книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

обеспечения требуемой точности получения оценок. Тогда, как нетрудно убедиться, корреляционная

В случае трех точек было показано, что можно най­ ти приближенно значение а не из системы неравенств

а из одного равенства путем замены r (h на среднее квад­ ратическое значение г коэффициентов корреляции, опре­

деляемое из соотношения

т

Так как

Dm = {1 -fed[/— (1—r)]}m—mar{ 1 +

то после несложных преобразований получим квадрат­ ное уравнение для определения а:

Естественно, что значение а, найденное по данной

формуле, дает не точные, а лишь ориентировочные зна­ чения чисел экспериментов Л^д.

Общее необходимое число экспериментов может быть также оценено с использованием а:

I ft-1

a выигрыш в числе экспериментов по сравнению с обыч­ ной организацией статистических испытаний и независи­ мым определением вероятностных характеристик в /точ­ ках может быть приближенно найден по формуле

На рис. 4.8, 4.9 и 4.10 приведены значения величины а и выигрыша rjo в зависимости от г при разных числах

(4.118)

______2

1 + /Т^Т*

181

Сравнивая полученное значение т]о с (4.50), можем сказать, что приведенное выше подоптимальное решение для всех / является оптимальным для 1 = 2.

При 1 = 3 из (4.115) и (4.117) получаем

Значения а и г|о, вычисленные по данным формулам,

совпадают со значениями, полученными н предыдущем параграфе и приведенными на рис. 4.3 и 4.4.

Рис. 4.8. Зависимость величины а от г для различных I.

Как указывалось в предыдущем параграфе, значение а, вычисленное по уравнению (4.94) или, что то же са­ мое, но формуле (4.119), дает в случае 1=3 при опреде­ лении по нему необходимых чисел экспериментов Ni, и лишь приближенное их значение. При 1 = 3 это прибли­

женное значение чисел экспериментов обеспечивает не­ большие отклонения в получаемой точности оценок по сравнению с требуемой. В случае 1 = 2, как видно из при-

182

веденных выше формул, полученное а дает значение

числа экспериментов, обеспечивающее точно требуемую

метров на группы с меньшим числом точек и для каждой группы отдельно опре­

делять оценки. Хотя это и приведет к некоторому проигрышу в числе экспериментов, однако обработка их результатов существенно упростится. Возможный проигрыш в числе экспериментов может быть незна­ чительным, так как при сильно разнесенных точках коэффициент корреляции между статистическими значе­ ниями соответствующих им вероятностных характеристик будет мал и совместная обработка результатов экспе­ риментов в обеих точках мало что даст в улучшении точности оценок.

Для иллюстрации этого положения рассмотрим про­ стейший пример, приведенный ранее. Предположим, что нам необходимо найти значение вероятностной характе­ ристики для шести значений параметра Т (/0= 6). Пусть Т{ = 70[1 + і ( і — 1)6]. Рассмотрим три случая:

1. 1=2— шесть точек разбиваются на три группы по

две точки; 2. 1 = 3 — шесть точек разбиваются на две группы по

три точки; 3. 1= 6 — все шесть точек исследуются вместе.

183

Хотя полученные формулы для выигрышен в числе экспериментов при 1 = 2 являются точными, при 1 = 3 — приближенными, а при 1 = 6 — ориентировочными, тем не

менее ими, по-видимому, можно воспользоваться для иллюстрации высказанного положения. Обратная вели­ чина выигрыша в числе экспериментов при разбиении

м

10 -

9 -

Рис. 4.10. Значение выигрыша До в зависимости от г для различных I.

общего числа точек на равные группы будет равна сред­ нему значению обратных величин выигрышей по всем

видно, что при больших б разбиение 6 точек на группы по 3 точки не приводит к существенному уменьшению выигрышей в числе экспериментов. Разбиение же на

184

группы по 2 точки несколько уменьшает значение выиг­ рыша.

Вернемся к соотношениям (4.115) и (4.117). Физиче­ ски ясно, что, чем больше исследуемых точек, тем боль­ ше выигрыш в числе экспериментов можно получить при

оптимальном выборе числа экспериментов различного типа, однако этот выигрыш не может расти беспредель­ но и ограничен максимальным значением г\тах, соответ­ ствующим / -> о о . Для ориентировочной оценки т\т а Х

можно воспользоваться соотношениями (4.115) и (4.117), из которых получаем

Для получения представления об отличии рассмотрен­ ного подоптимального метода от оптимального восполь­ зуемся результатами, приведенными в § 4.6. Из этого параграфа следует, что при K n = D и K i j = rD для числа

точек /<^9 подоптимальное решение даег величину вы­ игрыша в числе экспериментов меньше оптимального всего лишь не более чем на 5,3%. Этот частный случай в какой-то степени говорит о близости приведенного в на­ стоящем параграфе подоптимального решения к опти­ мальному.

Как и в случае 1 = 3, при любом / практически вме­ сто оценки LQ и чисел экспериментов Ni и ЛД/( следует

пользоваться оценкой L0' и числами Л/Д и АДД, которые вычисляются по аналогичным соотношениям с заменой

185

\

точных значений элементов корреляционной матрицы К

статистическими значениями, найденными по результа­ там экспериментов соответствующих типов.

Перейдем теперь к организации экспериментов для определения оценок при любом /. В принципе возможна различная организация экспериментов, учитывающая по­ лученные ориентировочные соотношения. Здесь мы при­

(і, k) — одинаковое небольшое число экспериментов для

каждого сочетания двух точек, после которых находятся статистические значения коэффициентов корреляции и их среднее квадратическое значение г. Далее по форму­

лам, аналогичным (4.115) и (4.106), находятся величина а и необходимые числа АДь* экспериментов. Ранее про­ веденные эксперименты типа (i, k) дополняются до (1—v)Ni'k* экспериментов. Здесь ѵ — некоторая положи­

тельная величина, меньшая единицы. Проведение не

енты корреляции и по их уточненным значениям вновь найти более точно числа N i:h*. После этого ранее проде­

ланные эксперименты дополняются до полученных чисел

N i , k *.

Результаты всех экспериментов подвергаются обра­ ботке, в ходе которой производится последовательное объединение результатов экспериментов всех типов. Это объединение рационально производить в следующем по­ рядке. Сначала к совокупности результатов всех экспе­ риментов типа (г) добавляются результаты эксперимен­ тов какого-либо типа из (i, k). Затем к полученным объ­

единенным результатам добавляются результаты экспе­ риментов какого-либо другого типа из (г, k) и т. д. Фор­

мулы для объединения результатов указанным способом аналогичны соответствующим формулам, приведенным

в § 4.4.

Поскольку необходимые числа экспериментов были определены ориентировочно, то полученная точность экс­ периментов может отличаться от требуемой. Если это от­ личие окажется существенным и неприемлемым, то не­ обходимо провести дополнительно эксперименты, уточ­ няющие оценки, точность которых оказалась недоста­ точной, например эксперименты типа (і).

186

Из изложенного выше метода определения значения одной вероятностной характеристики во многих точках следует, что точность получения оценок может быть определена в результате обработки экспериментов. И если при этом полученная точность окажется хуже тре­ буемой, то можно проделать дополнительные эксперимен­ ты, позволяющие улучшить точность оценок. Таким об­ разом, всегда можно получить требуемую точность оце­ нок, например, за счет добавления экспериментов типа

(t). Чем с меньшей точностью будут найдены необходи­ мые числа экспериментов для получения требуемой точ­ ности оценок, тем меньше будет 'выигрыш в числе экс­ периментов при предлагаемом методе по сравнению с обычным методом. Однако для полученной в результа­ те точности оценок выигрыш в числе экспериментов всег­ да будет иметь место, так как, во-первых, имеются раз­ личного типа эксперименты и, во-вторых, результаты их подвергаются оптимальной обработке.

Исходя из этого, а также учитывая рассмотренный выше метод для случая одной вероятностной характери­ стики, можно предложить следующий подоптимальный метод определения нескольких вероятностных характе­ ристик в нескольких точках.

Пусть требуемая точность определения вероятност­ ных характеристик Х\, Хг, ... Д„. задается необходимыми числами Мі, М%,.. .,Мп экспериментов при обычной орга­

низации последних и независимом определении вероят­ ностных характеристик в различных точках. Так как обычно из одних и тех же экспериментов находятся все необходимые вероятностные характеристики, то общее число экспериментов при обычной организации их равно

где

Мmax ==mаX Мі.

Предположим, что

Мтах — Мд.

Тогда всю организацию экспериментов типа (г) и (і, k)

до этапа дополнения их до требуемой точности можно производить таким же образом, как и в случае одной вероятностной характеристики, приняв в качестве тако­ вой Xq. По результатам проделанных экспериментов на­

ходятся все необходимые корреляционные моменты, про­ изводится вычисление оценок и определяется их точ-

187

ность. Если какая-либо из вероятностных характеристик (не обязательно q-я) в какой-либо точке найдена с не­

достаточной точностью, то эксперименты дополняются экспериментами типа (і) таким же образом, как это

было описано для случая одной вероятностной характе­ ристики.

Необходимо отметить, что при предполагаемой мето­ дике точность определения ряда вероятностных характе­ ристик может оказаться лучше требуемой. Однако такое же положение имеет место и при обычной организации экспериментов, когда проводится максимальное из М и

М2, ..., Мп число экспериментов.

4.6.Определение значений одной вероятностной характеристики в нескольких точках при заданном общем числе экспериментов

Пусть при заданном значении N0 общего числа экспе­

риментов необходимо с наилучшей точностью определить значения одной вероятностной характеристики ( п = 1) в нескольких точках, т. е. вектор L. В качестве характе­

ристики точности оценки L0 этого вектора примем сумму дисперсий его компонент, которую обозначим через Д .

В соответствии с (4.11)

В § 4.2 была получена формула (4.30), связывающая общее число экспериментов с матрицами К и Р. Так как

в рассматриваемом случае общее число экспериментов задано, то должно выполняться условие

Таким образом, значения чисел экспериментов раз­ личного типа будем выбирать исходя из минимума Д

при выполнении условия (4.122). Эти числа входят в Д и в условие (4.122) только через матрицу Р.

Задача определения оптимальных значений чисел экспериментов значительно упрощается, если вместо нее рассматривать задачу определения оптимальных значе­ ний элементов матрицы Р с последующим нахождением

соответствующих этим элементам чисел экспериментов. Очевидно, что обе эти задачи эквивалентны, если для

188

оптимальных значений элементов матрицы Р можно

найти реальные (т. е. положительные) числа экспери­ ментов. Принимая пока без доказательства, что именно такое положение имеет место, и вводя множитель Лаг­ ранжа а, получим систему уравнений для определения элементов рц матрицы Р :

- J i - i S p P - ' + a l S p K P - N ' ] } ^

где Hh — прямоугольная матрица размером (/XI), у ко­ торой k -й элемент равен 1, а все остальные равны нулю.

С учетом (4.124) первые уравнения (4.123) можно запи­ сать в виде

б=і

( /, /= 1 ,2 , .. . , /) .

Так как для любых і и /

+ а ^ Н \ К Н г Н ] Н к = О

б=і ( /, /= 1 , 2 , . . . , / ) .

Из свойств матрицы Ягследует, что

189