книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик
.pdfВ меньшей степени распространенным является дру гой способ частичного применения аналитических мето дов, заключающийся в аналитическом вычислении условных значений вероятностных характеристик систе мы по части воздействий с последующими статистиче скими испытаниями по остальным воздействиям. Идеи такого частичного использования аналитических методов изложены, например, в [29].
Перечисленными двумя способами, по-видимому, не ограничиваются возможности частичного применения аналитических методов, однако, на наш взгляд, они являются довольно общими и наиболее часто встречаю щимися.
В настоящей главе показывается, что эти два спо соба частичного использования аналитических методов дают выигрыш в точности получаемых оценок вероятно стных характеристик или в объеме необходимых стати стических испытаний по сравнению с чистым методом статистических испытаний.
До начала статистических испытаний системы с целью определения ее вероятностных характеристик исследователь обычно располагает некоторой информа цией о модели системы, воздействиях на нее и проте кающих в ней процессах. Эта информация, полученная в ходе предыдущих исследований, может быть сахмого различного вида. Она может носить не только количест венный, но и качественный характер. Поэтому в даль нейшем данную информацию будем называть априор ными сведениями, подчеркивая тем самым неопределен ный вид, разнообразие ее, а так же то, что она получена до начала статистических испытаний.
Привлечение априорных сведений в процессе полу чения вероятностных характеристик модели системы с применением метода статистических испытаний позво ляет либо улучшить точность оценки, либо уменьшить число необходимых экспериментов, либо уменьшить объем расчетов (моделирования) для каждого экспе римента.
Ярким примером, показывающим целесообразность и эффективность использования априорных сведений, является всем известный случай, когда такая информа ция о процессе, как знание того, что он является ста ционарным и эргодическим, дает возможность при опре делении вероятностных характеристик этого процесса
60
вместо большого числа экспериментов рассматривать один эксперимент достаточно большой длительности.
Очевидно, что не всякие априорные сведения дают столь значительный выигрыш, как в данном случае, тем не менее, сам по себе этот пример весьма убедителен.
Разнообразие априорных сведений о модели систе мы, воздействиях и процессах ие позволяет провести их достаточно хорошую классификацию и рассмотреть все возможные виды этих сведений. Кроме того, априорные сведения могут существовать одновременно в разнооб разных сочетаниях, каждый раз приводя к различному эффекту. В зависимости от вида и состава априорных сведений меняется способ их использования. В ряде случаев способ использования очевиден, в некоторых случаях он требует особых пояснений, а иногда и разра ботки специальной методики организации статистиче ских испытаний и обработки их результатов.
В настоящей главе мы рассмотрим ряд априорных сведений, а также способы и эффективность их исполь зования.
2.2.Метод условной вероятностной характеристики
Впредыдущем параграфе указывалось, что один из возможных путей частичного использования аналитиче ских методов заключается в применении аналитических методов по отношению к части воздействий.
Данный метод сводится к следующему. В результате исследования системы, воздействий на нее и зависимости искомой вероятностной характеристики от значений про цессов в системе находятся те случайные воздействия, по которым может быть определено аналитически условное значение вероятностной характеристики в за висимости от других случайных воздействий. Далее, получив эту зависимость и применяя метод статистиче ских испытаний, находят оценку искомой вероятностной характеристики. В силу изложенного рассматриваемый комбинированный метод получения оценки вероятност ной характеристики будем называть методом условной вероятностной характеристики. Метод условной вероят ностной характеристики не является новым; в [29], на пример, он применялся для решения отдельных задач. Цель настоящего параграфа — показать, что в общем случае этот метод дает выигрыш в точности и примене ние его целесообразно.
61
Определим выигрыш в точности оценки вероятност ной характеристики, получаемой при данном методе, по сравнению со статистическим значением вероятностной характеристики, получаемым при использовании только метода статистических испытаний.
Пусть искомая вероятностная характеристика к пред
ставляет собой математическое ожидание некоторой функции Ѵі вектора У значений каких-либо случайных процессов в системе, т. е.
Я = ЛВД(У)]. |
(2.1) |
Не нарушая общности, будем рассматривать такую си стему, для которой вектор У зависит от некоторого числа п значений случайных воздействий. По существу
это эквивалентно рассмотрению системы дискретного действия. Однако поскольку число п может быть любым,
то общие положения, которые будут доказаны ниже, можно считать справедливыми и для систем непрерыв ного действия.
Совокупность случайных значений воздействий, от которой зависит вектор У, разобьем на два вектора V и V таким образом, что к вектору V будут относиться
все значения воздействий, по которым аналитически может быть определено условное значение вероятност ной характеристики. Следовательно, условное значение вероятностной характеристики, которое может быть найдено аналитическим путем, будет зависеть от век
тора U: |
|
^усл= ^-уСЛ (U). |
(2.2) |
Определение оценки ко вероятностной характеристи ки к с использованием условной вероятностной харак теристики kycn(U) производится методом статистиче
ских испытаний. При этом, если было произведено N экспериментов, то оценка ко будет
N |
|
Я0 = - ^ А уСл(£/3), |
(2.3) |
/= 1 |
|
где Uj — случайное значение вектора U в /-м экспери
менте.
Рассмотрев сущность метода условных вероятност ных характеристик, перейдем к анализу точности оцен-
62
ки ко- С этой целью введем функцию гР2, которая опре деляет зависимость вектора У от векторов U и У:
Y= W 2(U, У). |
(2.4) |
Фактически зависимость У от U и У является, как
правило, неявной ,и определяется уравнениями, описы вающими процессы в системе.Однако формально
запись (2.4), |
указывающую только |
на зависимость У |
|||
от U и У, можно использовать для анализа точности |
|||||
оценки. |
|
|
|
|
|
С учетом |
(2.1) и (2.4) выражение для вероятностной |
||||
характеристики к записывается |
в следующем |
виде: |
|||
где |
Л = [¥(£/, |
У)], |
|
(2.5) |
|
W(U, У) = 444*2(£Л |
У)}. |
(2.6) |
|||
|
|||||
Выражение для условного значения вероятностной характеристики с использованием функции ^(ы, ѵ)
можно записать следующим образом: |
|
кусл(м) = „ГЧГ(и, ѵ)f(v/u)du, |
(2.7) |
где f(v/ u) — условный дифференциальный закон распре
деления вектора У.
Соответственно |
формула для оценки ко |
примет |
вид |
|
|
N |
|
|
|
|
/=1 |
ü)f(üi u i)dü- |
|
(2-8) |
|
|
|
|
|
Отсюда нетрудно получить математическое ожидание |
||||
и дисперсию оценки Яо: |
|
|
|
|
М [Я0] — JI lF (и, |
и) f (ufu) <р(и) dvdu — Я, |
(2.9) |
||
D0 = М [(Я0 — Я)2] = |
JT { J |
j Т (“* v)f (ü/u) dv |
2<f (u) du — |
|
|
v) f(v/u) <p(u) dvdu |
( 2. 10) |
||
где cp («) — дифференциальный закон распределения век тора Ü.
Из (2.9) видно, что оценка, получаемая при методе условной вероятностной характеристики, является не смещенной. Точность оценки ко характеризуется диспер сией А). Сравним по точности оценку ко и статистиче-
63
ское значение X*. получаемое при применении только
метода статистических испытаний.
Статистическое значение X* вероятностной характе ристики может быть выражено через функцию \F(w, ѵ):
|
N |
|
|
Vi)t |
(2ЛІ) |
|
/=1 |
|
где Uj и Vj — случайные значения векторов |
U и V |
|
в /-М эксперименте. |
|
|
Дисперсия Di статистического значения X* вероятно |
||
стной характеристики |
|
|
D, — M [(Я* — Я)2] = ~ |
I Jj* ЧС (u, v)f (ѵ/и) <р(и) dvdu — |
|
j I"W (и, |
Ü) f (vju) f (и) dvdu I |
(2.12) |
Выигрыш в точности оценки Яо по сравнению со ста тистическим значением X* будем определять отношением
|
г]о = Di/D0. |
(2.13) |
|
Покажем, что выигрыш в точности всегда имеет |
место, |
||
т. е. г|о> 1. |
|
|
|
Из (2.10) и (2.12) имеем |
|
||
Dx — D0 = |
-jr j I j |
" (M- a) f (ü!u) f (u) dodu — |
|
- Ш |
* (u, |
v) f (vju) dv J 9 («)cf« | |
(2.14) |
или
D, - Dn
—v)— f?r (и, v') f (v' ju) dv' I f (vfu)f(u) dvdu.
|
|
(2.15) |
|
Так как W (и, v) |
зависит от v, a ^ 4? (u, |
v')1 {v' ju) dv' |
|
не зависит от v, то |
|
||
ЧГ (и, |
о) ^ j ЧГ {и, v') f (v'j и) dv' |
(2.16) |
|
и |
Di—Do>0. |
|
|
Отсюда имеем |
|
||
T№> 1. |
(2.17) |
||
|
|||
64
Таким образом, оценка вероятностной характеристи ки, получаемая с применением аналитических методов по отношению к части воздействий является более точ ной, чем статистическое значение этой вероятностной характеристики.
Аналогичным образом можно показать, что, чем больше число значений воздействий, по отношению к ко торым применяется аналитический метод, тем точнее получается оценка.
Отметим, что выигрыш в точности г)о, как нетрудно убедиться, равен выигрышу в числе экспериментов при заданной одинаковой точности получения оценки и ста тистического значения вероятностной характеристики.
2.3. Применение аналитических методов к части модели системы
Предположим, что исследуемая модель системы, ко торую в дальнейшем будем называть просто системой, при определении ее вероятностных характеристик может быть разбита на части и к некоторым из этих частей применимы аналитические методы. Будем считать, что по отношению к другим частям системы наиболее ра ционально применять метод статистических испытаний.
Если система представляется в виде цепи последова тельно и параллельно соединенных частей указанного вида, то применение аналитических методов совместно с методом статистических испытаний сводится к после довательному исследованию всех частей.
В общем случае вероятностные характеристики не которых воздействий на исследуемую часть известны «точно», так как они получены в результате аналитиче ского исследования каких-либо предыдущих частей, а вероятностные характеристики других воздействий за даны статистическими значениями, поскольку они най дены путем статистических испытаний.
Вне зависимости от способа получения все вероятно стные характеристики воздействий используются в со ответствующих аналитических формулах, если рассмат риваемая часть исследуется аналитически, или по ним формируются независимые от эксперимента к экспери менту реализации воздействий, если данная часть иссле дуется методом статистических испытаний.
Применение аналитических методов к части системы позволяет сократить объем моделирования, так как нет
5-288 65
неооходимости моделировать те части системы, которые исследуются аналитически. Кроме того, частичное при менение аналитических методов по сравнению с чистым методом статистических испытаний позволяет повысить точность оценки искомой вероятностной характеристики или сократить объем моделирования за счет уменьше ния числа экспериментов при тон же точности оценки. Данное положение хотя и очевидно по общим соображе
ниям, тем не менее доказательство |
его в общем виде |
|||||
|
|
пока не получено. Ниже до |
||||
|
|
казательство |
этого положе |
|||
|
|
ния будет дано для частного |
||||
|
|
случая, |
когда |
система со |
||
|
|
стоит из двух |
частей. |
|||
|
|
Необходимо |
отметить, |
|||
|
|
что |
применение |
аналитиче |
||
Рис. 2.1. Два варианта соеди |
ских методов к части систе |
|||||
мы в некоторых случаях мо |
||||||
нения |
частей А и С системы. |
жет |
потребовать |
дополни |
||
тов |
|
тельной обработки результа |
||||
статистических испытаний отдельных частей системы |
||||||
для определения статистических значений вероятност ных характеристик воздействий на другие части. Если число таких вероятностных характеристик велико, то дополнительная обработка может оказаться значитель ной и применение аналитических методов нецелесооб разным.
|
Оценим эффективность изложенного выше метода |
|||
применительно к системе, состоящей из |
двух частей А |
|||
и |
С, одна из которых А |
исследуется |
аналитически, |
|
а |
другая |
С — методом |
статистических испытаний. |
|
В |
принципе |
возможны два |
варианта соединения этих |
|
частей (рис. 2.1). В варианте а сначала исследуется
аналитически А, а затем |
статистически С, а в вариан |
те б наоборот — сначала |
статистически С, а потом ана |
литически А. |
|
В варианте а искомая вероятностная характеристика системы получается как вероятностная характеристика С
в результате статистических испытаний ее, т. е. на осно ве реализаций значений процессов на выходе С. Если
вероятностные характеристики данной системы опреде лять только с применением метода статистических испы таний, то они также получались бы по реализациям значений процессов на выходе С. Отсюда вытекает, что
66
при одинаковом числе экспериментов точность оценки вероятностной характеристики при применении к части системы аналитических методов в данном случае не улучшается, т. е. выигрыш в точности отсутствует. Однако, как не трудно заметить, имеется выигрыш в объеме моделирования, так как отпадает необходи мость моделирования части А.
В варианте б вероятностная характеристика системы находится аналитическими методами как вероятностная характеристика А с использованием статистических зна
чений вероятностных характеристик воздействий на входе А, полученных по результатам статистических испытаний С. Следовательно, ошибки оценки вероят
ностных характеристик в этом варианте обусловлены ошибками статистических значений вероятностных ха рактеристик воздействий на входе А. Как будет пока
зано ниже, при оптимальной обработке результатов статистических испытаний С оценка вероятностной ха
рактеристики системы является более точной, чем ста тистическое значение вероятностной характеристики, полученное при статистических испытаниях всей системы при том же числе экспериментов. Следовательно, в ва рианте б в отличие от варианта а имеет место выигрыш в точности оценки. Так же как и в варианте а, в вариан те б имеется выигрыш в объеме моделирования из-за того, что нет необходимости моделировать А.
Перейдем ж определению точности оценки в вариан те б и сравнению по точности оценки и статистического значения вероятностной характеристики.
Обозначим через U вектор случайных значений воз действий на А, от которых зависит вероятностная ха рактеристика X системы (части А). Как и ранее, будем считать, что X представляет собой математическое ожи
дание. При этих условиях можно написать формально,
что |
(2.18) |
Я = ЛКРК(£/)], |
где W(U) — некоторая функция вектора U. Вероятностная характеристика X зависит от вероят
ностных характеристик случайного вектора U. Обозна чая через q вектор этих вероятностных характеристик,
можем записать, что |
|
Я — ^ ¥ (и) [ (и; q)du, |
(2.19) |
5* |
67 |
где /(и; q) — дифференциальный |
закон |
(5йсй{ЗеДбЛецйй |
|
вектора U, зависящий от вектора вероятностных харак |
|||
теристик q. |
|
|
|
|
Поскольку оценка к0 вероятностной характеристики к |
||
в |
варианте б находится аналитическим |
методом, но |
|
с |
использованием статистического |
значения q* векто |
|
ра q, то |
|
|
|
|
Я0 = j ЧГ (и) / (ц; q*) du, |
(2420) |
|
Ошибка оценки А,0, как указывалось выше, обуслов лена ошибками вектора q*. При достаточно большом числе N экспериментов с частью С величина q* будет мало отличаться от q. Поэтому, предполагая возмож ным разложение /(«; q*) по степеням компонент век тора q*—q и ограничиваясь членами первого порядка
малости, получим
К = ] > ( « ) [/(« ; |
q) + £ Ü i g A . ( q * i - . qi)]du, |
(2.21) |
|||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
где |
Ці* и qi — компоненты векторов q* и q\ п — число |
||||||
компонент. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (2.19) и (2.21) |
получаем |
|
|
|
||
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
я° - |
я = ^ |
[ j |
Ч (и) |
d u \{q*i ~ qi). |
(2.22) |
|
|
|
!=i |
|
|
|
|
|
|
Предполагая, что |
M[qi*] = qu |
|
(2.23) |
|||
|
|
|
|
|
|||
из |
(2.22) получим формулу для дисперсии оценки: |
|
|||||
|
|
i=l k=\ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
к . |
(2.24) |
где |
К<6: “Ц |
корреляционный момент |
q*i и |
|
|||
N, |
Отметим, |
что К |
"к зависят |
от |
числа экспериментов |
||
так как |
точность |
<?*,• и q*k |
определяется числом N. |
||||
68
В принятых выше обозначениях формулу для стати стического значения к* вероятностной характеристики
системы, полученной при применении только лишь ме тода статистических испытаний, можно записать в сле дующем виде:
N
* * = 4 - 2 * т а |
(2-25) |
l~^
где Uj — реализация U в /-м эксперименте. Точность к* определяется дисперсией
q ) d u ~ [ ^ {и)Пи] q)du\2- (2-26)
Выше было высказано положение о том, что при опти мальном способе получения q* оценка Ао будет более точной, чем статистическое значение к*. Для доказатель
ства необходимо показать, что
К ^ К . |
(2.27) |
Доказать данное неравенство в общем случае пред ставляется затруднительным, так как в зависимости от того, какие компоненты имеет вектор q, оптимальные способы получения q* через реализации Uj могут быть
различными. Поэтому рассмотрим частный случай, когда вектор U имеет нормальный закон распределения
и нулевое математическое ожидание. Не нарушая общности, примем, что компоненты U являются неза
висимыми. Это можно принять, так как вектор, подчи няющийся нормальному закону распределения, всегда можно преобразовать в вектор с независимыми компо нентами. При оговоренных условиях компоненты q\ век тора q представляют собой дисперсии компонент век тора U, а значения qC будут наилучшим образом
определяться по формулам
<2-28>
/=>
где Uij — реализация і-й компоненты вектора U в /-м
эксперименте.
69