книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

Значение г}оі было определено методом статистических

оценки Яо и /W близки по точности.

Необходимо отметить, что так как оценка М не явля­ ется в строгом смысле оптимальной, то, вообще говоря, она при некоторых условиях может оказаться менее точной, чем статистическое значение К*, т. е. величина

г|оі может быть и меньше единицы. Как следует из рис. 1.2 и 1.3, такое положение имеет место только при

небольшом значении выигрыша Цо и малом числе экспе­ риментов. Малое же значение выигрыша эквивалентно тому, что процессы в упрощенной системе мало соответ­ ствуют процессам в исходной системе. При этом, естест­ венно, вообще нецелесообразно применять метод корре­

лированных процессов.

Таким образом, при разумном использовании метода коррелированных процессов, г|оі всегда будет больше единицы, т. е. оценка Лоі будет более точной, чем стати­

. /=1____________ Epl____________ ^ ------------- . (1.75)

-rE<*-|J-)2

q-=1

Точность оценки Яог, так же как и Коі, будем опреде­ лять математическим ожиданием квадрата A/W, т. е. величиной

30

Вычислить Дог аналогично Коі невозможно. Поэтому найдем значение Ког при достаточно большом N , огра­ ничившись в Ко2 членами порядка 1 //V2.

Введем величины

,ѵ

« = 1

которые представляют собой суммы УѴ независимых значении случайных величин, имеющих нулевые .матема­ тические ожидания. Дисперсии величин 6і, бг, бз и 64 имеют порядок 1/А7, т. е. при большем N в этом смысле

они являются «малыми» случайными величинами. Оговорим еще одно важное обстоятельство. Будем

считать число экспериментов N по крайней мере таким

что

IV

3= 1

так как только при этом условии можно пользоваться

i- 0

(1.84)

31

Нетрудно показать, что четный момент 2/г-й степени

где 0 (-^г) ~ величина порядка

Выигрыш в точности оценки Л02 по сравнению с точ­

ностью статистического значения Л* будет

Таким образом, при достаточно большом N оценки Лог и Ко близки по точности.

Для ориентировочного определения значений N, на­ чиная с которых оценки Ко2 и Л0 практически совпадают

когда К и р представляют собой математические ожида­ ния случайных величин R и S, подчиняющихся нормаль­

и У, подчиняющихся нормальному закону распределе­ ния, приведены на рис. 1.5. Из рисунка следует, что при У ^ 10ч-20 т]о2 и тіо приближенно равны, а поэтому близ­ ки по точности оценки Л02 и Ло-

Зависимости, показанные на рис. 1.4 и 1.5, были по­ лучены методом статистических испытаний.

32

точность оценки ко, т. е. указанные оценки близки по

точности. Рассмотренные же примеры показывают, что это положение имеет место даже при сравнительно не­ большом числе N ( N ^ 20ч-30).

1.5. Методы построения упрощенных систем

Из изложенного выше следует, что введенное поня­ тие упрощенной системы является более широким, чем обычно понимаемое. Действительно, если в обычном смысле под упрощенной системой понимают систему, процессы в которой достаточно близки к процессам в исходной системе, то в данном случае требуется толь­ ко лишь достаточная коррелировашюсть значений про­ цессов в этих системах, определяющих векторы R и S.

При этом, конечно, предполагается, что упрощенная си­ стема поддается аналитическому исследованию.

Указанное различие требований к упрощенным систе­ мам оказывается весьма существенным. Обычно ло-

строение упрощенной системы осуществляется путем пренебрежения малосущественными процессами в эле­ ментах исходной системы, линеаризации характеристик элементов, принятия допущений о стационарности эле­ ментов и процессов, пренебрежения дискретностью про­ цессов и т. д. При этом каждое из принимаемых допу­ щений все в большей степени вызывает у исследователя неуверенность в достоверности получаемого результата и в близости его к истинному.

Все это приводит к определенной осторожности при­ нятия допущений и упрощений и к необходимости про­ ведения различных обоснований и исследований, кото­ рые, как правило, составляют значительную часть общих исследований, являются весьма сложными и требуют высокой квалификации. Может оказаться, что вообще некоторые из предполагаемых упрощений неприемлемы, так как могут привести к существенному искажению результата. Изложенное показывает сколь трудно по­ строить упрощенную систему в обычном ее понимании. Для рассматриваемого в данной главе метода построе­ ние упрощенной системы можно осуществлять без про­ явления особых мер осторожности и обширных иссле­ дований приемлемости допущений. Если в ходе упроще­ ний будут сделаны какие-либо существенные допущения, то они не приведут к тому, что этими результатами не­ возможно будет воспользоваться. В крайнем случае это может вызвать некоторое уменьшение выигрыша в точ­ ности результата или в числе экспериментов.

Действительно, при достаточно большом числе экс­ периментов и любой степени упрощения точность полу­ ченной оценки вероятностной характеристики всегда бу­ дет не хуже по точности статистического значения веро­ ятностной характеристики, найденного чистым методом статистических испытаний, так как цо^І. Таким обра­ зом процесс построения упрощенной системы может быть значительно облегчен.

Помимо получения возможности аналитического ис­ следования упрощенной системы при построении ее исследователь должен позаботиться только о том, чтобы соответствующие значения процессов были по возмож­ ности больше коррелированы со значениями процессов в исходной системе, что приведет к большей эффектив­ ности метода. Для этих целей обычно достаточно учесть, хотя бы грубо, основные характерные черты протекаю­

34

щих процессов в исходной системе. Представление о возможной степени упрощенного описания процессов, при которой метод останется все же достаточно эффек­ тивным, дают простейшие примеры, приведенные в§ 1.8.

Расширение понятия упрощенной системы позволяет рассмотреть способы ее построения, отличающиеся от обычных. К числу весьма важных обстоятельств, рас­ ширяющих понятие упрощенной системы, относится то, что в исходной и упрощенной системах в общем случае могут рассматриваться разные вероятностные характе­ ристики, соответствующие различным физическим про­ цессам, и число их для обеих систем может быть неоди­ наковым. Кроме того, как было показано в § 1.3, чем большее число вероятностных характеристик рассматри­ вается в упрощенной системе, тем более эффективен ме­ тод. В настоящем параграфе остановимся на двух мето­ дах построения упрощенных систем, базирующихся на указанных обстоятельствах.

Первый метод заключается в том, что за упрощенную систему принимается часть исходной системы, которая может быть исследована аналитически. Этот метод за­ манчив тем, что результаты статистических испытаний упрощенной системы получаются непосредственно в хо­ де статистических испытаний исходной системы. Однако такое построение упрощенной системы нельзя признать универсальным, так как не всегда можно найти часть системы, которая исследовалась бы аналитически, и, кроме того, если даже такая часть найдется, то значения процессов в ией могут быть мало коррелированы с не­ обходимыми нам значениями процессов в исходной си­ стеме, а следовательно, применение метода будет мало­ эффективным.

Второй метод является более универсальным и за­ ключается в построении упрощенной системы из серии отдельных типовых элементарных систем. Под элемен­ тарными системами будем понимать такие простейшие системы, которые сравнительно легко поддаются анали­ тическому исследованию и не требуют большого объема вычислений при проведении их статистических испыта­ ний. Примерами элементарных систем могут быть, на­ пример, колебательное звено, запоминающее звено, про­ стейший нелинейный статический преобразователь и т. д. Предварительный общий качественный анализ интере­ сующих нас процессов в исходной системе позволяет

выбрать наиболее подходящий тип элементарной систе­ мы и ориентировочные диапазоны значений его парамет­ ров, обеспечивающие, исходя из общих соображений, хорошую коррелированность значений процессов в эле­ ментарной и исходной системах. Беря несколько сово­ купностей значений параметров из выбранных диапазо­ нов, получим соответствующую им серию элементарных систем, которую молено предварительно принять за упрощенную систему.

В ходе статистических испытаний элементарных си­ стем, составляющих упрощенную систему, совместно с исходной системой можно из них исключить те, кото­ рые несут «малую информацию» о вероятностных харак­ теристиках исходной системы, и, кроме того, из элемен­ тарных систем, дающих «одинаковую информацию», взять только по одной системе. «Малая информация» соответствует малой величине коэффициента корреляции значений процессов в элементарной и исходной систе­ мах. «Одинаковую информацию» несут статистические значения вероятности характеристик элементарных си­ стем, которые имеют близкий к единице коэффициент корреляции. Необходимые для указанного отбора эле­ ментарных систем коэффициенты корреляции находятся по результатам экспериментов.

После исключения указанных элементарных систем число их в упрощеной системе уменьшится и, следова­ тельно, облегчится определение оценки по формуле (1.26) или (1.27).

Как будет показано в § 1.8, формула для оценки вероятностной характеристики принимает удобный для вычислений вид, если упрощенная система -построена из таких элементарных систем, каждая из которых имеет независимое воздействие.

Эффективность указанных способов построения упро­ щенных систем будет оценена на примерах в § 1.8.

1.6. Оценка выигрыша в стоимости исследования

Выше под выигрышем от применения метода корре­ лированных процессов понимался выигрыш в точности (по дисперсии) или выигрыш в числе экспериментов при заданной точности по сравнению с обычным методом статистических испытаний. Однако применение метода коррелированных процессов, дающего указанный вы-

36

игрыш, требует дополнительных исследований, связан­ ных с построением упрощенной системы, аналитическим исследованием и статистическим испытанием ее. Это, строго говоря, снижает эффективность данного метода. Поэтому для оценки эффективности метода целесообраз­ но рассмотреть другой критерий, который назовем стои­ мостью исследования.

Оценку выигрыша в стоимости исследования будем производить применительно к случаю, когда при иссле­ довании методом статистических испытаний используют­ ся вычислительные машины.

Для определения вероятностной характеристики при использовании метода статистических испытаний необ­ ходимо проведение следующих работ:

1)математическое описание системы (построение исходной системы);

2)программирование и отладка задачи, реализую­ щей исходную систему на вычислительной машине;

3)статистические испытания исходной системы;

4)обработка результатов статистических испытаний. При использовании метода коррелированных процес­

сов дополнительно необходимо произвести:

5)построение упрощенной системы;

6)аналитическое исследование упрощенной системы;

7)программирование и отладку задачи, реализую­ щей упрощенную систехму;

8)статистические исследования упрощенной си­

стемы;

9)совхместную обработку результатов статистических испытаний исходной и упрощенной систем.

Из перечисленных работ не все работы следует отне­ сти к «расходам» на получение вероятностных характе­

ристик исходной системы. Так, например, математиче­ ское описание системы (построение исходной системы),

с целью статистических испытаний. Эти работы являют­ ся необходимым этапом проектирования систе.мы, по­ зволяющим выбрать ее параметры и характеристики, исследовать процессы при типовых или наиболее харак­ терных воздействиях и т. д.

Построение упрощенной системы и ее аналитическое исследование, как правило, производятся на предвари­ тельном этапе проектирования системы и служат для

37

ориентировочного выбора параметров системы и грубой оценки ее вероятностных характеристик.

В силу изложенного в настоящем параграфе в стои­

то важны лишь относительные стоимости тех или иных работ. Поэтому не оговаривая то, в каких единицах вы­

обработки результатов статистических испытаний исход­ ной системы; В„р — стоимость -программирования и от­

ладки задачи, реализующей упрощенную систему, и Вобр — стоимость совместной обработки результатов ста­

тистических испытаний исходной и упрощенной систем. Выигрыш в стоимости исследования при сравнении метода статистических испытаний и метода коррелиро­ ванных процессов будем производить по отношению стоимостей работ при числе экспериментов, обеспечи­ вающих требуемую точность (дисперсию D) оценки ве­

а при методе коррелированных процессов число экспе­ риментов N2— из соотношения

38

Выигрыш в стоимости исследования от применения метода коррелированных процессов будет

1 + Л7+ ~ Ж а 1—

Поскольку формулы для получения статистического значения и оценки вероятностной характеристики срав­ нительно простые, то стоимость обработки, приходя­ щаяся на один эксперимент A 06P/Ni и В обр/А7 много меньше стоимости A t одного эксперимента с исходной

системой, т. е.

1 - f - В х / А г -J - ß „ p / j V 2^ ]

Если исходная система достаточно сложна (А\ вели­

ко) и требуется с высокой точностью получить вероят­ ностную характеристику (N2 велико), то

При соблюдении этого условия

Из соотношения (1.97) видно, чтобы получить вы­ игрыш в стоимости исследования от применения метода коррелированных процессов, т. е. получить £>1, необ­ ходимо выполнить условие

Ло>1+ВіМі. (1.98)

Обычно стоимость одного эксперимента с упрощен­ ной системой В\ много меньше стоимости Аі одного экс­

перимента с исходной системой, т. е.

(1.99)

39