книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

Пример 2. Пусть в исходной системе осуществляется усреднение с весовой функцией р{т)>0. Тогда импульсная переходная функция

системы будет

t 1

W (t , т) = р (т) J P M dll

.о

В качестве упрощенней примем систему, которая производит про­ стейшее усреднение. Импульсная переходная функция такой упрощен­ ной системы равна

Wy (t, т) = — .

Воздействия на исходную и упрощенную системы — нестационар­ ный нормальный белый шум с корреляционной функцией

K ( t u /s)=C(<l)c(/2)Ö(<l-M.

где 6 (ti—t2)—ö-функция; c( t ) — функция, определяющая интенсив­ ность белого шума (c(t)>0).

Искомые вероятностные характеристики исходной и упрощенной систем — дисперсии значений У и Z соответствующих процессов. В данном случае коэффициент корреляции rYz будет определяться

а выигрыш г)о — по формуле

1

Для оценки значения выигрыша воспользуемся неравенством, приведенным в [5]:

пп

0 < / я 1< х і < Л І 1, 0 < т2 Рі A!s.

В соответствии с этим неравенством получаем, что

r h > 4(аІ/2+ а - > /у г,

50

О, X > а.

Из данной таблицы следует, что даже при значительном разли­

исходной и упрощенной систем при применении метода коррелирован­ ных процессов могут различаться по физическому смыслу. Представ­ ляет определенный интерес оценить выигрыш для подобных случаев. Отметим, что пример 3 относится именно к такому случаю, гак как в нем вероятностные характеристики равны математическим ожида­ ниям различных степеней случайной величины.

В настоящем примере вероятностная характеристика исходной системы равна вероятности р того, что случайная величина X будет находиться в определенных пределах, а для упрощенной системы —

Для вычисления выигрыша предположим, что X подчиняется нормальному закону распределения и имеет нулевое математическое

52

ожидание. Нетрудно показать, что тогда

Рис. 1.10. Схема исследуемой системы.

Полезное воздействие U(t) является линейной функцией времени со случайной скоростью изменения, имеющей равновероятный закон распределения, т. е.

53

ному закону распределения, в различные моменты времени незави­ симы, имеют нулевые математические ожидания и одинаковые сред­ ние квадратические отклонения Gv-

Таким образом, измеренные значения полезного воздействия

Линейный нестационарный фильтр осуществляет определение скорости U полезного воздействия по значениям W(h) методом наи­

меньших квадратов. Найденное значение скорости U(th) на выходе такого фильтра будет

k

б £ iW{tt)

Линейный экстраполятор непрерывного действия на основании значе­

Из анализа воздействий и системы следует, что математическое ожидание У равно нулю. Поэтому искомая дисперсия X=D у величи-

54

Ны У будет определяться соотношениями

Л = Dy = M[R],

(1.151)

Я = У2.

Приведенная система является нелинейной и нестационарной. Она включает в себя как элементы непрерывного, так и дискретного дей­ ствия. При таких условиях единственно целесообразным методом исследования является метод статистических испытаний с примене­ нием по мере возможности аналитических методов.

В связи с этим рассмотрим применение метода коррелированных процессов.

Упрощенную систему построим из элементарных систем, имею­ щих одинаковую структуру, но различные параметры. При выборе структуры элементарной системы будем руководствоваться следую­ щими соображениями. Ошибка системы У зависит как от полезного, так и от вреднего воздействия. Если не учитывать вредного воздей­ ствия и пренебречь нелинейностью системы, то ошибка будет про­

порциональна скорости U. Дискретный нестационарный фильтр про­ изводит сглаживание вредного воздействия, и, по-видимому, это сглаживание является одним из существенных преобразований дан­ ного воздействия в системе. Исходя из этих общих сведений об исходной системе, элементарные системы, входящие в упрощенную, будем строить таким образом, что их ошибки будут равны

где Xy(t'o) — часть воздействия X(t) на систему, обусловленная вредным воздействием V(/); с4— параметр элементарной системы.

Учитывая линейность уравнений (1.144), (1.145) и (1.146) исход­ ной системы и свойство нестационарного дискретного фильтра, эти уравнения можно заменить на следующие эквивалентные уравнения:

в упрощенную систему, вычисляется в исходной системе. Таким обра­ зом, для моделирования упрощенной системы, по существу, не тре­ буется дополнительных расчетов. Следовательно, построенная ука­ занным способом упрощенная система, состоящая из ряда элемен­

55

Поскольку для определения статистических значений вероятност­ ных характеристик упрощенной системы практически не требуется дополнительных расчетов, то было взято несколько значений пара­ метра Сі упрощенной системы от с,=0,2Г до с{=107’.

Рис. 1.11. Зависимость выигрыша т]0 от отношения с/Т.

Было проведено N=100 экспериментов с исходной и упрощенной системами. По результатам этих экспериментов определено статисти­ ческое значение квадрата коэффициента корреляции rRS в зависимо­ сти от коэффициента с при заданном значении Т. Значение rRS в со­ ответствии с (1.37) позволяет найти выигрыш г|0 от применения ме­ тода коррелированных процессов. Полученная зависимость выигрыша г)о от коэффициента с представлена на рис. 1.11. Из этого рисунка

56

видно, что в довольно широких пределах изменения коэффициента с выигрыш г)о является существенным.

Оценка Лоі вероятностной характеристики системы вычислялась для двух упрощенных систем. В первом случае упрощенная система состояла из одной элементарной (т—1), во втором — из двух ( т = —2). При т = 1 параметр с, упрощенной системы принимался равным

роятностных характеристик исходной и упрощенной систем, выигрыш в точности или в числе экспериментов является большим.

Так при т = 2 выигрыш г)0=9,2, т. е. при 100 проведенных экспе­ риментах точность оценки А<и соответствует примерно 920 экспери­ ментам. В рассматриваемом примере выигрыш г|0 практически равен выигрышу в стоимости исследования, так как упрощенная система, по существу, является составной частью исходной.

1.9.О возможных путях развития метода

Взаключение настоящей главы рассмотрим возмож­ ные пути развития изложенного выше метода опреде­

ления вероятностных характеристик, использующего совместно результаты статистических испытаний и ана­ литического упрощенного исследования.

Полученная оценка была оптимальной в классе ли­ нейных оценок. Очевидно, что возможности этого метода расширились бы, а его эффективность возросла, если рассмотреть и нелинейные оценки. Однако здесь не сле­ дует увлекаться, так как более сложные нелинейные оценки будут требовать для их реализации определения из экспериментов более сложных взаимных вероятност­ ных характеристик исходной и упрощенной систем, чем корреляционная матрица KRS*, которая требовалась для

изложенного метода. Так, например, могут понадобиться статистические значения моментов более высокого по­ рядка, чем второго. Точность лее статистических значе­ ний моментов ухудшается с ростом порядка момента. Поэтому оптимальная нелинейная оценка после замены

57

в ней точных значений необходимых вероятностных характеристик на статистические может настолько ухуд­ шиться по точности, что практическое использование ее станет нецелесообразным.

В качестве первого шага на пути получения нелиней­ ных оценок может быть, например, построение нелиней­ ной оценки, зависящей линейно от К* и полинома второй

степени от компонент вектора ц*—р.

Что может дать нелинейная оценка? Во-первых, бу­ дучи более общей, чем линейная, и включая в себя в частном случае линейную, нелинейная оценка в прин­ ципе может быть более точной. Во-вторых, для нелиней­ ных оценок, по-видимому, в меньшей степени будет критичным не совсем удачное построение упрощенной системы. Тем самым при получении одинаковой точ­ ности линейной и нелинейной оценок можно в послед­ нем случае облегчить построение упрощенной системы.

Другой возможный путь развития предложенного метода заключается в совершенствовании методики по­ строения упрощенных систем.

По-видимому, целесообразно для определенных клас­ сов исходных систем создать набор типовых элементар­ ных систем, из которых рационально строить упрощен­ ные системы, и создать более совершенную методику отбора этих элементарных систем в процессе статисти­ ческих испытаний.

Г л а в а 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МОДЕЛИ СИСТЕМЫ ПРИ ЧАСТИЧНОМ ПРИМЕНЕНИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АПРИОРНЫХ СВЕДЕНИЙ

2.1. Возможные пути частичного применения аналитических методов и использование априорных сведений

В предыдущей главе был рассмотрен один из спосо­ бов применения аналитических методов для оценки вероятностных характеристик модели системы, заклю­ чающийся в использовании результатов аналитических исследований не самой исходной системы (модели),

58

а некоторой упрощенной системы. В данной главе рас­ сматриваются возможные пути применения аналитиче­ ских методов непосредственно к исследованию исходной системы.

Будем предполагать, что вероятностные характери­ стики исходной системы не могут быть найдены чисто аналитическим путем. Поэтому по отношению к иссле­ дованию исходной системы можно говорить только лишь о частичном применении аналитических методов наряду с методом статистических испытаний.

Стремление хотя бы частично решить задачу опре­ деления вероятностных характеристик аналитическими методами проявляется практически при каждом иссле­ довании. Это объясняется преимуществами аналитиче­ ских методов, дающих более наглядные и общие резуль­ таты, чем метод статистических испытаний, и позволяю­ щих в ряде случаев существенно упростить задачу, исследуемую при статистических испытаниях.

Идея совместного использования аналитических ме­ тодов и метода статистических испытаний не является новой [16, 29]. Однако ввиду отсутствия соответствую­ щих обоснований совместно использование этих методов для исследования исходной системы обычно произво­ дится в значительно более узких пределах, чем это возможно. Кроме того, отсутствие представления о воз­ можном выигрыше хотя бы при частичном использова­ нии аналитических методов и необходимость применения в конечном счете метода статистических испытаний порой приводят исследователя к неправильному реше­ нию ограничиться только лишь этим методом с потерей всех преимуществ от совместного использования обоих методов.

Наиболее широкое развитие частичного использова­ ния аналитических методов заключается в их примене­ нии к части исследуемой системы. Обычно исходная система разбивается на ряд более простых подсистем. Это разбиение часто соответствует сложившемуся раз­ делению труда у группы исследователей, когда каждая из подгрупп занимается определенными элементами системы и физическими процессами. При этом каждая из подгрупп исследователей, глубже понимая и всесто­ ронне изучая процессы в части исследуемой систе­ мы, может значительно лучше найти возможные анали­ тические методы исследования.

59