книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

фициенты разложения. Далее осуществляется оценка

сверху коэффициентов разложения. Коэффициенты раз­ ложения сложным образом выражаются через характе­ ристики упрощенной системы в отсутствие разброса па­ раметров. Однако иногда абсолютную величину их мож­ но оценить сверху и эту оценку в достаточно простом виде выразить через обобщенные характеристики упро­ щенной системы в отсутствие разброса параметров. Оценка сверху коэффициентов разложения позволяет по­ лучить искомую оценку изменения вероятностной харак­ теристики за счет разброса параметров.

Поскольку при получении оценок сверху допустимо существенное упрощение системы, то ниже рассматрива­ ются случаи, когда упрощенная система является линей­ ной и стационарной.

В настоящем параграфе дано применение изложен­ ного метода оценки для двух довольно общих случаев.

А . О ц е н к а с в е р х у и з м е н е н и я с р е д н е г о к в а д р а т н ч е с к о го о т к л о н е н и я с л у ч а й н о го п р о ц е с с а в л и н е й н о й с т а ц и о н а р н о й си с те м е за сч е т с л у ч а й н о го р а з б р о с а е е п а р а м е т р о в

Среднее квадратическое отклонение о(а) установив­ шегося случайного процесса в линейной нестационарной системе при стационарном случайном воздействии и кон­ кретном значении вектора а параметров системы опреде­

ляется соотношением

+00

Здесь К (jeо; а)-— частотная характеристика системы при конкретном значении вектора а параметров системы,

aG(co)— спектральная плотность воздействия.'

Ві[29] показано, что для некоторого класса нестацио­ нарных воздействий, выраженных через неслучайные и стационарные случайные функции времени, определение средних квадратических отклонений установившихся

случайных процессов также сводится к вычислению ин­ теграла типа (5.9). Поэтому полученные ниже оценки можно будет применять и для этого случая.

Среднее квадратическое отклонение а с учетом слу­

чайного разброса параметров будет находиться из соот­ ношения

21 0

где /( а ) — дифференциальный закон распределния век­ тора а случайных параметров.

Математическое ожидание вектора и обозначим через

<хо. Тогда среднее квадратическое отклонение (То процес­ са в системе без учета случайного разброса параметров будет

ао=<т(ао). (5.11) Произведем оценку сверху относительного изменения б среднего квадратического отклонения процесса за счет

разброса параметров.

и найдем оценку свеху абсолютной величины б. Предполагая компоненты Aaq случайного отклонения

Да вектора параметров малыми настолько, что величину о2(а) можно разложить в ряд по степеням этих откло­

нений и ограничиться членами второго порядка малости, из (5.10) и (5.11) получим

параметров); щ 0 и а>0— математические ожидания q-то

Отсюда с учетом малого влияния разброса параме­ тров нетрудно получить, что

ПП

(5 Л 7 >

<7 = 1 г= 1

Абсолютная величина б удовлетворяет неравенству

П П

(5-18)

q=\ r=l

Обозначим через A qr оценку сверху абсолютной вели­ чины коэффициента aqr:

|а<7г|^АдГ. (5.19)

Сучетом (5.18) получим оценку сверху величины б:

ПП

212

Для получения оценки A qr удобно формулу (5.21)

записать следующим образом:

Будем различать оценки двух типов. Оценка первого типа — более грубая, не учитывающая вида спектральной плотности:

Оценка второго типа учитывает, что спектральная плотность Go(со) начиная с некоторой частоты £2 прак­ тически равна нулю, т. е.

Для обеих оценок из (5.23) и (5.24) можно получить

Здесь для оценки первого типа

213

[37], если передаточную функцию системы Л 'о (р ; ао) вы­

разить через передаточные функции, представляющие произведения передаточных функций простейших звень­ ев, и в качестве параметров адо и аго взять их параметры.

Покажем, как это делается для случаев., когда

где К(р\ а) — передаточная функция разомкнутой систе­

мы, представляющая произведение передаточных функ­ ций простейших звеньев.

Используя такую же методику и приведенные ниже таблицы, можно сравнительно просто найти коэффициен­ ты Вдг, Bq и В г и для других случаев. Рассмотрим сна­

чала оценку первого типа.

Так как К{р\ ао) представляет собой произведение

передаточных функций простейших звеньев и в качестве параметров взяты параметры этих звеньев, то

висящая от 9-го параметра,

214

Значения величин Cq приведены в табл. 5.1.

Имея частотную характеристику системы без учета

215

Отметим, что Pqr(p; ago, aro) может быть либо про­

изведением двух передаточных функций простейших звеньев, зависящих от q-то и r-го параметров соответст­

венно, либо передаточной функцией одного простейшего звена, зависящего от этих двух параметров.

В силу (5.40)

Ф“" (/«; ад„, ar„)

Ядг (/со; ago, a r„) a?o^ro —

Если Pqr{p\ ctgo, aro)— передаточная функция одного

простейшего звена, то можно ввести величины Cqr, вы­ числив их по формуле

я“9»“г0(/со; ago, ar0)

П О О )

216

2)7

„Ѵ~2

К2

К2

Пр и м е ч а н и е . В табл. 5.1 и 5.2.:

Используя (5.27), (5.38) и (5.48), из (5.20) получим оценку первого типа для рассматриваемого случая, когда передаточная функция системы определяется соотноше­ нием (5.30):

ПП

і8і<4 S S {Cqr+{ Ш *+Мі)CqCr]1Kqr 1 (5-49)

<7= I ur = l

Аналогично получим оценку первого типа для случая, когда передаточная функция системы определяется по формуле (5.31):

Пп

I3I<"ГS S Мг [c,rt Ш f£r\ I КчтI- (5.50)

ч—\ г=]

218

Из (5.4Ö) и (5.50) видно, что найденные сверху оцен­ ки увеличения среднего квадратического отклонения про­ цесса достаточно просты. Эти оценки определяются через корреляционные моменты Kqr относительных отклонений

параметров, максимумы амплитудных частотных харак­ теристик системы при номинальных значениях параме­ тров и коэффициенты Cq и Cqr, приведенные в табл. 5.1

и 5.2.

Для получения оценки второго типа, учитывающей характер спектральной плотности G0(со), необходимо пе­

Далее, поступая таким же образом, как и при полу­ чении оценки первого типа, легко показать, что оценка второго типа будет иметь аналогичный вид, с той лишь разницей, что величины М и М2, Cq и Cqr необходимо за­ менить на М 'ь М'г, С'д и C'qr. Причем

В некоторых случаях исследуемая система может быть отнесена к классу двухканальных систем автомати­ ческого управления [4, 27].

Обычно в начале исследования каждый из каналов такой системы рассматривается отдельно и только затем анализируется полная задача, т. е. изучаются характе­ ристики процессов с учетом взаимосвязи каналов. Такой подход является оправданным, поскольку идти от про­ стого к сложному легче. Кроме того, как правило, стре-

219