книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

Натурных испытании и теоретических исследований. Предполагается, что теоретические исследования осу­ ществляются с использованием математической модели системы, представляющей отображение знаний о систе­ ме, накопленных в процессе проектирования, разработки и испытаний ее, а результаты натурных экспериментов фиксируются измерительной системой, вносящей слу­ чайные ошибки измерения. Выводятся формулы для оце­ нок вероятностных характеристик системы. Определяет­ ся точность оценок и находится выигрыш в точности за счет использования результатов теоретических исследо­ ваний. Исследуются случаи, когда часть экспериментов произведена не при окончательно выбранных парамет­ рах или не со всей системой, а с какими-либо ее элемен­ тами. Рассматривается задача об оптимальном планиро­ вании экспериментов с системой и ее различными частями. Приведенные в главе методы оценки вероят­ ностных характеристик системы иллюстрируются при­ мерами.

В четвертой главе рассматриваются методы одновре­ менного определения вероятностных характеристик мо­ дели системы для нескольких значений ее параметров при использовании метода статистических испытаний. Решаются две задачи определения вероятностных ха­ рактеристик. Первая — с требуемой точностью при ми­ нимальном общем числе экспериментов и вторая — с наилучшей точностью при заданном общем числе экс­ периментов. Материалы главы показывают,_ что при решении подобных задач Целесообразно отойти от тра­ диционного пути использования только независимых экспериментов и применять специальную организацию статистических испытаний с последующей оптимальной обработкой их результатов. Глава завершается приме­ рами и соображениями автора о возможном примене­ нии метода к решению других задач.

В пятой главе приводятся методы определения влия­ ния случайного разброса параметров модели системы на ее вероятностные характеристики. Показано, что при наличии априорных сведений о малости влияния можно, во-первых, вместо исходной рассматривать упрощенную модель системы, а во-вторых, по отношению к разбро­ сам применять аналитические методы. Анализ особен­ ностей данной задачи приводит к трем возможным ме­ тодам ее решения: оценке сверху, аналитическому

10

Глава 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МОДЕЛИ СИСТЕМЫ МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЕЗУЛЬТАТОВ АНАЛИТИЧЕСКОГО УПРОЩЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. Постановка задачи. Основные понятия

Рассмотрим в общих чертах задачу использования результатов аналитического упрощенного исследования для определения вероятностных характеристик модели системы [35]. В этой главе модель системы, вероятност­ ные характеристики которой необходимо определить, будем называть исходной системой. Будем предполагать, что вероятностные характеристики исходной системы не могут быть получены точно аналитическим путем и что для этой дели наиболее рационально применять метод статистических испытаний.

При сделанном предположении для определения ве­ роятностных характеристик аналитические методы мо­ гут быть применены только лишь в результате ряда упрощений. Наиболее типичные упрощения заключа­ ются в пренебрежении некоторыми воздействиями,

вупрощении уравнений, описывающих модель системы

ивоздействия на нее, в допущениях и предположениях, принимаемых в ходе получения аналитического реше­ ния и т. д. В большинстве случаев аналитическое иссле­ дование при перечисленных упрощениях эквивалентно точному аналитическому исследованию некоторой моде­ ли системы, которую в дальнейшем будем называть упрощенной системой.

Особо следует сказать о .воздействиях на исходную и упрощенную систему. Те воздействия, которые прило­ жены к исходной и упрощенной системам и имеют одинаковые вероятностные характеристики, будем назы­ вать внешними воздействиями. Остальные воздействия будем считать внутренними соответственно исходной и упрощенной систем и будем относить их к соответствую­ щим системам. Так, например, если при упрощении некоторыми воздействиями пренебрегли, то их будем считать внутренними воздействиями исходной системы. В ходе построения упрощенной системы может быть

12

произведено изменение описания какого-либо воздейст­ вия. При этом можно представить себе следующие два случая. В первом случае воздействие на исходную и упрощенную систему может быть получено из одного воздействия с помощью каких-либо формирующих фильтров. Тогда эти формирующие фильтры относятся к соответствующим системам, а воздействие на филь­ тры — к внешним. Во втором случае воздействие на обе системы не может быть получено из одного воздействия, тогда эти воздействия относятся к внутренним воздей­ ствиям соответственно каждой из систем.

Для более успешного и эффективного применения излагаемого ниже метода желательно по возможности большую часть воздействий отнести к внешним. Далее, если не будет оговорок, то внешние воздействия будем называть просто воздействиями.

Таким образом, в соответствии со сделанными пред­ положениями для определения вероятностных характе­ ристик исходной системы может быть применен только метод статистических испытаний, а определение вероят­ ностных характеристик упрощенной системы можно производить и аналитически.

Необходимо отметить, что в общем случае исследуе­ мые вероятностные характеристики исходной системы могут отличаться физически и по количеству от вероят­ ностных характеристик упрощенной системы, получае­ мых аналитически. Это может, например, быть тогда, когда в результате упрощений все же не удается полу­ чить аналитически все необходимые вероятностные характеристики или именно те, которые нужны. С дру­ гой стороны, как будет показано, под упрощенной систе­ мой можно понимать ряд простейших систем (простей­ ших фильтров) с различными параметрами. Причем в'последнем случае число вероятностных характеристик в упрощенной системе может быть даже больше, чем в исходной.

Естественно, что отличие рассматриваемых вероят­ ностных характеристик в упрощенной системе от вероят­ ностных характеристик в исходной или уменьшение числа первых будет приводить к меньшей эффективно­ сти метода, так как аналитически вычисленные значения вероятностных характеристик упрощенной системы бу­ дут нести меньшую информацию об искомых характе­ ристиках исходной системы. Поэтому следует стремить­

0 13

ся в упрощенной системе рассматривать искомые веро­ ятностные характеристики и по возможности все.

Возможность II способы использования результатов

аналитических исследований упрощенной системы для оценки вероятностных характеристик исходной системы всегда упираются в незнание соответствия этих систем и связи их вероятностных характеристик. Это обстоя­ тельство является причиной того, что в большинстве случаев результаты обоих исследований приводятся не­ зависимо и, как правило, подвергаются только лишь сравнительной оценке. В то же время ясно, что иссле­ дование любой разумно упрощенной системы всегда дает определенную информацию об исходной системе и правильное использование этой информации позволит получить более точное значение вероятностных харак­ теристик исходной системы.

В принципе для определения соответствия вероят­ ностных характеристик упрошенной и исходной систем можно использовать различные методы. Однако в рас­ сматриваемом здесь случае исследование исходной си­ стемы в соответствии со сделанными допущениями мож­ но производить только лишь методом статистических испытаний, а поэтому установить соответствие исходной и упрощенной систем также можно только с помощью этого метода. Очевидно, что для выявления соответст­ вия систем необходимо по возможности подавать на эти системы одни и те же воздействия. С учетом принятой ранее терминологии такими воздействиями являются внешние воздействия.

Выявление соответствия исходной и упрощенной си­ стем для излагаемого ниже метода производится по результатам некоторого числа независимых между со­ бой экспериментов совместно исходной и упрощенной систем. Причем в каждом из экспериментов внешние воздействия на обе системы одинаковы. Получаемые из этих экспериментов вероятностные характеристики явля­ ются случайными. Полной характеристикой связи их был бы закон распределения, однако найти этот закон при ограниченном числе экспериментов с надлежащей достоверностью трудно.

В то же время ясно, что установление корреляцион­ ной связи, которое возможно даже при сравнительно небольшом числе экспериментов, может быть весьма полезным. Действительно, при довольно общих условиях

14

статистические значения вероятностных характеристик подчиняются закону распределения, близкому к нор­ мальному, а корреляционные моменты случайных вели­ чин при нормальном законе распределения их полностью определяют связь случайных величин.

Исходя из сказанного в настоящей книге, установле­ ние степени соответствия исходной и упрощенной систем производится по корреляционным моментам статистиче­ ских значений вероятностных характеристик, причем эти моменты находятся по тем же экспериментам, что и сами вероятностные характеристики. Поэтому рассмот­ ренный ниже метод назван методом коррелированных процессов. Название метода подчеркивает, что его эффективность будет зависеть от степени корреляции процессов в исходной и упрощенной системах.

В дальнейшем для удобства изложения значения каких-либо вероятностных характеристик, полученные по результатам статистических испытаний, при обычной организации и обработке результатов экспериментов будем называть статистическими значениями вероятно­ стных характеристик, а вероятностные характеристики, найденные с использованием аналитических методов или при специальной организации и обработке результатов экспериментов, — оценками этих вероятностных харак­ теристик.

Ниже при получении оценок будем применять сле­ дующий метод. При выводе формул для оценок или каких-либо других формул будем предполагать, что необходимые нам значения корреляционных моментов известны точно. Далее будем показывать возможность замены их точных значений на статистические с ориен­ тировочным определением того числа экспериментов, при котором такая замена практически не изменяет точ­ ности полученной оценки вероятностных характеристик, или с определением проигрыша в точности оценки от такой замены.

Этот метод не обеспечивает получения оптимальной оценки в точном понимании этого слова, однако он по­ зволяет, во-первых, в ряде случаев решить задачу, хотя и приближенно, во-вторых, получить сравнительно про­ стые соотношения для оценок. Как будет показано, замена корреляционных моментов их статистическими значениями возможна даже при сравнительно неболь­ шом числе экспериментов.

15

I—

Излагаемый ниже метод справедлив для любых ве­ роятностных характеристик, представляющих собой математические ожидания значений некоторых случай­ ных величин, являющихся функциями значений процес­ сов в системе. Под такое понятие вероятностной харак­ теристики подходят практически все употребляемые вероятностные характеристики, математические ожида­ ния, дисперсии, корреляционные моменты, моменты выс­ ших порядков, законы распределения, спектральные плотности, вероятности и т. д.

В общем случае для исходной и упрощенной систем будем рассматривать не одну какую-либо вероятност­ ную характеристику, а векторы вероятностных харак­ теристик. Причем компонентами этих векторов могут быть различные по физическому содержанию вероятно­ стные характеристики, и число компонент этих векторов также может быть различным.

1.2. Формулы для оценок вероятностных характеристик

Обозначим через X искомый п-мерный вектор вероят­

ностных характеристик исходной системы, а через р /п.-мерный векторвероятностных характеристик упро­ щенной системы. В соответствии со сделанными пред­ положениями относительно компонент векторов X и р

дание величины, входящей в скобки; R и S — п- и т-мер- ный векторы, компоненты которых представляют собой

некоторые функции от значений процессовсоответст­ венно в исходной и упрощенной системах.

Предположим, что с исходной и упрощенной систе­ мами проведено N независимых между собой экспери­

ментов в одинаковых условиях [13]. Статистические зна­ чения X* и р* векторов Яиц, найденные по этим N экс­

периментам, будут [29]

N

Л 6

Не нарушая общности, будем считать, что экспери­ менты с одинаковыми внешними воздействиями на ис­ ходную и упрощенную системы имеют одинаковый номер, т. е. значения Rj и Sj получены при одних и тех

же внешних воздействиях.

В соответствии со сделанными в предыдущем пара­ графе замечаниями точное значение вектора р вероят­

в отыскании оценки вероятностных характеристик ис­ ходной системы по статистическим значениям вероятно­ стных характеристик исходной и упрощенной систем и точным значениям вероятностных характеристик упро­ щенной системы. Именно в этом смысле и будем пони­ мать в данной главе задачу использования результатов аналитического упрощенного исследования при опреде­ лении вероятностных характеристик системы методом статистических испытаний.

Оценку Хо вектора вероятностных характеристик бу­ дем строить в классе линейных по отношению к векто­

ности компоненты Хго и минимума ее дисперсии. Именно в этом смысле оценку Хо и будем называть оптимальной.

поэтому условие несмещенности Хш с учетом ( 1.8) будет

Так как компоненты векторов X и р могут быть лю­ быми, то матрица-строка А) имеет только і-й элемент,

равный единице, а -все остальные ее элементы равны нулю. Кроме того,

Здесь Хі*— t-я компонента вектора X*, определяемая,

исходя из (1.3), по формуле

N

(1 •12)

і=і

где Ri) — t-я компонента вектора R ).

Матрицу Сі в (1.11) найдем исходя из минимума дисперсии оценки Яіо-

через KR S — корреляционную матрицу компоненты Ri и

вектора S, а через Kss —- корреляционную матрицу век­ тора S, т. е.

= Af [(S — *») (S — ^)T].

18

Подставляя (1.17) и (1.18) в (1.14), находим

Компоненты матрицы-строки Сг должны выбираться исходя из минимума дисперсии Кт. Беря частные про­ изводные от К іо п о компонентам матрицы-строки С г- и приравнивая их нулю, получаем систему т уравнений

для определения компонент С2. Эта система может быть записана в виде одного матричного уравнения

Остановимся на интерпретации формулы (1.22). Разность р * —р равна статистической ошибке в опреде­

лении вектора р, которую удается найти благодаря зна­ нию точного значения р этого вектора.

Величина KR <.К^ (р* — р) представляет собой значе­

ние ошибки, пересчитанное для величины 7н* с учетом