
книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик
.pdfпоэтому
|
|
1, HThK H iH ] H h= |
н ] |
К Н г. |
(4.128) |
|||
|
|
Ä=1 |
|
|
|
|
|
|
Обозначая |
через |
К#, |
р{~ ]) |
и |
р(Д2) |
элементы ма- |
||
триц К, Р~' |
и P~s, можно написать, |
что |
|
|||||
К ц |
= |
н [ К |
Н и |
|
|
|
|
|
Р ' н |
|
~ H j Р ~ х Н і , |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
hi |
r jtt |
(4.129) |
|
|
k=\ |
|
|
k=\ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
S |
H T^P ~ xHi Щ р ~iHh. |
|
|
|
|||
|
k=l |
|
|
|
|
|
|
|
Используя (4.128) и (4.129), уравнения (4.127) запи |
||||||||
шем следующим образом: |
|
|
|
|
|
|||
р\~2) = *Кц |
(*./ = |
1,2,...,/). |
(4.130) |
Данные уравнения записываются в матричном виде:
Р~2 = аК |
(4.131) |
или (6, 14] |
|
Р = -^ = Л '~ ,/2. |
(4.132) |
V а |
|
Множитель Лагранжа а найдем из этого соотношения и второго уравнения (4.123):
1 __ N0
(4.133)
Sp К,/2
Из (4.132) и (4.133) получаем уравнения для опти мальных значений элементов рц матрицы Р:
P — N0 к - ' 12 |
(4.134) |
Sp К112 |
|
Общее число уравнений для определения pij, выте
кающих из матричного уравнения (4.134), равно /2. Однако ввиду симметрии матриц К и Р число незави
симых уравнений будет /(/+1)/2.
190
Воспользовавшись выражением (4.10) для матрицы Р из (4.134), получим систему линейных уравнений для
определения |
чисел |
экспериментов |
ЛД АД/,, ..., ЛД2___i |
|
различного типа: |
|
|
|
|
|
/ fe-i |
|
|
|
NiQi + |
^ |
Ni, kQi' k + |
... + |
N l 2....,Q1>2....l ■- |
i—\ |
k—2 /=1 |
Nn К - |
|
|
|
|
1/2 |
(4.135) |
|
|
|
Sp к TJT |
|
Из данных уравнений только /(/+1)/2 будут неза висимыми. Общее же количество чисел экспериментов различного типа q = 2l—1, причем
Таким образом, в общем случае уравнений для чисел экспериментов меньше (при />2), чем самих чисел. Это означает, что, по-видимому, можно рассматривать не все возможные типы экспериментов, а лишь некоторые.
Так, если ограничиться только экспериментами типа
(і) и типа (г, k ) , то количество независимых уравнений
будет равно количеству чисел экспериментов и уравне ния для них будут
I
У NtQi+ |
(4.136) |
Li |
|
i=i |
|
Решение системы уравнений |
(4.136) для определения |
Ni и Ni'k не представляет каких-либо трудностей. Дейст
вительно, каждое уравнение, полученное из недиагональ-, ных элементов матричного уравнения (4.136), содержит только одно из чисел АД&. Поэтому все числа АД/г нахо дятся просто. Подставляя найденые значения ЛД/; в урав нения, соответствующие диагональным элементам ма тричного уравнения (4.136), получим I уравнений для нахождения Ni. Каждое из этих уравнений содержит
только одно из чисел АД и, следовательно, найти их до
статочно просто.
Следует отметить, что ограничиться только экспери ментами типа (г) и (і, k) не всегда можно, так как при некоторых значениях корреляционной матрицы К систе-
191
ма уравнений (4.136) дает отрицательные значения одно го или нескольких из чисел Ni и Ni,и- Если эти отрица
тельные значения по абсолютной величине являются не большими по сравнению со средним числом эксперимен тов, приходящихся на одну точку N0/l, то можно прибли
женно соответствующие числа экспериментов взять ну левыми. Если же это не так, то ограничиться экспери ментами типа (і) и (і, k) нельзя, а числа экспериментов
различного типа следует подбирать такими, чтобы вы полнялись соотношения (4.135). В выборе чисел Ni, Ni,к, . .., N 1, г......I в общем случае есть определенный про
извол, так |
как |
их количество |
больше, чем уравнений |
(4.135). |
|
кратко на вычислении правой части |
|
Остановимся |
|||
уравнения |
(4.135), поскольку |
в нее входит сложная |
функция корреляционной матрицы К-
Для вычисления этой функции можно воспользоваться одним из методов, изложенных например, в [14]. Пусть ць Ц2, • - Ц -s— разные корни характеристического урав
нения матрицы К, |
(4.137) |
|р £ - Х |= 0 . |
Обозначим через т2, . . ., ms кратности этих кор ней. Поскольку корреляционная матрица К является ма
трицей простой структуры, то согласно [14] минимальный многочлен ее будет
ф ( ц ) = ( ц — Ц і ) ( р . — ц г ) . . • ( р — p s) ,
а поэтому |
любая функция f(K) |
будет определяться |
по |
||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
н * ) = 5 ] |
{К—,'->мВ) ...(К—Иг -1TQ (К—щ -ң £ )... {К |
щ £) |
г/ |
\ |
|||
(Рч |
"Рч) ■• • (Рч |
Рч - 1 ) (Рч~~‘Рч + i) ••• (Рч |
Ps) |
|
|
||
/ = і |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда получим, что |
|
|
|
(4.138) |
|||
|
|
|
|
|
|||
1 / 2 _ |
( К — |
|
pf.,g)(K—\Н+ ІЁ ) . . . { К ~ р ,£ ) |
-1/9 |
|||
i- 1 |
(P i |
P i) • • • (p i |
'P i - l H P t |
'P t + i) ••• (Pi |
P's) |
|
|
|
|
|
|
|
(4.139) |
||
|
|
|
|
|
|
След матрицы равен сумме характеристических чисел. Характеристические числа функции от матрицы равны
192
значениям функции от характеристических чисел. В силу этого имеем
|
(4.140) |
Sp к = S т ы - |
(4.141) |
Используя (4.139) и (4.140), можно сравнительно просто вычислить правую часть уравнения (4.135).
Приведенные выше соотношения позволяют опреде лить числа экспериментов различного типа при извест ной корреляционной матрице К. Так же как и в ранее рассмотренных случаях, матрицу К заменим ее статисти ческим значением К*, найденным по соответствующим
экспериментам. Для одновременного определения чисел экспериментов и матрицы К * можно предложить
организацию экспериментов, аналогичную ранее рас
смотренной. При этом сначала проводится |
одинако |
вое небольшое число экспериментов типа (i, k) |
с общим |
числом экспериментов, много меньшим No- По этим экс периментам находится статистическое значение К* ма трицы К и вычисляются в первом приближении опти
мальные числа экспериментов. В соответствии с получен ными числами проделанные эксперименты дополняются до найденных оптимальных чисел, но не полностью. Да лее вычисляется уточненное значение К* и вновь нахо
дятся оптимальные значения чисел экспериментов, в со ответствии с которыми эксперименты дополняются до общего числа N0.
Результаты всех экспериментов используются для вы числения оценки LQ вектора значений вероятностной ха рактеристики в I точках по формуле (4.14).
Найдем выигрыш от применения предлагаемого мето да определения вероятностной характеристики в несколь ких точках по сравнению с обычным методом, когда значения вероятностной характеристики в различных точках находятся независимо. При обычном методе на каждую точку приходится по N0/l экспериментов и сумма
дисперсий статистических значений вероятностной харак теристики будет
(4.142)
13-288. |
19а |
|
В случае применения предлагаемого метода при опти мальных значениях чисел экспериментов сумма диспер сий оценок вероятностной характеристики в соответствии с (4.124) и (4.134) будет
Ds = - t - [ S p K ' l2]\ |
(4.143) |
Выигрыш г) будем оценивать по отношению D 10 к D z.
Из (4.142) и (4.143) находим
ISpK
(4.144)
f S p K 1/2]2
Для того чтобы получить представление о возможных значениях выигрыша ц, рассмотрим случай, когда все диагональные элементы корреляционной матрицы К
одинаковы, а остальные элементы равны друг другу, т. е.
|
|
“ |
|
|
при і ф і , J |
(4.145) |
||
|
|
Ki5 = rD0 |
|
|||||
где D0 и г — дисперсия |
и коэффициент корреляции слу |
|||||||
чайных |
величин |
Ri |
и Rj |
(/, |
t= 1, 2, |
..., |
1). |
|
Корреляционная матрица К в этом случае имеет вид |
||||||||
|
|
|
|
1 г . . . |
г |
|
|
|
|
|
|
|
г 1 . . . |
г |
|
(4.146) |
|
|
|
* = А. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
г г . . . |
1 |
|
|
|
Характеристическое уравнение матрицы К в соответ |
||||||||
ствии |
(4.137) и |
с |
учетом |
(4.127) |
и |
(4.128) |
будет |
|
|
[ц—Do (1- г ) ]i— lDor[\i—D0(1— г) ]'-*= 0. |
(4.147) |
Корни характеристического уравнения равны:
рі=Д )(1—г), кратность корня ті = 1—1,
Ц2=А)(1—г)+ШоГ, кратность корня т 2=1.
Отсюда, учитывая (4.140), (4.141) и (4.144), получаем значение выигрыша
i ( i - i ) V ~ r + VT=7+7F]* ‘ 1 ‘ '
Зависимость выигрыша ц от г, вычисленная по дан ной формуле для различных I, приведена на рис. 4.12.
Минимальное значение выигрыша т) равно единице и
194
имеет место при г = 0. Максимальное значение выигрыша получается при r= 1 и равно I.
Интересно заметить, что рассмотренная в настоящем параграфе задача при условии выполнения (4.145) экви валентна задаче, исследованной в § 4.5, если для по следней принять
Af0= - y - . |
(4.149) |
Однако в решении этих задач |
есть разница, так как |
в § 4.5 дано подоптимальное решение, а здесь — опти-
Рис. |
4.12. |
Значение выигрыша р в зависимости |
от г |
для |
различных I. |
мальное, в силу чего ц должно быть больше значения
выигрыша тр задачи § 4.5. Увидеть разницу между т] и тр из сравнения рис. 4.10 и 4.12 трудно, так как р незна чительно больше тр (в § 4.5 и на рис. 4.10 величина тр обозначена через р). Проигрыш при подоптимальном
13* |
195 |
решений по сравнению с оптимальным можно оценить относительным уменьшением выигрыша
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
(4.150) |
|
Величина е |
зависит от коэффициента корреляции г. |
|||||||
Максимальное |
значение е |
при |
различных |
/ дано |
|||||
в |
табл. 4.2. |
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 4.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
3 |
|
4 |
5 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0,003 |
0,010 |
0,019 |
0,028 |
0,036 |
0,045 |
0,053 |
Из таблицы видно, что уменьшение выигрыша явля ется незначительным, т. е. подоптимальное решение до статочно близко к оптимальному.
Очевидно, что при условии (4.145) подолтимальное решение, данное в § 4.5, является оптимальным, если ограничиться экспериментами типа (г) и (i, k ) . Следова
тельно, подоптимальность его, вытекающая из условия г)>г|ь может быть обусловлена только лишь неиспользо ванием экспериментов других типов. Все это подтверж дает высказанное ранее положение о том, что при точ ном решении рассматриваемой в настоящем параграфе задачи не всегда можно обойтись экспериментами типа
(і) и (і, k).
В заключение параграфа проиллюстрируем вычисле
ние чисел экспериментов для |
двух точек. |
|
Корни характеристического уравнения (4.137) в этом |
||
случае будут |
У ( К , |
|
Кц+Кг |
к , ■ - (К и К а - К и К ч ) |
Если коэффициент |
корреляции |
г ф 0 или если он ра |
вен нулю, но КифКгч, |
то корни рі |
и рг различны. Поэто |
му .в силу (4.139) |
и |
(4.140) |
получаем |
|
||
к - т |
К |
— ң.г £ |
— 1/2 |
|
K — PiE |
i/г |
------- :— [X |
|
|
|
|||
|
І“Ч -- ta2 |
1 |
|
JJ, 2 — [ X , |
2 |
|
|
SpK1/2 |
1 / 2 |
I |
1/2I, |
|
|
|
: |
+ |
1*2 |
|
196
Уравнения для определения чисел N і, N2 и JV1,2 в соот
ветствии с (4.136) имеют вид:
|
|
|
Кн |
|
_ |
|
- N 1Л а „ а 22- а 12а 2 |
|
|||
/с,2 |
— 1 / 2 I |
А12 |
—1/2 |
||
'Н-2 1*1 |
+ |
Н-2 — ,а1 ^2 |
P-r + !*■ |
||
лл |
Ап |
■W1,2 |
K l |
|
|
Ац А22 |
A1 2 |
A2 1 |
Л/ I Au — I-I-2 ..-1/2 |
-j |
! |
|
2V„i----------- ji. |
|
|
|
P-l — P-2 |
|
|
|
M, A2 |
■N, |
An — P-, ..-1/2 |
|
------" |
|
}J.2 ™*J^l |
нГ + ^ '2 ’ |
|
|
An |
|
К\1&22 -- ^12^21 |
|
Na\ - Д5— |
1/2 |
(22 — Pi . -1/2 |
1 |
*L |
-|Г^/2 • |
||
'0 V P. "-2 n |
1 |
P2 - P. ^2 j |
Из данных уравнений находим отношения чисел экс периментов различного типа « общему числу экспери ментов:
А,,г |
|
V 1— а |
|
|
А0 |
21с + |
Ѵі — г2] |
||
А, |
_ і / А |
„ |
|
1 |
А„ |
V |
А22 |
2 [с + |
К 1 — гг ] |
Аг |
і / |
А2.2 |
|
1 |
А„ |
— У |
А „ |
2[с + |
Ѵ\ — 72] |
где |
|
|
Ац + |
Агг |
|
с = |
|||
|
|
|
Выигрыш в точности в соответствии с соотношением (4.144) будет
2с |
|
7 1 = ------------------- 7 = |
■ |
c + F l - r 2 |
|
4.7 Примеры
А . З а в и с и м о с ть к о э ф ф и ц и е н та к о р р е л я ц и и о т п а р а м е т р о в
си сте м ы и ее |
в е р о я т н о с тн ы х х а р а к т е р и с ти к |
Выигрыш |
в точности оценки вероятностных характеристик или |
в числе экспериментов при одновременном определении вероятност ных характеристик системы для нескольких значений ее параметров зависит от коэффициента корреляции значений случайной величины
197
к при этих параметрах. Поэтому |
интересно получить представление |
о том, как зависит коэффициент |
корреляции от разнесения точек |
в области параметров. Рассмотренные ниже простейшие примеры дают такое представление и позволяют в некоторой степени по ана логии оценить целесообразность использования изложенных в главе методов для конкретных задач, с которыми может встретиться чи татель.
Пример 1. Пусть искомая вероятностная характеристика пред ставляет і_обой вероятность попадания р случайной точки U в не которую область Й и необходимо найти значения этой вероятности для различных областей й.
В данном случае
(1 |
при |
( і £ й , |
\ 0 |
при |
U Её 2 |
И р= Ь=Лф?].
Найдем коэффициент корреляции г.
Обозначим через Йі и Й2 две области, для которых необходимо найти вероятности попадания Рі и р2. Примем, что области й 4 и Q2 такие, что одна из них полностью включает другую. Для определен ности будем считать
Й іе й 2,
т. е.
В данном случае |
Рі*£Рг. |
|
|
|
|
|
|
|
|
M[RA = Pi, |
Л* [«?] = |
/>., |
||
М [Я,] = р2, |
М [/?1J = |
Рі , |
||
M [ R l R i ] = p |
l . |
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
Pi О |
Pi)’ |
|
|
^RiRi ~ |
Р* ^ |
Р'к |
|
|
KR.2R2 — Рг U “ Рі) |
|
||
и квадрат коэффициента корреляции равен |
|
|||
2_ |
K R , R 2 |
_ |
Р і ( 1 — Ра) |
|
|
^ R , R , ^ R , R i |
~ |
P i ) P i |
На рис. 4.13 приведена зависимость квадрата коэффициента корре ляции от вероятностей рі и р2.
Пример 2. Предположим, что искомой вероятностной характери стикой модели системы является дисперсия Dy значения случайного
процесса У на |
какой-либо момент времени. |
Если система линейная |
|
и воздействия |
на нее определяются двумя |
случайными величинами |
|
U и V, подчиняющимися нормальному закону распределения с ну |
|||
левыми математическими ожиданиями, то |
|
||
|
R |
( a l l + Ь Ѵ ) \ |
|
где а и &— коэффициенты системы.
198
Обозначая через аь bj и а2, Ь2 значения коэффициентов а и Ь в двух точках, получим, что
(aia2aU"Ь )4 (а\'1+ЬУѵУ{аУи + ьУѵУ ’
где сУ/ и 0 ѵ — средние квадратические отклонения U и V. Введем безразмерные коэффициенты
°и ача(7
Т , = Ѵ / |
Ь2^ѵ' |
Коэффициенты Yi и уг представляют собой отношения средних квад ратических отклонений первой и второй составляющих У в двух точках.
Рис. 4.13. Значение квадрата коэффициента корреляции для различных вероятностей
Р1 и Р2 .
Квадрат коэффициента корреляции будет выражаться через ко эффициенты yi и у2 следующим образом:
П+ТГ.Т«]*
|
[1 + Y?]2 [1 + Y|J2 ' |
|
|
Если Yi и Y' 2 |
— малые величины, т. е. уі“С І |
1 Ѵ г^І, то г2 |
близ |
ко к единице и |
г2~ 1—2(YI—Уг)2. |
|
|
|
|
|
|
Если, наоборот, |
уі и Ѵ — большие величины, |
у і^ ” 1 и у2> 1 , |
то тг |
также близко к единице и |
|
|
|
|
Г2 |
|
|
199