книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

Все величины (в том числе и г*), входящие в (2.69),

зависят от числа УѴ*о, а оно в свою очередь зависит от г*. Данное обстоятельство приводит к некоторой труд­ ности решения задачи, которую можно преодолеть ана­ логичным образом, как это делается в гл. 4.

При проведении экспериментов во второй точке сна­ чала осуществляется некоторое небольшое число экспе­ риментов с той же последовательностью случайных воз­ действий, что и первые эксперименты в первой точке. Далее при последующих экспериментах такого же типа вычисляется статистическое значение коэффициента кор­ реляции после каждого эксперимента и находится число іѴ*0. Если фактически проведенное число эксперимен­ тов превысит вычисленное значение N *0, то эксперимен­

ты с последовательностью случайных воздействий, имев­ шей место в первой точке, прекращаются. Затем прово­ дится еще N *о экспериментов с независимой от экспери­

ментов ів первой точке последовательностью случайных воздействий.

Нами была рассмотрена задача оценки вероятностной характеристики во второй точке с использованием ре­ зультатов статистических испытаний в первой точке. Ана­ лиз выигрыша в числе экспериментов во второй точке показал, что он может быть весьма существенным. Та­ ким образом, привлечение априорных сведений в виде результатов статистических испытаний при других зна­ чениях совокупности параметров системы является целе­ сообразным особенно в тех случаях, когда каждый экс­ перимент (расчет с моделью системы) является трудо­ емким.

В ходе исследования и проектирования системы об­ стоятельства могут сложиться так, что потребуется по­ следовательное определение вероятностных характери­ стик не в двух, а в 'большем числе точек. В этом случае так же можно применить изложенный выше метод, при­ нимая каждый раз за первую точку действительно пер­ вую исследуемую точку, а за вторую — ту точку, для которой в данный момент ищется вероятностная харак­ теристика.

По-видимому, было бы интересно рассмотреть задачу оптимального последовательного определения вероятно­ стных характеристик, каждый раз.используя результаты статистических испытаний не только в одной точке, а во всех ранее исследованных точках. Сложность решения

80

такой задачи обусловлена тем, что число зависимых экс­ периментов в разных точках различно. Если у читателя появится интерес и желание решить подобную задачу, то начинать, наверное, следует с рассмотрения случая трех точек, как наиболее простого.

2.5. Использование сведений о степени нелинейности модели системы

Предположим, что воздействия на систему характе­ ризуются вектором X случайных величин, а искомая ве­ роятностная характеристика системы X представляет ма­ тематическое ожидание некоторой функции R от значе­

ний процессов. Так как процессы в системе зависят от вектора X, то для X можно написать формальное выра­

жение

Я = М{Д}=М(Ч'(А')],

где 'Е(Х) — некоторая функция, отображающая зависи­ мость вероятностной характеристики от значений про­ цессов и зависимость последних от вектора X.

Степенью нелинейности системы в строгом смысле будем называть степень q полинома от компонент век­ тора X, который точно описывает функцию Ч/ (Х) в пре­ делах реально возможных значений X.

На .практике часто пользуются понятием практиче­ ской степени нелинейности, под которой понимают сте­ пень полинома от компонент вектора X, обеспечивающе­

го аппроксимацию функции ^(У ) в пределах реально возможных значений X с точностью, достаточной для определения вероятностной характеристики X.

Из данного определения следует, что понятие о сте­ пени нелинейности применимо не ко всякой системе, так как функция (X) может и не аппроксимироваться по­ линомами.

Установить степень нелинейности системы можно раз­ личными путями. В некоторых случаях — непосредствен­ ным анализом уравнений системы и зависимости вероят­ ностной характеристики от значений процессов. Иногда практическую степень нелинейности системы удобно оце­ нивать на основе численного анализа зависимости реше­ ний уравнений от вектора X. С этой целью производится

многократное решение уравнений системы при различных конкретных воздействиях, лежащих в пределах реально возможных значений вектора X. Как будет указано ни­

же, такой анализ может проводиться непосредственно

В процессе определения вероятностной характеристики. Наконец, практическая степень нелинейности может быть оценена тіо степени нелинейности аналогичных систем, исследовавшихся ранее.

Метод определения вероятностных характеристик, ба­ зирующийся на знании степени нелинейности системы, изложен в [23, 29]. В [29] он назван методом неслучай­ ных воздействий.

Сущность этого метода заключается в следующем. В предположении, что система имеет степень нелинейно­ сти q, вероятностная характеристика системы выража­ ется через величины R при конкретных неслучайных ве­ личинах воздействий (вектора X). Соответствующие формулы приведены в [23, 29]. Вычисляя X для различ­ ных значений q в порядке их возрастания, останавлива­ ются на том q, для которого уточнение X лежит в преде­

лах допустимых ошибок его определения.

Подобный способ оценки практической степени нели­ нейности с одновременным вычислением X, вообще .гово­

лученного значения вероятностной характеристики к истинному. Однако на практике, как правило, этот способ приемлем.

Необходимо отметить, что формулы для оценки веро­ ятностной характеристики имеют приемлемый для вы­ числения вид при (/<д:5. Следовательно, использование сведений о нелинейности системы рационально, если эта степень не превышает 5.

Из изложенного видно, что использование сведений о степени нелинейности системы приводит к необходи­ мости определения вероятностных характеристик по зна­ чениям процессов в системе при конкретных величинах воздействий, в то время как при методе статистических испытаний рассматриваются процессы при случайных воздействиях.

Знание точной степени нелинейности системы позво­ ляет найти точное значение вероятностной характеристи­ ки системы при конечном числе экспериментов с неслу­ чайными воздействиями, в то время как при методе статистических испытаний для этих целей требуется бес­ конечно большое число экспериментов со случайными воздействиями. Или, другими словами, при числе экспе­ риментов, необходимом в первом случае, оценка веро-

82

яткостной характеристики при использовании знаний о точной степени нелинейности является точной, а при незнании — неточной.

Знание практической степени нелинейности позволяет получить выигрыш в точности или в числе экспериментов по сравнению с методом статистических испытаний, если степень нелинейности q и число компонент вектора X

являются небольшими (см. {29]).

Поскольку применение изложенного метода достаточ­ но хорошо освещено в технической литературе, то в данной книге соответствующие примеры с анализом эффективности использования метода приводить не бу­ дем.

2.6. Использование сведений о малом влиянии некоторых воздействий на вероятностные характеристики модели системы

Довольно часто в результате предварительных иссле­ дований, базирующихся на грубых оценках, удается по­ казать, что часть каких-либо воздействий на систему мало Елияет на ее вероятностные характеристики. В некоторых случаях подобные оценки -могут отсутство­ вать, однако исследователь в силу ряда соображений склонен сделать предположение о малом влиянии части воздействий. Кроме того, нередко исследователь не имеет ряда вероятностных характеристик указанных воздейст­ вий, необходимых для применения метода статистических испытаний.

В данном параграфе остановимся на следующих трех способах использования априорных сведений о малом влиянии некоторых воздействий при оценке вероятност­ ных характеристик системы методом статистических испытаний: пренебрежение этими воздействиями, учет их в первом приближении и оценка влияния. Рассмотрим каждый из перечисленных способов, определив условия его применения и оценив выигрыш от использования априорных сведений.

А . П р е н е б р е ж е н и е в о з д е й с тв и я м и

Если ;в результате предварительных -грубых оценок удается показать, что влияние части воздействий на ве­ роятностные характеристики системы мало и находится в пределах требуемой точности их получения, то данны-

ми воздействиями при 'применении метода статистических испытаний можно пренебречь.

Таким образом, в рассматриваемом случае использо­ вание априорных сведений позволяет .получить выигрыш в объеме моделирования за счет упрощения задачи, свя­ занного с неучетом части воздействий. Кроме того, воз­ можность пренебрежения частью воздействий избавляет исследователя от необходимости получения всех харак­ теристик указанных воздействий, которые нужно было бы иметь при их учете и применении метода статистиче­ ских испытаний. В данном случае можно ограничиться знанием только тех характеристик воздействий, которые нужны для грубой оценки влияния их на вероятностные характеристики.

Б. У ч е т в о з д е й с тв и й в п е р в о м п р и б л и ж е н и и

Если в результате предварительных оценок выяснено, что влияние части воздействий на вероятностные харак­ теристики системы мало, но не настолько, чтобы им можно .было пренебречь, то целесообразно учесть эти воздействия в .первом приближении.

Наиболее распространенный способ учета воздейст­ вий в первом приближении заключается в следующем. Случайная величина, математическое ожидание которой представляет искомую вероятностную характеристику си­ стемы, разлагается в ряд по значениям указанных воз­ действий. В этом 'разложении ограничиваются возможно меньшим числом членов. Количество членов 'разложения обычно выбирают, исходя из того, чтобы в выражении для вероятностной характеристики появились первые члены, учитывающие влияние указанных воздействий. При этом, как правило, по отношению к данным 'воздей­ ствиям удается применить аналитические методы, что, в свою очередь, приводит к повышению точности оценки вероятностной характеристики. Следовательно, в рассма­ триваемом случае использование априорных сведений о малом влиянии части воздействий позволяет упростить исследуемую задачу за счет применения разложения и ограничения в разложении минимальным числом членов, а также повысить точность оценки за счет частичного использования аналитических методов. Кроме того, исследователь может ограничиться знанием только тех характеристик указанных воздействий, которые необхо­ димы п р и применении

84

В. Оценка влияния воздействий

Под оценкой влияния воздействий на вероятностную характеристику системы Я при наличии априорных сведе­ ний о малом влиянии этих воздействий будем понимать определение изменения 6Я вероятностной характеристики за 'счет указанных воздействий.

Оценка влияния воздействий на вероятностную харак­ теристику системы с нашей точки зрения является наи­ более естественным и рациональным способом использо­ вания априорных сведений о малом влиянии воздейст­ вий. Естественность этого способа обусловлена процес­ сом познания. Действительно, сначала исследователь стремится учесть только основные факторы, отбрасывая все второстепенное, менее существенное, с тем чтобы изучить и понять основу явления или процесса. И только после этого он приступает к учету других факторов, к оценке их влияния.

Довольно часто исследователь не имеет информации о малом влиянии каких-либо воздействий, однако опыт и интуиция подсказывают ему, что, возможно, влияние некоторых из воздействий невелико, В этом случае оцен­ ка влияния е предположением о наличии такой инфор­ мации позволяет найти те характеристики воздействий, при которых влияние их действительно мало. Тем самым проверяется правильность интуитивных соображений о наличии информации о малом влиянии.

Оценку влияния каких-либо воздействий на вероятно­ стную характеристику системы при наличии информации о малом влиянии можно производить, исследуя некото­ рую упрощенную систему, учитывающую основные ха­ рактерные особенности исходной системы, а также в первом приближении указанные воздействия. При этом появляется возможность частичного или даже полного применения аналитических методов, а следовательно, по­ вышения точности оценки.

Необходимо отметить, что в большинстве случаев при оценке влияния нескольких, особенно независимых, воз­ действий применйм принцип суперпозиции. Следователь­ но, влияние на вероятностную характеристику несколь­ ких воздействий можно определить как сумму влияний отдельно каждого из воздействий. Данное обстоятельст­ во также может привести к упрощению исследуемой задачи и к более широкому применению аналитических методов.

85

Примером 'применения данного способа может слу­ жить оценка влияния случайного разброса параметров на вероятностные характеристики системы, изложенная в гл. 5. В этой главе, исходя из анализа особенностей рассматриваемой задачи, предлагаются три метода ее решения, которые, в принципе, могут быть е некоторыми видоизменениями использованы и в других случаях.

2.7. Использование сведений о памяти модели системы

Пусть искомая вероятностная характеристика систе­ мы определяется через значения процессов, соответству­ ющих моментам времени ti. Момент времени / = 0 при­

мем за качало функционирования системы. В принципе, указанные значения процессов, а следовательно, и вероят­ ностная характеристика зависят от начального состояния системы и от всех значений воздействий, приложенных к системе в интервале времени от 0 до іі. Однако во многих случаях можно указать такой интервал Т, что

вероятностная характеристика не будет практически за­ висеть от значений воздействий, соответствующих момен­ там времени /, где

Минимальное значение Т, при котором это выполня­

ется, будем называть памятью системы и обозначать че­

Если не имеется никаких сведений о памяти системы, то необходимо при применении метода статистических испытаний рассматривать функционирование системы в каждом эксперименте на интервале времени

Если же память системы Т0 известна, то можно ограни­

читься только интервалом

Т2 = max ti — [min — 7"0] — max t{ — min tt -f- T 0. (2.75)

Всилу (2.73)

T2< T l.

Таким образом, знание памяти системы Т0 позволяет со­

кратить длительность каждого эксперимента, и соответ-

86

ствемно уменьшить общий объем моделирования для определения вероятностной характеристики системы.

Выигрыш г] в объеме моделирования за счет этого составит

max tt

ІІ

Необходимо отметить, что в ряде случаев за счет зна­ ния памяти системы помимо указанного выигрыша мож­ но получить выигрыш и в объеме моделируемой системы, который в конечном счете приведет к выигрышу в объ­ еме моделирования. Действительно, в некоторых, особен­ но в сложных, системах ее структура, состав и описание могут изменяться со временем. Следовательно, если не знать память системы, то потребуется моделировать всю систему, а если память известна, то можно ограничить­ ся только структурой системы на интервале времени

Остановимся кратко на возможном способе оценки памяти системы. Из введенного понятия памяти системы следует, что вероятностная характеристика практически не зависит от значений воздействий, соответствующих моментам t, .где t удовлетворяет условию (2.72). .Все

воздействия в интервале времени (2.72) приводят к не­ которому .состоянию системы на момент времени

Таким образом, память системы можно выявить, за­ даваясь ориентировочными характеристиками состояния системы на некоторый момент времени t0 и оценивая ка­

ким-либо способом степень влияния этого состояния на значения процессов, по которым находится искомая ве­ роятностная характеристика системы. Если влияние окажется несущественным, то Т можно определить из

(2.78). Увеличивая далее /о, можно в конце концов найти минимальное значение Т, которое и будет представлять память То системы. Определение памяти системы можно

производить ориентировочно, а целесообразность даль­ нейшего уточнения ее — определять по возможному уве­ личению выигрыша, вычисленного по формуле (2.76).

87

2.8. Примеры

А . П р и м е н е н и е м е то д а у с л о в н ы х в е р о я т н о с тн ы х х а р а к т е р и с ти к

Пример 1. Проведем анализ точности линейных стационарных систем со случайными параметрами.

Пусть необходимо найти дисперсию D установившегося случай­ ного процесса в линейной стационарной системе со случайными па­ раметрами.

Если случайные отклонения параметров от их математических ожиданий невелики, то для решения данной задачи можно восполь­ зоваться методами, изложенными в гл. 5. В рассматриваемом нами случае будем предполагать, что случайные отклонения параметров являются большими, поэтому применение этих методов недопустимо.

При воздействии на систему стационарных и некоторых видов нестационарных воздействий аналитическими методами, изложенны­ ми, например, в [29], может быть найдено условное значение искомой дисперсии, соответствующее конкретным значениям параметров си­ стемы. Обозначим его через D(а), где а — вектор значений случай­ ных параметров. Так как для каждого значения а может быть вы­ числено D(a), то оценку D0 дисперсии D с учетом случайности па­ раметров можно найти, применяя по отношению к случайным пара­

Точность оценки D0 характеризуется ее дисперсией Ко, которую можно приближенно определить с помощью реализаций D(a.j) по формуле

(2.80)

/= 1

Используя приближенное выражение для К о , можно в процессе экс­ периментов найти число экспериментов, при котором будет обеспече­ на требуемая точность оценки 0 Э-

В чем же заключается выигрыш от частичного применения ана­ литических методов для данного примера?

Во-первых, как следует из § 2.2, при одном и том же числе экс­ периментов точность оценки выше, чем точность статистического зна­ чения, найденного с использованием только метода статистических испытаний, или при одной и той же точности для получения оценки требуется меньшее число экспериментов.

Во-вторых, при получении оценки в каждом эксперименте необ­ ходимо только вычисление D(o.j) при случайном значении щ. В то же время, если находить статистическое значение дисперсии, то в каждом эксперименте требуется интегрирование системы уравнений при случайных воздействиях и случайных параметрах. Совершенно очевидно, что объем расчетов или моделирования во втором случае будет значительно больше, чем в первом.

88

Пример 2. Рассмотрим эффективность применения метода услов­ ных вероятностных характеристик.

Пусть искомая вероятностная характеристика представляет собой вероятность р некоторого исхода а. В процессе функционирования система может находиться в одном из п независимых между собой состояний, причем в каждом состоянии исход а может быть или не быть.

Если вероятность р находить только лишь с использованием ме­ тода статистических испытаний, то дисперсия К статистического зна­ чения р* вероятности по N экспериментам будет

K = p { l —p)/N.

Для получения вероятности с требуемой точностью, т. е. с за­ данной дисперсией D, необходимо, чтобы число экспериментов было равно

Обозначим через А0 стоимость одного эксперимента при модели­ ровании по определению состояния, в котором находится система, а через Л< — стоимость моделирования процесса функционирования системы в і-м состоянии. Здесь под стоимостью эксперимента при мо­ делировании системы на вычислительной машине можно, например, понимать машинное время, затрачиваемое на решение соответствую­ щей задачи.

Математическое ожидание .4 стоимости определения статистиче­ ского значения вероятности при N экспериментах будет

Предположим, что применяя аналитический метод по отношению ко всем «воздействиям», определяющим состояние системы, удается аналитически вычислить значения вероятностей <?; различных состоя­ ний. Далее методом статистических испытаний найдем статистические значения р*% условных вероятностей pi того, что в і-м состоянии си­ стема будет иметь исход а. Тогда оценку ро вероятности р можно

определить по формуле

п

в различных состояниях различны. Тогда стоимость В получения оценки ро будет

п

М

89