книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

тате оценки Хіо получается более точной, чем статисти­ ческое значение Хі*.

Как следует из (1.22), оценка каждой из компонент вектора X может быть произведена независимо от оцен­

ки других компонент. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только одну из компонент и для просто­ ты записи отбрасывать индекс і.

При этом оценка А*) вероятностной характеристики X

статистическое значения вектора вероятностных харак­ теристик упрощенной системы; R и S — случайные вели­

чина и вектор.

Для практического использования формулы (1.23) необходимо знать корреляционные матрицу-строку K R S и матрицу Kss-

Так как упрощенная система может исследоваться аналитически (по крайней мере для определения век­ тора ц), то в принципе .возможно вычисление аналити­ ческим путем и точного значения корреляционной мат­ рицы Kss■Однако в некоторых случаях определение Kss

аналитическим путем может оказаться затруднитель­ ным. При этом вместо Kss можнб найти ее статистиче­

/=і Исходная система не поддается аналитическому

исследованию, поэтому вместо корреляционной матрицы-

20

В следующем параграфе будет показана возможность замены K R S и KSS их статистическими значениями KRS

и Kss при вычислении оценки вероятностной характе­

ристики. В соответствии с изложенными выше возмож­ ностями вычисления K R S и Kss помимо оценки Яо будем рассматривать оценки Яоі и Хоъ которые находятся по

соотношениям

Ниже будет показано, что оценки Ао и Яоі, А02 близки

по точности даже при сравнительно небольшом числе экспериментов.

Из изложенного ясно, что для практического исполь­ зования годятся только оценки Аоі и Xoz- Однако Хо

удобна для анализа точности и выигрыша в точности оценок Яоі и Хо2 -

1.3. Точность оценки АоВыигрыш в точности или в числе экспериментов

Найдем точность оценки Ло вероятностной характери­ стики X. Дисперсия Ко оценки Хо в силу (1.23) будет

Так как KRSKSJ (р.* — р.) и (Я* — Я) — скалярные вели­

чины, а не матрицы и матрица KJ$ симметричная, то

21

то из (1.29) с учетом (1.30) и (1.31) следует:

Введем понятие коэффициента корреляции rRS вели­ чины R и вектора 5, определив его по соотношению

о -зз)

Коэффициент корреляции гя8 представляет собой матрицу-строку с т столбцами. В частном случае при т = 1 rRS представляет собой обычный коэффициент

корреляции двух случайных величин. Из (1.33) и (1.32) имеем

(1.34)

Величина rRSrSR представляет собой квадрат мно­

жественного коэффициента корреляции случайной вели­ чины R и случайного вектора 5 [3].

Дисперсию Ко оценки Ао удобно сравнить с диспер­ сией К статистического значения к* вероятностной ха­

рактеристики. В качестве сравнительной меры точности ?»о и к* будем использовать отношение

Отношение т|о представляет собой выигрыш в точно­ сти по дисперсии оценки вероятностной характеристики по сравнению с ее статистическим значением. Следова­ тельно, значение т)о определяет выигрыш от применения предлагаемого метода по сравнению с обычным мето­ дом статистических испытаний.

Так как

то в силу (1.34) и (1.35)

(1.37)

22

іаким образом, чем больше квадрат множественного коэффициента корреляции, тем больше выигрыш от ис­ пользования результатов аналитического исследования.

Если определяются п вероятностных характеристик

исходной системы, то выигрыши в точности для соот­ ветствующих вероятностных характеристик будут равны

где rR srSR — квадрат множественного коэффициента

корреляции случайной величины Ri и вектора S.

В ряде случаев необходимо находить значения веро­ ятностных характеристик е заданной точностью. При этом за счет применения изложенного метода можно получить выигрыш в числе экспериментов. Найдем зна­ чение этого выигрыша.

Пусть необходимая точность получения оценки каж­ дой вероятностной характеристики задана дисперсиями D1, J92, ... , Dn. Тогда при обычном методе статистиче­

ских испытаний для определения г-й компоненты век­

Поскольку все п компонент находятся из одних и тех

же экспериментов, то необходимое число эксперимен­ тов N при обычном методе статистических испытаний

будет

Естественно, что при числе экспериментов N диспер­ сии Кі статистических значений вероятностных харак­

теристик будут удовлетворять неравенствам

(1.41)

При применении метода коррелированных процессов для определения Ей компоненты потребовалось бы N i0

экспериментов, где

23

Необходимое же число экспериментов для получения всех компонент равно

Выигрыш в числе экспериментов при применении метода коррелированных процессов по сравнению с чи­ стым методом статистических испытаний составит

Рассмотрим следующие частные случаи. Если опре­ деляется только одна вероятностная характеристика, то

£=•1/(1—rRSrSR). (1-45)

В данном случае выигрыш § в числе экспериментов равен просто выигрышу rjo в точности по дисперсии, т. е.

Во многих случаях необходимая точность определе­ ния вероятностных характеристик задается количеством экспериментов Л4о, которое необходимо было бы произ­ вести, применив обычный метод статистических испыта­ ний, т. е.

При этом в силу (1.38) и (1.44)

Таким образом, в обоих рассмотренных более или менее общих случаях величины выигрышей по точности определяют и выигрыш в числе экспериментов.

Поскольку квадрат множественного коэффициента корреляции определяет выигрыш по точности и, следо­ вательно, в частных случаях — выигрыш в числе экспе­ риментов, то ниже приведены значения квадрата мно­ жественного коэффициента корреляции r ^ s R для т = 1, 2, 3.

1. m = U

24

Покажем, что с увеличением числа вероятностных характеристик, рассматриваемых в упрощенной системе, значение выигрыша т)о растет. Для ,

этого достаточно показать, что если £ к т вероятностным характеристи- 8 кам прибавить (т + 1)-ю, то квад­

рат множественного коэффициента rRSrSR увеличивается, т. е. разность 6

В т К

Sm+ l5m+ l

25

Величина а положительна, так как 1/а представляет

собой диагональный элемент матрицы, обратной кор­

Данное неравенство подтверждает сделанное выше утверждение о возрастании выигрыша цо при увеличе­ нии в упрощенной системе числа рассматриваемых веро­ ятностных характеристик. Вообще говоря, поскольку имеет место и знак равенства, правильнее сказать, что выигрыш т)о возрастает или в крайнем случае остается тем же самым,

26

1.4.Точность оценок Яоі и Я02

Впредыдущем параграфе была определена точ­ ность оценки Я0 и найден выигрыш в точности этой

оценки по сравнению с точностью статистического зна­ чения Я*. Однако оценкой Я0, как указывалось в § 1.3, практически пользоваться нельзя и вместо нее прихо­ дится применять оценки Я0і или Яог-

В данном параграфе будет показано, что при доста­ точно большом N точность оценок Яоі и Я02 практически

равна точности оценки Яо. Поэтому все соотношения для точности и выигрыша в точности или в числе экспери­ ментов, приведенные в предыдущем параграфе по отно­ шению к оценке Яо, можно будет считать справедливыми и по отношению к оценкам Яоі и Я02 при достаточно большом N.

Не нарушая общности результата, в настоящем па­

Точность оценки Яоі будем определять математическим ожиданием квадрата іЛЯоі, т. е. величиной

будут входить центральные моменты до шестого поряд­ ка включительно от случайных величин R и S. Здесь

и в дальнейшем будем предполагать, что все необходи­ мые нам моменты величин R и S существуют. При вы­ числении Коі следует учитывать, что величины R и S

с различными индексами независимы в силу независи­ мости различных экспериментов.

27

После ряда преобразований можно получить, что

по точности.

Найдем ориентировочно те значения N, начиная с ко­

торых оценки Яо и Яоі практически совпадают по точно­ сти. Сравнение оценок Яо и Яоі по точности удобнее всего вести в относительных величинах, например путем срав­ нения выигрышей г|о и т)оі-

Рассмотрим два частных случая. В первом случае будем считать, что вероятностные характеристики Я и ц представляют собой математические ожидания, а вели­ чины К и 5 подчинены нормальному закону распреде­ ления. Во втором случае в качестве Я и ц будем рас­ сматривать дисперсии некоторых случайных величин X

и У, подчиняющихся нормальному закону распреде­ ления.

28

Для первого случая из (1.37) и (1.66) имеем

Так как rjo и г|оі зависят только от rRS и іѴ, то, исклю­ чая из (1.70) и (1.71) величину rRS, можно написать, что

На рис. 1.2 приведена зависимость т]оі от тіо для раз­ личных N, полученная методом статистических испыта­ ний. Как видно из рисунка, уже при N ^ 3 0 значения rjo

и rjoi близки, т. е. оценки Ло и Яоі близки по точности.

ожидания.

Во втором случае цо и rjoi будут зависеть только от коэффициента корреляции гх у случайных величин X и У

29