книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

поэтому

Данные уравнения записываются в матричном виде:

Множитель Лагранжа а найдем из этого соотношения и второго уравнения (4.123):

1 __ N0

(4.133)

Sp К,/2

Из (4.132) и (4.133) получаем уравнения для опти­ мальных значений элементов рц матрицы Р:

Общее число уравнений для определения pij, выте­

кающих из матричного уравнения (4.134), равно /2. Однако ввиду симметрии матриц К и Р число незави­

симых уравнений будет /(/+1)/2.

190

Воспользовавшись выражением (4.10) для матрицы Р из (4.134), получим систему линейных уравнений для

Из данных уравнений только /(/+1)/2 будут неза­ висимыми. Общее же количество чисел экспериментов различного типа q = 2l—1, причем

Таким образом, в общем случае уравнений для чисел экспериментов меньше (при />2), чем самих чисел. Это означает, что, по-видимому, можно рассматривать не все возможные типы экспериментов, а лишь некоторые.

Так, если ограничиться только экспериментами типа

(і) и типа (г, k ) , то количество независимых уравнений

будет равно количеству чисел экспериментов и уравне­ ния для них будут

I

Ni и Ni'k не представляет каких-либо трудностей. Дейст­

вительно, каждое уравнение, полученное из недиагональ-, ных элементов матричного уравнения (4.136), содержит только одно из чисел АД&. Поэтому все числа АД/г нахо­ дятся просто. Подставляя найденые значения ЛД/; в урав­ нения, соответствующие диагональным элементам ма­ тричного уравнения (4.136), получим I уравнений для нахождения Ni. Каждое из этих уравнений содержит

только одно из чисел АД и, следовательно, найти их до­

статочно просто.

Следует отметить, что ограничиться только экспери­ ментами типа (г) и (і, k) не всегда можно, так как при некоторых значениях корреляционной матрицы К систе-

191

ма уравнений (4.136) дает отрицательные значения одно­ го или нескольких из чисел Ni и Ni,и- Если эти отрица­

тельные значения по абсолютной величине являются не­ большими по сравнению со средним числом эксперимен­ тов, приходящихся на одну точку N0/l, то можно прибли­

женно соответствующие числа экспериментов взять ну­ левыми. Если же это не так, то ограничиться экспери­ ментами типа (і) и (і, k) нельзя, а числа экспериментов

различного типа следует подбирать такими, чтобы вы­ полнялись соотношения (4.135). В выборе чисел Ni, Ni,к, . .., N 1, г......I в общем случае есть определенный про­

функция корреляционной матрицы К-

Для вычисления этой функции можно воспользоваться одним из методов, изложенных например, в [14]. Пусть ць Ц2, • - Ц -s— разные корни характеристического урав­

Обозначим через т2, . . ., ms кратности этих кор­ ней. Поскольку корреляционная матрица К является ма­

трицей простой структуры, то согласно [14] минимальный многочлен ее будет

ф ( ц ) = ( ц — Ц і ) ( р . — ц г ) . . • ( р — p s) ,

След матрицы равен сумме характеристических чисел. Характеристические числа функции от матрицы равны

192

значениям функции от характеристических чисел. В силу этого имеем

Используя (4.139) и (4.140), можно сравнительно просто вычислить правую часть уравнения (4.135).

Приведенные выше соотношения позволяют опреде­ лить числа экспериментов различного типа при извест­ ной корреляционной матрице К. Так же как и в ранее рассмотренных случаях, матрицу К заменим ее статисти­ ческим значением К*, найденным по соответствующим

экспериментам. Для одновременного определения чисел экспериментов и матрицы К * можно предложить

организацию экспериментов, аналогичную ранее рас­

числом экспериментов, много меньшим No- По этим экс­ периментам находится статистическое значение К* ма­ трицы К и вычисляются в первом приближении опти­

мальные числа экспериментов. В соответствии с получен­ ными числами проделанные эксперименты дополняются до найденных оптимальных чисел, но не полностью. Да­ лее вычисляется уточненное значение К* и вновь нахо­

дятся оптимальные значения чисел экспериментов, в со­ ответствии с которыми эксперименты дополняются до общего числа N0.

Результаты всех экспериментов используются для вы­ числения оценки LQ вектора значений вероятностной ха­ рактеристики в I точках по формуле (4.14).

Найдем выигрыш от применения предлагаемого мето­ да определения вероятностной характеристики в несколь­ ких точках по сравнению с обычным методом, когда значения вероятностной характеристики в различных точках находятся независимо. При обычном методе на каждую точку приходится по N0/l экспериментов и сумма

дисперсий статистических значений вероятностной харак­ теристики будет

(4.142)

В случае применения предлагаемого метода при опти­ мальных значениях чисел экспериментов сумма диспер­ сий оценок вероятностной характеристики в соответствии с (4.124) и (4.134) будет

Выигрыш г) будем оценивать по отношению D 10 к D z.

Из (4.142) и (4.143) находим

ISpK

(4.144)

f S p K 1/2]2

Для того чтобы получить представление о возможных значениях выигрыша ц, рассмотрим случай, когда все диагональные элементы корреляционной матрицы К

одинаковы, а остальные элементы равны друг другу, т. е.

Корни характеристического уравнения равны:

рі=Д )(1—г), кратность корня ті = 1—1,

Ц2=А)(1—г)+ШоГ, кратность корня т 2=1.

Отсюда, учитывая (4.140), (4.141) и (4.144), получаем значение выигрыша

i ( i - i ) V ~ r + VT=7+7F]* ‘ 1 ‘ '

Зависимость выигрыша ц от г, вычисленная по дан­ ной формуле для различных I, приведена на рис. 4.12.

Минимальное значение выигрыша т) равно единице и

194

имеет место при г = 0. Максимальное значение выигрыша получается при r= 1 и равно I.

Интересно заметить, что рассмотренная в настоящем параграфе задача при условии выполнения (4.145) экви­ валентна задаче, исследованной в § 4.5, если для по­ следней принять

в § 4.5 дано подоптимальное решение, а здесь — опти-

мальное, в силу чего ц должно быть больше значения

выигрыша тр задачи § 4.5. Увидеть разницу между т] и тр из сравнения рис. 4.10 и 4.12 трудно, так как р незна­ чительно больше тр (в § 4.5 и на рис. 4.10 величина тр обозначена через р). Проигрыш при подоптимальном

решений по сравнению с оптимальным можно оценить относительным уменьшением выигрыша

Из таблицы видно, что уменьшение выигрыша явля­ ется незначительным, т. е. подоптимальное решение до­ статочно близко к оптимальному.

Очевидно, что при условии (4.145) подолтимальное решение, данное в § 4.5, является оптимальным, если ограничиться экспериментами типа (г) и (i, k ) . Следова­

тельно, подоптимальность его, вытекающая из условия г)>г|ь может быть обусловлена только лишь неиспользо­ ванием экспериментов других типов. Все это подтверж­ дает высказанное ранее положение о том, что при точ­ ном решении рассматриваемой в настоящем параграфе задачи не всегда можно обойтись экспериментами типа

(і) и (і, k).

В заключение параграфа проиллюстрируем вычисле­

196

Уравнения для определения чисел N і, N2 и JV1,2 в соот­

ветствии с (4.136) имеют вид:

Из данных уравнений находим отношения чисел экс­ периментов различного типа « общему числу экспери­ ментов:

Выигрыш в точности в соответствии с соотношением (4.144) будет

4.7 Примеры

А . З а в и с и м о с ть к о э ф ф и ц и е н та к о р р е л я ц и и о т п а р а м е т р о в

в числе экспериментов при одновременном определении вероятност­ ных характеристик системы для нескольких значений ее параметров зависит от коэффициента корреляции значений случайной величины

197

в области параметров. Рассмотренные ниже простейшие примеры дают такое представление и позволяют в некоторой степени по ана­ логии оценить целесообразность использования изложенных в главе методов для конкретных задач, с которыми может встретиться чи­ татель.

Пример 1. Пусть искомая вероятностная характеристика пред­ ставляет і_обой вероятность попадания р случайной точки U в не­ которую область Й и необходимо найти значения этой вероятности для различных областей й.

В данном случае

И р= Ь=Лф?].

Найдем коэффициент корреляции г.

Обозначим через Йі и Й2 две области, для которых необходимо найти вероятности попадания Рі и р2. Примем, что области й 4 и Q2 такие, что одна из них полностью включает другую. Для определен­ ности будем считать

Й іе й 2,

т. е.

На рис. 4.13 приведена зависимость квадрата коэффициента корре­ ляции от вероятностей рі и р2.

Пример 2. Предположим, что искомой вероятностной характери­ стикой модели системы является дисперсия Dy значения случайного

где а и &— коэффициенты системы.

198

Обозначая через аь bj и а2, Ь2 значения коэффициентов а и Ь в двух точках, получим, что

(aia2aU"Ь )4 (а\'1+ЬУѵУ{аУи + ьУѵУ ’

где сУ/ и 0 ѵ — средние квадратические отклонения U и V. Введем безразмерные коэффициенты

°и ача(7

Коэффициенты Yi и уг представляют собой отношения средних квад­ ратических отклонений первой и второй составляющих У в двух точках.

Рис. 4.13. Значение квадрата коэффициента корреляции для различных вероятностей

Р1 и Р2 .

Квадрат коэффициента корреляции будет выражаться через ко­ эффициенты yi и у2 следующим образом:

П+ТГ.Т«]*

199