книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

где К — корреляционная матрица, определяемая форму­ лой (4.12) и имеющая размер (nlX.nl); D — матрица

правилу. В первом столбце блоков в строке, соответст­ вующей первому индексу при весовой матрице Q, во вто­ ром столце блоков в строке, соответствующей второму индексу,..., и в последнем (т-м) столбце блоков —

в строке, соответствующей последнему индексу, ставят­ ся единичные блоки Еп. Все остальные блоки матрицы

Я равны нулю.

Из вида матрицы Я следует, что матрица типа ЯТЛЯ образуется из матрицы А зачеркиванием блоков, распо­

ложенных в столбцах и строках с номерами, соответст­ вующими отсутствующим индексам, а матрица Я (Я ТЛЯ) Ят получается из матрицы А заменой в ней всех блоков,

находящихся в строках и столбцах, соответствующих от­ сутствующим номерам индексов, нулевыми блоками.

Для матриц А и В, обратные матрицы которых су­

ществуют, справедливо соотношение (см. приложение III)

(А + В)~1 = В - '— В - ^ А - 1+ В-Д-іД-1,

150

Учитывая, что матрица D имеет отличные от нуля толь­

ко диагональные блоки, можем написать, что

Я-1ЯЯТЯ и ЯЯЯт£)_1образуются из нулевых и единич­ ных блоков, т. е. не зависят от блоков матрицы D. По­ этому можно положить D равным единичной матрице и

считать

где Епт — единичная матрица размером (п т Х п т ).

Используя (4.24) и (4.25), выражение (4.23) в этом

блоков, номера которых соответствуют индексам матри­ цы Q. Далее полученная матрица размером (п т Х п т )

обращается. Из блоков обращенной матрицы путем со­ ответствующей расстановки их в строки и столбцы с но­ мерами, соответствующими индексам матрицы Q и за­ полнения всех остальных блоков нулевыми, образуется матрица Q. Конкретные выражения для матриц Q для

разных случаев будут приводиться в данной главе по мере необходимости.

151

Применяя формулу (2.10), получим, что

Sp KQ = Sp КН (НТКН) - 1 н \

Поскольку для любых, в том числе и прямоугольных, матриц А и В

Sp A B — Sp BA,

то, полагая

А = КН{Н*КН)-\

в = я т,

получаем

Sp KQ = Sp HrKH (НТКН)- 1= Sp Emn.

■Откуда и вытекает соотношение (4.28).

Используя соотношение (4.28), а также формулы '(4.10) и (4.4) для матрицы Р и общего числа экспери­ ментов N, легко получить связь между N и Sp KP:

определения значений одной вероятностной характери­ стики (и = 1) в нескольких точках,

Данное соотношение, дающее связь общего числа экспериментов N с корреляционной матрицей К и весо­ вой матрицей Р, будет использовано при решении зада­

чи наиболее точного определения значений вероятност­ ной характеристики в случае заданного общего числа экспериментов.

4.3. Определение одной вероятностной характеристики в двух точках с требуемой точностью

Рассмотрим случай, когда необходимо найти значе­ ния Яі и Яг одной вероятностной характеристики Я для двух значений вектора параметров, т. е. в двух точках. Этот частный случай является наиболее простым, однако он имеет самостоятельное значение, и, кроме того, как будет показано ниже, результатами его можно восполь­ зоваться для подоптимального решения задачи в более сложных случаях.

Так как исследуется одна вероятностная характери­ стика, то вектор Я является одномерным и представляет

152

собой число. Далее, определение вероятностной харак­ теристики производится только в двух точках, т. е. 1 = 2,

Общее число экспериментов, проведенных в различ­

Обозначим значения Ri и R2 в экспериментах различ­ ных типов соответствующими индексами вверху, а в /-м

эксперименте данного типа — индексом / внизу и вве­ дем величины

ff,

(4.33)

/ = 1

153

Кроме того, вводя формально величины Я*( и Я* образуем векторы L*lt L*2 и L*li2:

Перейдем к определению чисел экспериментов, кото­ рые найдем из условия минимума общего числа N экс­

периментов при требуемой точности определения значе­ ний Аі и А2 вероятностной характеристики, которую будем задавать допустимыми значениями дисперсий Dі и D2 оценок Аю и А2о-

Дисперсии оценок Аю и Аго, найденные из соотноше­ ния (4.39) , будут

А,

154

i'Aé

Для дальнейшего удобно ввести величины ЛД и УИ2:

Нетрудно убедиться, что ЛД и Лі2 равны числам экс­ периментов, которые необходимо произвести в первой и второй точках для получения допустимых значений дис­ персий Di и D2 статистических значений вероятностной

характеристики при обычной организации эксперимен­ тов и независимом определении вероятностных характе­ ристик в двух точках.

Условия (4.41), записанные с учетом (4.40) и (4.42),

155

Минимальное значение N при выполнении условий

(4.43) получается при

Общее необходимое число экспериментов при обыч­ ной организации экспериментов и независимом опреде­ лении вероятностных характеристик в двух точках равно

Хю и Хго задается не допустимыми значениями диспер­ сий DI и Dz, а ориентировочно необходимыми числами

156

Зависимость выигрыша т)о от коэффициента корреляции г представлена на рис. 4.1.

Формулы для оценок Аю и А2о при оптимальных чис­

Эти формулы хорошо интерпретируются. Рассмотрим, например, оценку Я10. При ее получении отводится оди­

наковая роль статистическим значениям Я*(І) и Я*(І,2),

хотя Я,<1,2) получено по меньшему числу экспериментов,

чем Я,(І). Это объясняется тем, что за счет статистических

значений Я*(2) и Я*(1'2) вероятностной характеристики во

ходится Я|(І,2), и более существенна роль поправки. Ввиду того что точные значения вероятностных харак

157

Тёристик В двух точках Я, и Я2 могут быть, вообще Го­ воря, любыми, вводимая при определении ЯІ0 поправка зависит не от значений Я*(2) и Я*(1,2) в отдельности, а от их разности.

Перейдем теперь к рассмотрению вопросов практиче­ ского использования приведенных выше оценок. Как

Рис. 4.1. Зависимость выигрыша г)0 от коэффициента корреляции г для случая двух точек.

указывалось ранее, точные значения дисперсии и корре­ ляционных матриц, входящих в матрицы Qi, Q2 и Q1,2

и соответственно в формулы для чисел экспериментов, можно заменить их статистическими значениями. Так, например, для матриц Qi и Q2 статистические значения дисперсий Ки и К2 2 определим по формулам

лщ

/ = 1

=т^Ею,-вѵ,,г

/=і

N *

(4.52)

/=1

= т^ £ Ю ’ - і4 ' Т .

;=i

158

а для матрицы Q1j2 статистические значения дисперсий

указывают на то, что сами эти числа находятся по соот­ ветствующим формулам, в которых точные значения дис­ персий и корреляционных моментов заменены их стати­ стическими значениями. Таким образом, /Си*', Кп* и Кі2*

Nifi* вычислять после каждого эксперимента, прекращая

эксперименты определенного типа тогда, когда фактиче­ ское число экспериментов станет больше расчетного. От­ метим, что для этих целей удобно формулы для Кп*, Кп* и /Сі2* привести к рекуррентному виду.

Поясним сказанное на примере оценок, определяемых соотношениями (4.51). В данном случае практическиреа-

159