книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

.лизуемые оценки Лю' и W будут иметь вид

Будем считать, что Ки* и К2 2 *, входящие в (4.54),

вычисляются по экспериментам типа (1) и (2), а г*, вхо­ дящее в (4.54) и (4.57), — по экспериментам типа (1, 2).

Организация экспериментов и обработка их резуль­ татов в данном случае могут быть следующими.

Сначала проводится по Мо/2 экспериментов типа (1)

и (2), т. е. эксперименты в каждой из двух точек с неза­ висимыми последовательностями воздействий Wt и W2 соответственно. Затем с последовательностью Wі>2 про­

водятся эксперименты типа (1, 2) в первой и второй точ­ ках, ■§ ходе которых все время вычисляется статистич^-

160

по экспериментам типа (1,2). Статистический коэффициент корреляции г* находится через статистические корреля­

ционные моменты, определяемые по экспериментам типа (1,2). Поэтому, если бы число экспериментов типа (1,2) не определялось через статистический коэффициент корре­

г*) условное математическое ожидание величины (Яю'— —Лі)2, т. е. ее математическое ожидание при определен­

(4.62)

то с учетом сказанного выше относительно независимо­ сти входящих в данное выражение величин, а также со­ отношений

162

N i,2* не задано, а определяется через случайное значе­ ние самого же г* по формуле (4.57). Поэтому дальше

для определения е был применен метод статистических испытаний.

При статистических испытаниях вырабатывались по­

что значение е является небольшим. Таким образом, за­ мена дисперсий и коэффициента корреляции их стати­ стическими значениями в формулах для оценок вполне

допустима.

В последующих параграфах данной главы мы также будем предполагать возможность замены корреляцион­ ных моментов и дисперсий их статистическими значения­ ми, считая, что приведенное доказательство для частно­ го случая и общее доказательство для метода коррели­ рованных процессов (гл. 1) дают на это достаточные

основания.

В заключение данного параграфа покажем на про­ стейшем примере, как зависит эффективность предла­

164

гаемого метода от взаимного расположения взятых то­ чек (значений параметров), для которых находятся искомые вероятностные характеристики. Пусть искомая вероятностная характеристика модели системы пред­ ставляет собой дисперсию установившегося процесса на выходе модели системы с передаточной функцией К(р) = =>k/(l +рТ) при воздействии на нее стационарного бело­

го шума с нулевым математическим ожиданием. В дан­ ном случае, вообще говоря, дисперсия находится элемен­ тарно аналитически. Однако этот пример мы приводим не для определения дисперсии, а для указанных выше целей, поскольку для него весьма просто найти выиг­ рыш т)о от применяемого метода в зависимости от рас­ положения точек. По этим же причинам будем предпо­ лагать, что дисперсия находится в результате обработки установившихся значений процессов по множеству экс­ периментов, а не по одному достаточно длительному экс­ перименту, как это возможно в рассматриваемом слу­ чае.

Величина R в данном примере представляет собой

значений ki и k2, т.е. выигрыш не зависит от того, какие значения параметра k рассматриваются.

Пусть для определенности значения параметров Уі и

Отсюда, например, видно, что если даже Т2 в два раза больше Ті, то выигрыш т)о= 1,5.

165

экспериментов различного типа, но заданном общем чис­ ле экспериментов N, только лишь за счет оптимальной

обработки результатов экспериментов можно получить выигрыш в точности или в крайнем случае ту же точ­ ность, что и при обычном определении вероятностных характеристик, когда проводятся эксперименты либо типа (і), либо типа (1, 2 ,...,/). Отсюда вытекает, что,

задаваясь желаемой точностью определения вероятност­ ных характеристик и более или менее произвольным пе­ рераспределением чисел N i , Ni'h, ■■., N i p ......i различных

типов экспериментов, можно получить выигрыш в об­ щем числе N экспериментов или в крайнем случае не

проигрыш. Этот выигрыш будет тем значительнее, чем ближе будет перераспределение указанных чисел к опти­ мальному.

Сказанное, а также результаты, полученные при оптимальном решении задачи в случае двух точек, позво­ ляют построить подоптимальное решение для случая трех точек.

Пусть требуемая точность определения оценок Лоі, ког и коз вероятностной характеристики к в трех точках за­ дается необходимым числом экспериментов Мй в каждой

из трех точек при обычной организации экспериментов и независимом определении вероятностных характери­ стик.

Из анализа случая двух точек вытекает, что при этих предположениях рационально числа экспериментов типа (1), (2) и (3) брать одинаковыми, независимыми от ко­ эффициентов корреляции и равными числу М0, поделен­

Так же как и в случае двух точек, числа эксперимен­ тов типа (1,2), (1,3) и (2,3) выберем такими, чтобы при равенстве одного из коэффициентов корреляции единице соответствующее число экспериментов было равно нулю.

166

где а — некоторая величина, значение которой выбирает­

ся исходя из требуемой точности получения оценок Мо, Л20 и ^зо.

Число экспериментов типа (1, 2, 3) возьмем равным

Общее число экспериментов N будет

N = N1+ Na + Nl + 2(Nl, t + N1' l + Nt, l) =

Матрицы Qi и Qi,h в соответствии с § 4.2 имеют вид:

167

Оценка L0 вектора L значений вероятностных харак-

:еристик в трех точках в соответствии с (4.9) будет

L0 = P ;' {Q1L*1+ Q 2L*2 + Q3L*3 +

Дисперсии оценок Кі0 (і = 1, 2, 3), равные диагональ­ ным элементам матрицы Ко, будут

(1 +2<X)2- 4 « 3

д . = 4 ’ 3

Л40

168

Так как в соответствии с требованиями по точности получения оценок

то величину а следует выбирать минимальной, но при выполнении условий, вытекающих из (4.76) и (4.78),

Если учесть, что в соответствии с постановкой задачи требование по точности получения оценок является ориентировочным, то можно найти значение а, напри­ мер, из уравнения

Легко показать, что при всех возможных значениях коэффициентов корреляции гш и величинах а, получае­

мых из уравнения (4.80), а не из системы неравенств (4.79), точность оценок по дисперсии будет отличаться от необходимой незначительно.

169