книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

Здесь «г — матрица-строка частных производных и qiu —

истинное значение вектора qі. О способе получения ма­ трицы-строки типа сц говорилось в § 3.2. Вектор Ѵц представляет собой значение вектора Ui в /-м экспери­

менте с системой.

Аналогично, расчетное значение вероятностной харак­ теристики і-й модели .системы, полученное по результа­ там Ni экспериментов с і-й частью системы, будет

Вектор U'ij — значение вектора Ui в /-м эксперименте с і-й частью системы. Векторы Uij и U'a независимы и имеют одинаковые законы распределения. Поэтому Рц и P'ij также независимы и имеют одинаковые законы

распределения.

Для статистических значений р,* и р,і* вероятност­ ной характеристики і-й модели системы подобно (3.10)

можно написать

(3.94)

где S i j и S ' i j — значения S { в /-м эксперименте соответ­

ственно с системой и t-й частью системы.

Величины Sij и S'ij независимы и имеют одинаковые

Щ

где

практически использовать оценку Яюь которая получается путем замены корреляционных матриц (3.100), диспер­ сий и корреляционных моментов (3.102) их статистиче­ скими значениями. Последние находятся по результатам экспериментов с самой системой, а для дисперсий и кор­ реляционных моментов (3.102) можно дополнительно использовать эксперименты с соответствующими частями системы.

Таким образом, практически реализуемая оценка Ко\

получается по формуле, аналогичной (3.79). Причем матрицы А, В, С и D находятся по соотношениям (3.85),

(3.99) и (3.101) с заменой матриц (3.100) и величин

(3.102) их статистическими значениями.

Как было показано в гл. 1, точность оценки типа Коі при достаточно большом числе N близка к точности оценки Я0. Дисперсию Ко оценки Ко можно получить, под­ ставив выражения (3.85) для А, В, С и D в (3.81).

Однако предварительно удобно воспользоваться -соотно­ шениями (3.80), (3.83) и (3.84), с помощью которых получим

*0 = Л\х + А К ъ + В К Х и = К п + К Л А Т + KVo,ßT. (3.103)

Подставляя значения Ат и ß T и воспользовавшись ранее введенными обозначениями, получим

132

экспериментов А/, а диагональные элементы фсі+і и фм+і диагональных матриц Фс и Фр пропорциональны числу экспериментов А^.

Таким образом, дисперсия Ко оценки Ло(Яоі) зависит от числа экспериментов N, с системой и чисел экспери­ ментов N 1, К2 , ..., Nm с различными частями системы.

3.6.Об оптимальном планировании экспериментов

ссистемой и ее различными частями для получения оценки вероятностной характеристики системы

Впредыдущем параграфе было показано, каким об­ разом по результатам натурных экспериментов с самой системой и ее различными частями и результатам тео­ ретических исследований с использованием модели си­ стемы можно найти оценку вероятностной характеристи­ ки системы. Точность этой оценки характеризуется дис­

Вклад, вносимый в точность оценки различными экс­ периментами, разный.

Стоимость получения оценки вероятностной характе­ ристики системы по натурным экспериментам определя­ ется, особенно для сложных систем, в основном стои­ мостью этих экспериментов. Поэтому, пренебрегая стои­ мостью теоретических исследований, необходимых для оценки вероятностной характеристики системы, можем написать, что стоимость Л0 получения оценки будет

т

где А и А і — стоимость одного эксперимента с системой и і-й частью ее.

Зная зависимости дисперсии оценки и стоимости ее получения от чисел экспериментов N, Nи Л/2, ..., Nm,

можно решать задачу оптимального планирования экс­ периментов, т. е. выбора указанных чисел, например, с 'Целью получения наименьшей дисперсии Ко при задан­

ном значении стоимости Л0 или, наоборот, наименьшей стоимости Ло при необходимом значении дисперсии Ко-

133

При этом необходимо иметь в виду, что зависимость (3.105) до проведения экспериментов неизвестна. Как следует из предыдущего параграфа, зависимость (3.105) можно найти, проведя достаточное число экспериментов только с самой системой.

Пусть N' — число экспериментов с системой, доста­

точное для получения зависимости (3.105). Тогда выбор чисел N, N 1, іѴ2, ..., Nm следует производить, исходя из

вышеуказанных соображений с учетом ограничительных условий

N N',

(3.107)

N t > 0 (і = 1, 2,... ,m).

Для определения N' можно рекомендовать, напри­

мер, следующую процедуру. Сначала проводится срав­ нительно небольшое число экспериментов с системой (порядка 10) и решается задача по определению опти­ мальных чисел экспериментов. Затем после каждого но­ вого эксперимента с системой производится вновь опре­ деление этих чисел. Достаточность числа N' проведенных

экспериментов оценивается по стабильности чисел экспе­ риментов, получаемых при решении оптимальной зада­ чи. Далее порядок проведения экспериментов в прин­ ципе может быть любой. Однако желательнее провести сначала эксперименты с системой, а затем с ее элемен­ тами, так как зависимость (3.105), полученная по N

экспериментам, будет более точной, чем полученная по N' экспериментам ( N ' ^ N ) . При этом эксперименты

с системой можно производить до тех пор, пока их число не превысит оптимального N, найденного при фактически

проделанном числе экспериментов.

Из изложенного следует, что реализация оптималь­ ного планирования экспериментов требует проведения сначала экспериментов с системой и лишь потом с ее отдельными частями, что, вообще говоря, противоречит логике и обычно складывающемуся порядку испытаний. Действительно, отдельные части системы, как правило, бывают подготовлены к испытаниям раньше, чем вся си­ стема. Кроме того, отработку системы рациональнее вести, отладив и испытав сначала отдельные ее элемен­ ты. Таким образом, до начала испытаний системы уже имеются проведенные эксперименты с ее различными частями. Причем объем имеющегося экспериментального материала определяется не задачей оценки вероятност-

134

ных характеристик системы, а какими-либо другими за­ дачами.

Пусть числа предварительных экспериментов с раз­ личными частями системы, пригодных для оценки веро­ ятностной характеристики системы, равны N \, N'z, ..., N'm. Для получения зависимости (3.105) проведем до­ статочное число N' экспериментов с системой. При по­

строении зависимости (3.105) целесообразно также при­ влечь результаты экспериментов с частями системы, так как это позволит повысить точность этой зависимости или уменьшить достаточное число экспериментов N'.

Выбор оптимальных чисел экспериментов N, Лгь Nz, ..., Nm в рассматриваемом случае необходимо про­

изводить с учетом ограничительных условий

(3.108)

Определение достаточности числа N' можно осуществ­

лять как и в предыдущем случае.

С математической точки зрения рассмотренные в дан­ ном параграфе задачи определения оптимальных чисел экспериментов являются задачами нелинейного програм­ мирования.

3.7. Примеры

Пример 1. Рассмотрим пример определения вероятностных ха­ рактеристик системы по результатам натурных испытаний и теоре­ тических исследований. В этом примере производилась математиче­ ская имитация натурных испытаний системы.

экстраполятора и объекта управления. Объект управления является нелинейным и нестационарным. В каждом эксперименте параметры объекта управления принимают случайные значения. Измерительная система производит измерение значений внешних воздействий и про­ цесса в системе со случайными ошибками. К объекту управления приложено случайное внутреннее воздействие, которое измерительной системой не фиксируется.

Приведем формулы и уравнения, по которым определялись воз­ действия на систему и процессы в ней при имитации натурных экспериментов.

Полезное воздействие на систему представляет собой линейную функцию времени со случайными коэффициентами оо и ак

* п о л ( 0 = й0 + й Ц.

Случайные величины оо и at независимые, йо имеет равновероят­ ный закон распределения в пределах от —aQmax до аотах, йі под-

135

чиняется нормальному закону распределения с нулевым математиче­ ским ожиданием и средним квадратическим отклонением о0 .

Дискретный измеритель системы производит измерение значений полезного воздействия в дискретные моменты времени tk = kT, где Т — период дискретности. При измерениях вносится независимая от

Рис. 3.3. Структурная схема системы.

замера к замеру ошибка (вредное воздействие), подчиняющаяся нормальному закону распределения, имеющая нулевое математиче­ ское ожидание и среднее квадратическое отклонение, линейно изме­ няющееся от времени. Таким образом, на выходе дискретного из­ мерителя системы получаем

Х(ік) = Х п, л( ік)+Хвр(Ік).

Здесь XBV(tk) — ошибка, вносимая измерителем системы,

X Bp{tk) = ( f o + f i l ) Uh,

где fo и fi •— неслучайные величины; Uk(k= 1, 2 , ... ) —-независимые случайные величины, подчиняющиеся нормальному закону распре­ деления, имеющие нулевое математическое ожидание и среднее квад­ ратическое отклонение, равное единице.

Линейный экстраполятор по значениям X(tk) формирует воз­

Линейный экстраполятор включается в момент to=k0T. Управле­ ние объектом осуществляется по рассогласованию s(^) между воз­ действием Z{i) и процессом V(t)\

e( t ) =Z( t ) - V( t ) .

Уравнения объекта управления:

Ф(0 = ?(*).

П < Ж 0 + У ( 0 = Ф(0 + Х вцутр (0 t

№

ё этих уравнениях: ср (і) и ф(і') — Значения процессов в объектё

Переменный параметр объекта Т[і) имеет вид

T{t)=C + Dt,

где С и D — постоянные параметры.

Постоянные параметры В, Ь, С и D имеют математические ожи­ дания Во, &о, Со и Do и независимые между собой и от эксперимента к эксперименту случайные отклонения AB, Ab, АС и AD, подчиняю­ щиеся равновероятным законам распределения в интервалах соот­ ветственно: —ABmax~T~ABm ахг —АЬщ ах АЬщ ах, —ACrnax~r-ACmax И

ADmax~^~ AB7п аX'

Внутреннее воздействие периодическое и случайное: Лвнутр (О =А sin (юі+ß),

где со — постоянная частота; А — случайная амплитуда, равновероят­ но распределенная в интервале от 0 до Amax\ ß — случайная фаза, равновероятно распределенная от 0 до 2я.

Все начальные условия являются нулевыми.

Интересующей нас вероятностной характеристикой системы яв­ ляется дисперсия % отклонения У координаты объекта от полезного воздействия на момент времени (,п = тГ . Измерительная система про­ изводит измерение этого отклонения с ошибкой ЛУИЗИ.

Следовательно, после каждого эксперимента измерительная си­ стема выдает величину

Уизм~-^под (^m) —У{tm) “КДУизм-

Ошибка АУизм измерительной системы независима от экспери­ мента к эксперименту, подчиняется нормальному закону распреде­ ления, имеет нулевое математическое ожидание и среднее квадрати­ ческое отклонение Оду.

В соответствии с оговоренными в § 3.1 условиями

Х = ЛГ f/?J. R = УңЗМ-

Здесь предполагается, что математическое ожидание УЯЗм равно нулю.

Из трех воздействий на систему ХпОл(0, Явр{<) и Л'ВНУтР(0 измерительная система производит измерение лишь Хаол(1) и XBV(t). Причем измеряются параметры ап и а, полезного воздействия и зна­

нормальному закону распределения, имеют нулевое математическое

137

По результатам N натурных экспериментов системы получаются М реализаций величин УИзм, Ооизм, amзм и Хкшзм. Значения этих и других величин в /'-й реализации будем обозначать индексом /'.

Статистическое значение А,* вероятностной характеристики X си­ стемы, полученное по результатам Л' натурных экспериментов, будет

/ = І

Модель системы отличается or самой системы. Она является линейной и имеет неслучайные параметры, значения которых равны математическим ожиданиям параметров системы. Воздействиями на модель системы являются полезное и вредное воздействия, кото­ рые формируются на основании измеренных значений а 0Изм и а 1Изм параметров полезного воздействия и измеренных значений ЙГдизм вредного воздействия.

Отмечая штрихом соответствующие переменные величины в мо­ дели системы, уравнения ее с учетом изложенного можем записать в виде

Ф' (<) = <?' (0.

r 0(0 V' (t) + v (Н = Ф' (t),

При нулевых начальных условиях уравнение (3.110) эквивалентно системе уравнений (3.109). Коэффициенты бо, бі и ук были получены в результате численного интегрирования системы уравнений (3.109). Значения уь> 'öo и бі представляют собой значения V при условии,

138

Вероятностной характеристикой модели системы является дис­ персия р' значения У', т. е.

P- = M[S], I

(3.111)

S --= (У')2. /

Расчетное значение р0 вероятностной характеристики можно получить, используя соотношения (3.110) и (3.111):

І= 1

N

(3.113)

D *a0 — “ДГ Л (а0изм Ь'>

/=1

N

139