книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

Следовательно, значение е при всех величинах коэф­ фициентов корреляции не превышает 0,22. Ниже будет показано, что предлагаемый метод определения вероят­ ностных характеристик и трех точках наиболее эффекти­ вен при больших значениях коэффициентов корреляции. Если предположить, что для всех коэффициентов корре­ ляции выполняется условие

Из этой оценки, в частности, вытекает, что при гтіП= 0,9

относительное отклонение е дисперсии оценки от допу­ стимой будет не более 0,04.

Таким образом, значение а можно, не изменяя прак­ тически желаемой точности оценок, получить из уравне­ ния (4.80), а не из системы неравенств (4.79).

Уравнение (4.80) для а, записанное в развернутом виде, будет

[4 - гІ2г13г23 - ( 4 M - гіз +/2з)1 а’ - За - 1= = °- (4-83)

Покажем, что существует корень данного уравнения, дающий значение общего числа экспериментов N, мень­

шее необходимого числа экспериментов ЗМ0 при обычной организации статистических испытаний.

Полагая

У<ЗМ 0,

сучетом (4.72) получим условие, которому должен удовлетворять корень уравнения (4.83):

с тем чтобы от применения предлагаемого способа орга­ низации статистических испытаний с последующей опти­ мальной обработкой их результатов получить выигрыш в числе экспериментов. Отметим, что а является поло­ жительной, т. е.

(4.85)

170

Для того чтобы показать, что имеется корень а, удо­

влетворяющий условиям (4.84) и (4.85), убедимся, что при граничных значениях а левая часть уравнения (4.83) имеет разные знаки. Обозначая левую часть уравнения (4.83) через ер (а), получаем

171

Из неравенств (4.91) и (4.92) следует неравенство (4.88), которое мы хотели получить.

Приведенное выше доказательство позволяет сделать вывод о том, что предлагаемая организация статистиче­ ских испытаний с оптимальной обработкой их результа­ тов дает выигрыш в числе экспериментов, так как

Для того чтобы иметь представление о возможном выигрыше, было произведено вычисление его значения в зависимости от так называе­ мого нами в дальнейшем сред­ него квадратического значения г коэффициентов корреляции,

определяемого соотношением

что они в основном зависят от величины г. Однако помимо г

в уравнение для а входит про­ изведение Г12Г13Г23, которое

сучетом положительности

коэффициентов корреляции и их сравнительной близоссти, а также небольшого влияния этого произведения на результат может быть заменено на г3.

172

На рис. 4.3 и 4.4 приведены зависимости величины а и выигрыша т)о от среднего 'квадратического значения г

173

близости приведенного подоптимального решения к опти­ мальному.

На том же самом простейшем примере, который был рассмотрен в § 4.3, покажем, насколько эффективен предлагаемый метод. Пусть значения параметров Ть Т2 и Т3 равны соответственно

Т1= Т0- 72 = 70(1+б); 7’з = Г0(1 +26),

т. е. параметры 7* расположены равномерно. Величина б характеризует относительное увеличение параметра при переходе с одной точки г> на другую. При сделанных

предложениях

но из рисунка, даже при больших значениях б выигрыш ■цо остается существенным. Например, при 6 = 0,5 т]0=1,9, а при 6= 1 гіо= 1,6.

Интересно отметить, что значения величины а и вы­ игрыша цо в данном примере весьма близки к их значе­ ниям а' и ті'о, полученным ранее в предположении г12= = гі3= /*2з (см. табл. 4.1). Это еще раз подтверждает воз­ можность замены значения г12гізг2з на г3.

Из приведенных ранее рассуждений и выкладок, а также из анализа рассмотренного примера следует, что

174

определение выигрыша г|0 и величины а, по которой на­ ходится число Ni,h экспериментов типа (і, /г), можно про­

изводить с достаточной степенью точности по величине среднего квадратического значения г коэффициентов

корреляции е использованием зависимостей, приведен­ ных на рис. 4.3 и 4.4.

Остановимся теперь на способе вычисления оценки Lo. При использовании соотношений (4.73) и (4.74) при­ ходится обращать матрицу Р0 размером (3x3). Однако

в рассматриваемом случае можно вывести рекуррентные соотношения, эквивалентные указанным, в которых об­ ращение матрицы размером (3X3) заменяется обраще­ нием матриц размером (2x2).

Для получения рекуррентных соотношений введем вектор Lo* и матрицу Qo-

Д*(1)

В силу свойств матриц Q* получаем, что

175

матрица размером (2X2), получающаяся из матрицы Qi'h. зачеркиванием столбца и строки с нулевыми эле­

ментами.

176

Матрицы Ло и ЯгА весьма просто образуются из кор­ реляционной матрицы К. Матрица Л0 размером. (3X3) состоит только из диагональных элементов матрицы К, а все остальные ее элементы равны нулю. Матрица Вцг образуется из матрицы К вычеркиванием той строки и

столбца, номер которой отсутствует среди индексов i n k .

Для удобства пользования ниже приведены матрицы Ло, Hik и Віи, входящие в рекуррентные соотношения

(4Л 02) и (4.103):

Из приведенных выше рекуррентных формул (4.102) и (4.103) для определения оценки L0 видно, что при их

применении необходимо обращение матриц только лишь размером (2X2). Полученные рекуррентные формулы позволяют вычислить корреляционную матрицу Ко оцен­ ки Ьо. Действительно, из принципа получения рекуррент­

ных соотношений ясно, что

тельство может быть использовано для проверки пра­ вильности получаемого результата.

Остановимся в заключение на вопросах практическо­ го использования оценки LQ вектора значений вероятно­

стных характеристик. Для того чтобы вычислить Lo, не­ обходимо знать элементы корреляционной матрицы К,

которые можно заменить их статистическими значения­ ми, найденными по экспериментам соответствующих типов. Таким образом, практически вместо оценки Ь0 и

соответствующих соотношений путем замены точных зна­ чений элементов корреляционных матриц 'статистически­ ми значениями.

Рассмотрим коротко возможную организацию экспе­ риментов для получения оценки Ь0'. Числа Л^* экспери­

ментов типа (г) задаются соотношением (4.69) и по­ этому известны до начала экспериментов.

Числа Ni,k экспериментов типа (i, k) зависят от ко­ эффициентов корреляции гш, которые могут быть найде­

ны только лишь после проведения экспериментов этого типа. Это и обусловливает особенность в организации экспериментов. Их, йапример, можно организовать сле­ дующим образом. Вначале проводится по Л40/3 экспери­ ментов типа (г) в каждой точке. Далее для предвари­ тельного определения чисел экспериментов ЛДь прово­ дится одинаковое небольшое число экспериментов типа (/, k), по результатам которых находятся предваритель­ ные значения коэффициентов корреляции гіи*, величина а и числа Niik*. Затем проведенные эксперименты до-

178

небольшому числу экспериментов. Так, например,

вновь найти уже уточненные значения коэффициентов корреляции riih*, величины а и чисел А'гд* и дополнить эксперименты до уточненных чисел N i:k*.

4.5. Подоптимальный метод определения вероятностных характеристик с требуемой точностью в общем случае

Анализ подоптимального метода определения одной вероятностной характеристики в трех точках, проделан­ ный в предыдущем параграфе, показывает, что можно получить существенный выигрыш в числе эксперимен­ тов, даже если использовать не все типы экспериментов, а только лишь (г) и (г, k ) . При этом удается получить

рекуррентные соотношения для определения оценок, в которых обращение матриц размером (ІпХІп) = (3X3) сводится к обращению матриц меньшего размера (2пХ Х2п) = (2X2). Последнее обстоятельство, т. е. получение

достаточно простого алгоритма обработки результатов экспериментов, является весьма существенным в случае, когда число точек / и число одновременно определяемых вероятностных характеристик п больше 2—3.

Таким образом, создание подоптимального метода определения вероятностных характеристик позволяет получить существенный выигрыш в числе экспериментов при сравнительной простоте алгоритма обработки их результатов.

В данном параграфе мы рассмотрим подоптимальные методы определения вероятностных характеристик в лю­ бом числе точек для случаев, когда находится одна или несколько вероятностных характеристик.

Итак, пусть необходимо найти значения одной веро­ ятностной характеристики X в I точках с требуемой точ­ ностью, определяемой ориентировочным числом М0 экс­

периментов в каждой точке при обычном способе опре­ деления вероятностной характеристки. Будем считать, что для этих целей проводятся эксперименты типа (і) и (/, k). Причем числа соответствующих экспериментов

возьмем по аналогии со случаем трех точек равными