таким образом, вместо оценки Lo при практическом использовании метода можно рассматривать оценку

Соответствующие U 0 векторы оценок вероятностных характеристик в I точках будем обозначать через ЯТо, Я'го, • • X'ю.

V І О

Поскольку оценки L0 -и L'o при достаточно большом

числе экспериментов близки по точности, то точность оценки L'o можно характеризовать матрицей Ко-

Оценка Lo(L'o) является оптимальной в смысле ми­

нимума дисперсий ее компонент при заданных числах

оптимальными в соответствии с тем или иным критери­ ем оптимальности.

В принципе возможны различные критерии оптималь­ ности, но здесь мы остановимся на двух, по-видимому наиболее пригодных для исследователя.

Довольно часто в результате статистических испыта­ ний желательно получить оценку Lo(L'0), удовлетворяю­ щую по точности определенным условиям, при мини­ мальном общем количестве N экспериментов [36]. В ка­

честве условий по точности оценки можно принять, на­ пример, ограничение по величинам дисперсий компонент вектора L'0. Выигрыш от применения предлагаемого

метода определения оценок вероятностных характери­ стик по сравнению с обычным методом в этом случае будем , оценивать но отношению необходимых количеств экспериментов.

Иногда может возникнуть задача наиболее точного в каком-либо смысле определения оценки L'0 при огра­ ниченном общем числе экспериментов N ^ N 0. За крите­ рий точности оценки L'0 может быть взята, например, с весами сумма дисперсий компонент вектора L'Q, а вы­

игрыш от применения метода можно оценивать по умень­ шению этой суммы.

При выборе оптимальных чисел экспериментов следу­ ет учитывать, что количество экспериментов должно быть достаточным для определения статистических зна­ чений Кіи* блоков матрицы К, входящих в статистиче­

ские значения Q* весовых матриц !Q.

Выбор оптимальных значений чисел экспериментов является довольно сложной задачей, так как элементы корреляционной матрицы Ко представляют собой дроб­ но-рациональные функции величин Nit ЛД&,...,Л/1,2....../.

В общем случае задача эта эквивалентна задаче не­ линейного программирования. Кроме того, поскольку значения Nu Nit h, . ■., Nit 2 должны определяться в конечном счете через статистические значения Кш*,

которые находятся по тем же экспериментам, то реше­

в общем случае без каких-либо упрощений и приближе­ ний представляется весьма затруднительным,

148

В силу изложенного, в последующих параграфах рас­ сматриваются частные случаи решения поставленной за­ дачи, а также подоптимальные и приближенные методы ее решения.

Частность, подоптимальность и приближения относят­ ся не к исследуемой модели системы, а к построению метода определения вероятностных характеристик, кото­ рый без каких-либо ограничений может быть применен к любой сколь угодно сложной модели системы.

При этом для оценки эффективности и целесообраз­ ности предлагаемого метода проводится сравнение его с обычным методом по объему дополнительных вычисле­ ний, приходящихся на каждый эксперимент и по выиг­ рышу в общем числе экспериментов или выигрышу в точности в зависимости от решаемой задачи. Рассмат­ риваемые ниже задачи не охватывают все возможные случаи, которые могут возникнуть при определении за­ висимости вероятностных характеристик от параметров систем. Однако они убедительно доказывают целесооб­ разность использования предлагаемого метода, заклю­ чающегося в оптимальной организации статистических испытаний с последующей оптимальной обработкой их результатов.

4.2. Весовые матрицы Q и их свойство

Найдем весовую матрицу Q одного эксперимента определенного типа. Для упрощения записи индексы при весовой матрице и соответствующих ей матрицах будем опускать. Пусть в рассматриваемом типе экспериментов находятся вероятностные характеристики в т из / задан­

ных точках. Можно считать, что это эквивалентно опре­ делению вероятностных характеристик во всех I точках, но для точек, кроме т заданных, дисперсии вероятност­

ных характеристик являются бесконечно большими. По­ этому весовую матрицу Q можно представить в виде

149