Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

.pdf
Скачиваний:
23
Добавлен:
24.10.2023
Размер:
11.2 Mб
Скачать

поэтому

 

 

1, HThK H iH ] H h=

н ]

К Н г.

(4.128)

 

 

Ä=1

 

 

 

 

 

 

Обозначая

через

К#,

р{~ ])

и

р(Д2)

элементы ма-

триц К, Р~'

и P~s, можно написать,

что

 

К ц

=

н [ К

Н и

 

 

 

 

 

Р ' н

 

~ H j Р ~ х Н і ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hi

r jtt

(4.129)

 

 

k=\

 

 

k=\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

H T^P ~ xHi Щ р ~iHh.

 

 

 

 

k=l

 

 

 

 

 

 

Используя (4.128) и (4.129), уравнения (4.127) запи­

шем следующим образом:

 

 

 

 

 

р\~2) = *Кц

(*./ =

1,2,...,/).

(4.130)

Данные уравнения записываются в матричном виде:

Р~2 = аК

(4.131)

или (6, 14]

 

Р = -^ = Л '~ ,/2.

(4.132)

V а

 

Множитель Лагранжа а найдем из этого соотношения и второго уравнения (4.123):

1 __ N0

(4.133)

Sp К,/2

Из (4.132) и (4.133) получаем уравнения для опти­ мальных значений элементов рц матрицы Р:

P — N0 к - ' 12

(4.134)

Sp К112

 

Общее число уравнений для определения pij, выте­

кающих из матричного уравнения (4.134), равно /2. Однако ввиду симметрии матриц К и Р число незави­

симых уравнений будет /(/+1)/2.

190

Воспользовавшись выражением (4.10) для матрицы Р из (4.134), получим систему линейных уравнений для

определения

чисел

экспериментов

ЛД АД/,, ..., ЛД2___i

различного типа:

 

 

 

 

/ fe-i

 

 

 

NiQi +

^

Ni, kQi' k +

... +

N l 2....,Q1>2....l ■-

i—\

k—2 /=1

Nn К -

 

 

 

 

1/2

(4.135)

 

 

Sp к TJT

 

Из данных уравнений только /(/+1)/2 будут неза­ висимыми. Общее же количество чисел экспериментов различного типа q = 2l—1, причем

Таким образом, в общем случае уравнений для чисел экспериментов меньше (при />2), чем самих чисел. Это означает, что, по-видимому, можно рассматривать не все возможные типы экспериментов, а лишь некоторые.

Так, если ограничиться только экспериментами типа

(і) и типа (г, k ) , то количество независимых уравнений

будет равно количеству чисел экспериментов и уравне­ ния для них будут

I

У NtQi+

(4.136)

Li

 

i=i

 

Решение системы уравнений

(4.136) для определения

Ni и Ni'k не представляет каких-либо трудностей. Дейст­

вительно, каждое уравнение, полученное из недиагональ-, ных элементов матричного уравнения (4.136), содержит только одно из чисел АД&. Поэтому все числа АД/г нахо­ дятся просто. Подставляя найденые значения ЛД/; в урав­ нения, соответствующие диагональным элементам ма­ тричного уравнения (4.136), получим I уравнений для нахождения Ni. Каждое из этих уравнений содержит

только одно из чисел АД и, следовательно, найти их до­

статочно просто.

Следует отметить, что ограничиться только экспери­ ментами типа (г) и (і, k) не всегда можно, так как при некоторых значениях корреляционной матрицы К систе-

191

ма уравнений (4.136) дает отрицательные значения одно­ го или нескольких из чисел Ni и Ni,и- Если эти отрица­

тельные значения по абсолютной величине являются не­ большими по сравнению со средним числом эксперимен­ тов, приходящихся на одну точку N0/l, то можно прибли­

женно соответствующие числа экспериментов взять ну­ левыми. Если же это не так, то ограничиться экспери­ ментами типа (і) и (і, k) нельзя, а числа экспериментов

различного типа следует подбирать такими, чтобы вы­ полнялись соотношения (4.135). В выборе чисел Ni, Ni,к, . .., N 1, г......I в общем случае есть определенный про­

извол, так

как

их количество

больше, чем уравнений

(4.135).

 

кратко на вычислении правой части

Остановимся

уравнения

(4.135), поскольку

в нее входит сложная

функция корреляционной матрицы К-

Для вычисления этой функции можно воспользоваться одним из методов, изложенных например, в [14]. Пусть ць Ц2, • - Ц -s— разные корни характеристического урав­

нения матрицы К,

(4.137)

|р £ - Х |= 0 .

Обозначим через т2, . . ., ms кратности этих кор­ ней. Поскольку корреляционная матрица К является ма­

трицей простой структуры, то согласно [14] минимальный многочлен ее будет

ф ( ц ) = ( ц — Ц і ) ( р . — ц г ) . . • ( р — p s) ,

а поэтому

любая функция f(K)

будет определяться

по

формуле

 

 

 

 

 

 

 

н * ) = 5 ]

—,'->мВ) ...(К—Иг -1TQ —щ -ң £ )...

щ £)

г/

\

(Рч

"Рч) ■• • (Рч

Рч - 1 ) (Рч~~‘Рч + i) ••• (Рч

Ps)

 

 

/ = і

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда получим, что

 

 

 

(4.138)

 

 

 

 

 

1 / 2 _

( К —

 

pf.,g)(K—\Н+ ІЁ ) . . . { К ~ р ,£ )

-1/9

i- 1

(P i

P i) • • • (p i

'P i - l H P t

'P t + i) ••• (Pi

P's)

 

 

 

 

 

 

 

(4.139)

 

 

 

 

 

 

След матрицы равен сумме характеристических чисел. Характеристические числа функции от матрицы равны

192

значениям функции от характеристических чисел. В силу этого имеем

 

(4.140)

Sp к = S т ы -

(4.141)

Используя (4.139) и (4.140), можно сравнительно просто вычислить правую часть уравнения (4.135).

Приведенные выше соотношения позволяют опреде­ лить числа экспериментов различного типа при извест­ ной корреляционной матрице К. Так же как и в ранее рассмотренных случаях, матрицу К заменим ее статисти­ ческим значением К*, найденным по соответствующим

экспериментам. Для одновременного определения чисел экспериментов и матрицы К * можно предложить

организацию экспериментов, аналогичную ранее рас­

смотренной. При этом сначала проводится

одинако­

вое небольшое число экспериментов типа (i, k)

с общим

числом экспериментов, много меньшим No- По этим экс­ периментам находится статистическое значение К* ма­ трицы К и вычисляются в первом приближении опти­

мальные числа экспериментов. В соответствии с получен­ ными числами проделанные эксперименты дополняются до найденных оптимальных чисел, но не полностью. Да­ лее вычисляется уточненное значение К* и вновь нахо­

дятся оптимальные значения чисел экспериментов, в со­ ответствии с которыми эксперименты дополняются до общего числа N0.

Результаты всех экспериментов используются для вы­ числения оценки LQ вектора значений вероятностной ха­ рактеристики в I точках по формуле (4.14).

Найдем выигрыш от применения предлагаемого мето­ да определения вероятностной характеристики в несколь­ ких точках по сравнению с обычным методом, когда значения вероятностной характеристики в различных точках находятся независимо. При обычном методе на каждую точку приходится по N0/l экспериментов и сумма

дисперсий статистических значений вероятностной харак­ теристики будет

(4.142)

13-288.

19а

 

В случае применения предлагаемого метода при опти­ мальных значениях чисел экспериментов сумма диспер­ сий оценок вероятностной характеристики в соответствии с (4.124) и (4.134) будет

Ds = - t - [ S p K ' l2]\

(4.143)

Выигрыш г) будем оценивать по отношению D 10 к D z.

Из (4.142) и (4.143) находим

ISpK

(4.144)

f S p K 1/2]2

Для того чтобы получить представление о возможных значениях выигрыша ц, рассмотрим случай, когда все диагональные элементы корреляционной матрицы К

одинаковы, а остальные элементы равны друг другу, т. е.

 

 

 

 

при і ф і , J

(4.145)

 

 

Ki5 = rD0

 

где D0 и г — дисперсия

и коэффициент корреляции слу­

чайных

величин

Ri

и Rj

(/,

t= 1, 2,

...,

1).

 

Корреляционная матрица К в этом случае имеет вид

 

 

 

 

1 г . . .

г

 

 

 

 

 

 

г 1 . . .

г

 

(4.146)

 

 

* = А.

 

 

 

 

 

 

 

г г . . .

1

 

 

Характеристическое уравнение матрицы К в соответ­

ствии

(4.137) и

с

учетом

(4.127)

и

(4.128)

будет

 

[ц—Do (1- г ) ]i— lDor[\i—D0(1— г) ]'-*= 0.

(4.147)

Корни характеристического уравнения равны:

рі=Д )(1—г), кратность корня ті = 1—1,

Ц2=А)(1—г)+ШоГ, кратность корня т 2=1.

Отсюда, учитывая (4.140), (4.141) и (4.144), получаем значение выигрыша

i ( i - i ) V ~ r + VT=7+7F]* ‘ 1 ‘ '

Зависимость выигрыша ц от г, вычисленная по дан­ ной формуле для различных I, приведена на рис. 4.12.

Минимальное значение выигрыша т) равно единице и

194

имеет место при г = 0. Максимальное значение выигрыша получается при r= 1 и равно I.

Интересно заметить, что рассмотренная в настоящем параграфе задача при условии выполнения (4.145) экви­ валентна задаче, исследованной в § 4.5, если для по­ следней принять

Af0= - y - .

(4.149)

Однако в решении этих задач

есть разница, так как

в § 4.5 дано подоптимальное решение, а здесь — опти-

Рис.

4.12.

Значение выигрыша р в зависимости

от г

для

различных I.

мальное, в силу чего ц должно быть больше значения

выигрыша тр задачи § 4.5. Увидеть разницу между т] и тр из сравнения рис. 4.10 и 4.12 трудно, так как р незна­ чительно больше тр (в § 4.5 и на рис. 4.10 величина тр обозначена через р). Проигрыш при подоптимальном

13*

195

решений по сравнению с оптимальным можно оценить относительным уменьшением выигрыша

 

 

 

 

=

 

 

 

 

(4.150)

 

Величина е

зависит от коэффициента корреляции г.

Максимальное

значение е

при

различных

/ дано

в

табл. 4.2.

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 4.2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

4

5

 

6

7

8

9

 

0,003

0,010

0,019

0,028

0,036

0,045

0,053

Из таблицы видно, что уменьшение выигрыша явля­ ется незначительным, т. е. подоптимальное решение до­ статочно близко к оптимальному.

Очевидно, что при условии (4.145) подолтимальное решение, данное в § 4.5, является оптимальным, если ограничиться экспериментами типа (г) и (i, k ) . Следова­

тельно, подоптимальность его, вытекающая из условия г)>г|ь может быть обусловлена только лишь неиспользо­ ванием экспериментов других типов. Все это подтверж­ дает высказанное ранее положение о том, что при точ­ ном решении рассматриваемой в настоящем параграфе задачи не всегда можно обойтись экспериментами типа

(і) и (і, k).

В заключение параграфа проиллюстрируем вычисле­

ние чисел экспериментов для

двух точек.

Корни характеристического уравнения (4.137) в этом

случае будут

У ( К ,

 

Кц+Кг

к , ■ - (К и К а - К и К ч )

Если коэффициент

корреляции

г ф 0 или если он ра­

вен нулю, но КифКгч,

то корни рі

и рг различны. Поэто­

му .в силу (4.139)

и

(4.140)

получаем

 

к - т

К

— ң.г £

— 1/2

 

K — PiE

i/г

------- :— [X

 

 

 

 

І“Ч -- ta2

1

 

JJ, 2 — [ X ,

2

 

SpK1/2

1 / 2

I

1/2I,

 

 

:

+

1*2

 

196

Уравнения для определения чисел N і, N2 и JV1,2 в соот­

ветствии с (4.136) имеют вид:

 

 

 

Кн

 

_

 

- N а а 22- а 12а 2

 

/с,2

— 1 / 2 I

А12

—1/2

'Н-2 1*1

+

Н-2 — ,а1 ^2

P-r + !*■

лл

Ап

■W1,2

K l

 

 

Ац А22

A1 2

A2 1

Л/ I Au — I-I-2 ..-1/2

-j

!

2V„i----------- ji.

 

 

P-l — P-2

 

 

 

M, A2

■N,

An — P-, ..-1/2

 

------"

 

}J.2 ™*J^l

нГ + ^ '2 ’

 

An

 

К\1&22 -- ^12^21

 

Na\ - Д5—

1/2

(22 — Pi . -1/2

1

*L

-|Г^/2 •

'0 V P. "-2 n

1

P2 - P. ^2 j

Из данных уравнений находим отношения чисел экс­ периментов различного типа « общему числу экспери­ ментов:

А,,г

 

V 1— а

 

А0

21с +

Ѵі — г2]

А,

_ і / А

 

1

А„

V

А22

2 [с +

К 1 — гг ]

Аг

і /

А2.2

 

1

А„

У

А „

2[с +

Ѵ\ — 72]

где

 

 

Ац +

Агг

 

с =

 

 

 

Выигрыш в точности в соответствии с соотношением (4.144) будет

 

7 1 = ------------------- 7 =

c + F l - r 2

 

4.7 Примеры

А . З а в и с и м о с ть к о э ф ф и ц и е н та к о р р е л я ц и и о т п а р а м е т р о в

си сте м ы и ее

в е р о я т н о с тн ы х х а р а к т е р и с ти к

Выигрыш

в точности оценки вероятностных характеристик или

в числе экспериментов при одновременном определении вероятност­ ных характеристик системы для нескольких значений ее параметров зависит от коэффициента корреляции значений случайной величины

197

к при этих параметрах. Поэтому

интересно получить представление

о том, как зависит коэффициент

корреляции от разнесения точек

в области параметров. Рассмотренные ниже простейшие примеры дают такое представление и позволяют в некоторой степени по ана­ логии оценить целесообразность использования изложенных в главе методов для конкретных задач, с которыми может встретиться чи­ татель.

Пример 1. Пусть искомая вероятностная характеристика пред­ ставляет і_обой вероятность попадания р случайной точки U в не­ которую область Й и необходимо найти значения этой вероятности для различных областей й.

В данном случае

(1

при

( і £ й ,

\ 0

при

U Её 2

И р= Ь=Лф?].

Найдем коэффициент корреляции г.

Обозначим через Йі и Й2 две области, для которых необходимо найти вероятности попадания Рі и р2. Примем, что области й 4 и Q2 такие, что одна из них полностью включает другую. Для определен­ ности будем считать

Й іе й 2,

т. е.

В данном случае

Рі*£Рг.

 

 

 

 

 

 

M[RA = Pi,

Л* [«?] =

/>.,

М [Я,] = р2,

М [/?1J =

Рі ,

M [ R l R i ] = p

l .

 

 

Поэтому

 

 

 

 

 

 

Pi О

Pi)’

 

 

^RiRi ~

Р* ^

Р'к

 

 

KR.2R2 — Рг U “ Рі)

 

и квадрат коэффициента корреляции равен

 

2_

K R , R 2

_

Р і ( 1 — Ра)

 

^ R , R , ^ R , R i

~

P i ) P i

На рис. 4.13 приведена зависимость квадрата коэффициента корре­ ляции от вероятностей рі и р2.

Пример 2. Предположим, что искомой вероятностной характери­ стикой модели системы является дисперсия Dy значения случайного

процесса У на

какой-либо момент времени.

Если система линейная

и воздействия

на нее определяются двумя

случайными величинами

U и V, подчиняющимися нормальному закону распределения с ну­

левыми математическими ожиданиями, то

 

 

R

( a l l + Ь Ѵ ) \

 

где а и &— коэффициенты системы.

198

Обозначая через аь bj и а2, Ь2 значения коэффициентов а и Ь в двух точках, получим, что

(aia2aU"Ь )4 (а\'1+ЬУѵУ{аУи + ьУѵУ

где сУ/ и 0 ѵ — средние квадратические отклонения U и V. Введем безразмерные коэффициенты

°и ача(7

Т , = Ѵ /

Ь2^ѵ'

Коэффициенты Yi и уг представляют собой отношения средних квад­ ратических отклонений первой и второй составляющих У в двух точках.

Рис. 4.13. Значение квадрата коэффициента корреляции для различных вероятностей

Р1 и Р2 .

Квадрат коэффициента корреляции будет выражаться через ко­ эффициенты yi и у2 следующим образом:

П+ТГ.Т«]*

 

[1 + Y?]2 [1 + Y|J2 '

 

 

Если Yi и Y' 2

— малые величины, т. е. уі“С І

1 Ѵ г^І, то г2

близ­

ко к единице и

г2~ 1—2(YI—Уг)2.

 

 

 

 

 

Если, наоборот,

уі и Ѵ — большие величины,

у і^ ” 1 и у2> 1 ,

то тг

также близко к единице и

 

 

 

Г2

 

 

199

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ