книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

Следовательно,

другую формулу, которая будет необходима нам в даль­

нейшем:

т

В настоящем параграфе будем рассматривать такую организацию статистических испытаний упрощенной си­ стемы для определения оценки бло, при которой будет обеспечена заданная величина D0 дисперсии D значения

6Яоо этой оценки.

Исследуем сначала случай т = 1, т. е. когда опреде­

ляется влияние случайного разброса одного параметра, имеющего среднее квадратическое отклонение а. Для

вая тем самым, что эксперименты проводятся при откло­ нении параметра от номинального значения соответст­ венно на +оо, 0 и —ао- Все возможные типы экспери­ ментов разобьем на три группы:

I группа — эксперименты типа ( + , —, 0);

II группа — эксперименты типа ( + , 0), (—, 0),

( + . —);

III группа — эксперименты типа ( + ), (0), (—).

230

Эксперименты типа ( + , —, 0) проводятся таким об­ разом, что при отклонении параметров на -ТсГо, —0о_и 0

используется одна и та же последовательность воздейст­

действий и т. д. Эксперименты различных типов прово­ дятся с независимыми последовательностями воздейст­

щим отличное от нуля значение 51. Таким разложением будет разложение до второго порядка включительно, т. е.

где С0, Ci, С2— случайные величины, зависящие от слу­

/'=1

Здесь C0j, Cij, C2j — значения С0, Си С2 в /-м эксперимен­ те, а N' — число экспериментов.

231

При экспериментах первой группы для определения р*( + сГо), ц*(0) и р*(—(То) используется одна и та же последовательность воздействий, т. е. значения C0j, Cij и C2j во всех формулах (5.88) одинаковые. Обозначая число экспериментов N' для первой группы в каждой

точке (при каждом отклонении парамера) через АД_о, из (5.85) и (5.88) получим

отношения (5.91) найдем необходимое значение общего

Можно показать, что из экспериментов второй груп­ пы имеет смысл рассматривать только эксперименты ти­ па ( + , 0) и (—, 0), исключив эксперименты типа ( + , —) .

232

В силу независимости экспериментов различного ти­ па C'ij, C'zj не зависят от С"і„ С"г;-

Из (5.85)' и (5.93) получим значение дисперсии Dz

оценки бЯоо для второй группы экспериментов:

где Ки, Kzz и /(i2— дисперсии и корреляционный момент случайных величин Сі и С2.

Общее число экспериментов для второй группы равно

Полагая дисперсию Dz равной требуемому значению Do и выбирая числа N+0 и УѴ_0 оптимальными в смысле

минимума общего числа экспериментов, получаем

=+ 2/б12а0 -(- К22?1 +

личину порядка о2о.

В крайнем случае, когда Л'ц= 0, корреляционный мо­ мент тоже равен нулю и

JVI/JV2=1,5.

Таким образом, как правило, АД<СЛД и только в ис­ ключительном случае N I > N 2, но не более чем в полтора

раза. Следовательно, если не проверять при проведении экспериментов величину отношения (5.97), то безусловно целесообразно использовать первую группу эксперимен­

233

тов. При этом практически всегда получим выигрыш в числе экспериментов, а возможный проигрыш не будет

где C'ij, С"и, С"'іj — независимые между собой значения Со, Сі и С2 в экспериментах соответствующего типа.

Из (5.85) и (5.99) получим значение дисперсии £>з

Полагая Dz равной требуемому значению D0 и выби­ рая числа АП, А/_ и N0 оптимальными в смысле миниму­

ма общего числа экспериментов, найдем, что

(5.102)

234

Следовательно, при КооФО отношение Ni/N3 представ­

рассмотренные исключительные случаи, то целесообраз­ но использовать только первую группу экспериментов. Данный вывод получен из рассмотрения случая одного параметра (т= 1).

Перейдем к общему случаю. Будем предполагать, что для определения aqQпо формуле (5.79) значения \L*q(oqo),

ц*(0) и p%(—<т9о) находятся с использованием одной и той же последовательности воздействий. Целесообраз­ ность такого предположения была показана выше для случая т= 1.

Рассмотрим два способа определения ачо. Первый способ, когда все aqо определяются с использованием

одной и той же последовательности воздействий, и вто­ рой способ, когда для каждого ачо используется незави­

симая последовательность воздействий. Выбор способа будем осуществлять исходя из того, какой из них дает требуемую точность при меньшем числе экспериментов.

Рассмотрим первый способ. Обозначим через S +q, S-q и So случайные величины, математические ожидания

которых равны рЦс^о), цд(—адо) и ц(0), т. е.

**(0) = M [ S 0]. I

235

где S+gj, S —qj и S 0j — значения S+g, S_g и So в /-м экспе­

рименте.

Для каждого / все случайные величины S+gj, S - gj и

Soj являются между собой зависимыми, так как получе­ ны при одной и той же совокупности воздействий.

Из (5.83) и (5.109) получим, что

Дисперсия біоо при первом способе будет

тт

(5112)

236

общего числа экспериментов А\:

тт

Перейдем ко второму способу. Обозначим через Nq

число экспериментов для определения каждой из величин цМсТдо), p*g(—ergo) и р*(0), входящих в ад0. Отметим,

что при втором способе значение ц*(0) для получения каждого ctqo находится независимо по соответствующему числу Nq экспериментов.

Общее число экспериментов для получения всех aqo, т. е. для вычисления оценки 6Ха, будет

< 7 = 1

Значения ,n%(üqo), ц*д(—Одо), ц*(0) для определения aqо будут находиться по формулам

зывает на то, что это значение было получено при опре­ делении aqо.

237

являются между собой независимыми. Поэтому диспер­ сия 6Лоо при втором способе равна

т

D-=S^v,- (5Л19)

9=1

Числа Nq выбираем оптимальными в смысле минимума общего числа экспериментов N2 при условии, что дис­ персия D2 равна заданной Do-

Нетрудно получить, что

если б>1, то лучше применять второй способ. Перейдем к вопросам практической реализации рас­

смотренного в настоящем параграфе метода получения оценок aq0. Для того чтобы выяснить, каким способом лучше определить aq0, необходимо сначала произвести

небольшое число экспериментов, соответствующих пер­ вому способу. Организация экспериментов при первом способе может быть принята следующей. С одной и той же реализацией воздействий проводятся эксперименты: при номинальных значениях параметров, при отклонении только первого параметра на -f стю, при отклонении толь­ ко первого параметра на —аю, при отклонении только

238

второго параметра па + а 2о, при отклонении только вто­ рого параметра па —а2о и т. д. Затем реализация воз­ действий изменяется и снова проводятся эксперименты в указанном порядке.

После проведения небольшого числа экспериментов (число экспериментов N при каждом отклонении пара­

метров порядка 10—20) вычисляются статистические зна­

2 у к*

Ѵ<7=1

Если окажется, что ö*=^l, то определение ачо необ­

ходимо осуществлять первым способом, т. е. продолжать ранее начатые эксперименты. Эксперименты следует за­ кончить как только фактическое число их N станет удов­

летворять условию

2 2 к*

момент времени экспериментам.

Если 6*>1, то для определения ас,о рационально при­

менить второй способ. При этом можно принять, напри­ мер, следующий порядок проведения экспериментов. С одной и той же реализацией воздействий проводятся эксперименты: при номинальных значениях параметров,

Затем реализации воздействий изменяются и проводятся эксперименты: при номинальных значениях параметров, при отклонении только второго параметра на + 020 и

при отклонении только второго параметра на —ого. Да­ лее реализации воздействий снова изменяются и прово­ дятся эксперименты: при номинальных значениях пара­

239