книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

Л. а — соответствующие дисперсии и корреляционные ^опГои

моменты случайных величин Я*, р*, р0, р*ц и роП.

Используя 'приведенные выше формулы для К*, р*,

ро, рп* и реп, а также принятые ів § 3.2 обозначения, не­ трудно получить, что

(3.65)

Минимум дисперсии Ко при условии (3.63) будет при следующих значениях коэффициентов b, с, d и е:

С учетом (3.62) формула (3.61) для оценки л0 при­ нимает вид

120

Входящие в данную формулу (коэффициенты Ь, с, d и е вычисляются по соотношениям (3.66).

Дисперсия Ко оптимальной оценки Ао в силу (3.64) —

(3.66) будет иметь вид

ее (вычисления необходимо знать дисперсии и корреля­ ционные моменты, входящие в коэффициенты b, с, d и е. Поэтому вместо оценки Хо будем рассматривать практи­

чески реализуемую оценку Аоі, которую можно вычислить по формуле

вместо истинных значений дисперсий и корреляционных моментов их статистических значений, найденных по ре­ зультатам натурных экспериментов. Статистические зна­ чения величин K RS, Крр, KS S , Ksp и Крр можно, напри-

12)

мер, найти по формулам:

/=і

N

1

"лГ Е{Ri — Я*) a m ui) /=1

Аналогично тому, как это делалось в тл. 1, можно показать, что даже при сравнительно небольшом числе экспериментов N оценки Хо и Я.оі близки по точности. При

этом точность оценки Хоі приближенно характеризуется дисперсией Ко, а выигрыш в точности этой оценки по сравнению е точностью статистического значения I* —

величиной т]о- Напомним, что величина т)о представляет также и выигрыш в числе экспериментов при одной и той же точности получения вероятностных характеристик от использования результатов теоретических исследова­ ний.

Интересно определить увеличение дисперсии оценки Хо за счет того, что не все натурные эксперименты могут быть отнесены х окончательным. Если все N + Na экспе­ риментов относятся к окончательным, то дисперсия К 'о

оценки вероятностной характеристики будет

Увеличение дисперсии оценим относительной величи­ ной

122

Из (3.68) и (3.73) получаем

В предельном случае, когда модель системы совпа­ дает с самой системой, все воздействия на модель и систему являются внешними и ошибки измерительной системы пренебрежимо малы, то

R = S.

Тогда

KRR = Kp,s~ Kss, KRP = KSP

и

8= 0.

Таким образом, в предельном случае увеличение дис­ персии оценки за счет того, что не все натурные экспе­ рименты относятся к окончательным, отсутствует. Следо­ вательно, чем ближе модель системы к самой системе, чем большая часть воздействий относится к внешним и чем меньше ошибки измерительной системы, тем меньше потери в точности оценки вероятностной характеристики за счет того, что часть натурных экспериментов была произведена не при окончательно выбранных значениях параметров системы.

В заключение определим выигрыш в точности оценки за счет использования результатов предварительных на­ турных испытаний.

Если «е использовать результаты этих испытаний, то дисперсия оценки находится по формуле (3.41), а при использовании их— по формуле (3.68). Отношение % указанных дисперсий будет определять выигрыш в точ­ ности за счет привлечения результатов предварительных натурных экспериментов. Это отношение равно

(3.76)

123

Б рассмотренном выше предельном случае

3.5. Оценка вероятностных характеристик системы по результатам натурных испытаний системы и ее отдельных частей и результатам теоретических исследований

Натурным испытаниям системы, предназначенным для сценки ее вероятностных характеристик, обычно предшествуют всесторонние и значительно большие по числу экспериментов испытания ее частей (отдельных элементов или совокупностей элементов). Причем усло­ вия проведения некоторых (как правило большей части) из этих экспериментов соответствуют условиям проведе­ ния натурных экспериментов системы, предназначенных для оценки ее вероятностных характеристик. Естественно, что результаты натурных экспериментов частей системы несут определенную информацию о (вероятностных ха­ рактеристиках системы, а использовать эту информацию, по-видимому, удобнее всего с привлечением модели си­ стемы.

Итак, пусть с системой и т ее различными частями проведены N и Nu М2, ..., Nm независимых натурных

экспериментов в одинаковых условиях, соответствующих условиям, для которых необходимо найти вероятностные характеристики системы. Отметим, что в общем случае различные части системы, с которыми проведены натур­ ные эксперименты, могут иметь некоторое число одинако­ вых элементов, т. е. под различными частями системы понимаются различные совокупности элементов системы. Так, например, если система состоит из трех элементов А, В и С, то возможные оазличные части системы будут

А, В, С, (AB), (АС) и {ВС).

Каждую часть системы можно дополнить моделью недостающих элементов до полной системы. В дальней­ шем модель недостающих элементов будем называть про­ сто моделью дополнения. Внешними воздействиями для модели дополнения являются измеренные значения соот­ ветствующих процессов части системы при ее натурных испытаниях. Внутренними воздействиями модели допол­ нения являются все остальные недостающие воздействия. Внутренние .воздействия формируются в самой модели

124

Дополнения на основе Имеющейся априорной информаций об этих воздействиях.

В дальнейшем для простоты изложения k-ю часть си­

стемы, элементы измерительной системы, обеспечиваю­ щие измерение 'Процессов на выходе ее, и соответствую­ щую модель дополнения будем в совокупности называть k-й моделью системы (рис. 3.2). Такое название являет­ ся условным, так как k-я модель системы не просто мо­ дель, а содержит k-ю часть системы. Помимо k-x моде­

лей системы, так же как и в § 3.2, будет рассматривать­ ся собственно модель системы.

к - я модель системы

Рис. 3.2. Схема k-Ъ. модели системы.

Вероятностную характеристику системы, ее модели и k-x моделей системы будем обозначать соответственно через X, ц и (k = 1,2, ... , т). Как и ранее, будем счи­

тать, что X, |л и |ід представляют собой математические ожидания соответствующих функций значений процес­ сов в системе, ее модели и /г-й модели системы.

Вобщем случае значения вероятностных характери­ стик X, |х и \хк могут быть различными.

Впредыдущих параграфах было показано, каким об­ разом используются предположения об измерительной

системе, приведенные в § 3.1. Поэтому в данном пара­ графе, предполагая выполнение условий § 3.1 относитель­ но измерительной системы, мы не будем указывать каж­ дый раз на то, какое конкретно условие используется.

Перейдем непосредственно к построению оценки Хо вероятностной характеристики X по результатам натур­ ных испытаний системы и ее отдельных частей и резуль­ татам теоретических исследований.

По результатам натурных испытаний системы (N экс­

периментов) могут быть найдены статистическое значе­ ние X* вероятностной характеристики системы и стати­ стические (X*, [і/г* (&=1, 2, ..., т) и расчетные p0, цьо {k=\, 2, ..., т) значения вероятностных характеристик модели и k-x моделей системы. О том, как вычисляются

125

значения р* и р0 вероятностной характеристики модели системы, 'говорилось в § 3.1.

Значения р/£* и им вероятностных характеристики k-й

модели системы находятся аналогично р* и ро, с той лишь разницей, что вместо модели системы исследуется k-я модель дополнения. При этом естественно вместо

измеренных значении воздействий па систему (ее мо­ дель) рассматриваются измеренные значения процессов на выходе k-я части системы, которые являются воздей­

ствиями на модель дополнения.

По результатам натурных испытаний k-я части си­ стемы (Nh экспериментов) могут быть определены ста­

тистическое рйі* и расчетное рш значения вероятност­ ной характеристики р& k-я модели системы.

Так как к*, р*, р0, р** и рм (k—l, 2, ..., т) получе­ ны по N экспериментам самой системы, то >в общем слу­ чае они все зависимы. Также для каждого k зависимы между собой pfti* и рш, поскольку они получены по Nh экспериментам k-я части системы. Однако при k=£i ры*

и pfeoi не зависят от р«* и ртоі, так как согласно сделан­ ным предположениям эксперименты с различными ча­ стями системы независимы.

Для дальнейшего удобно ввести вектор (матрицустолбец) V вероятностных характеристик р, рі, рг, .... р™ моделей системы:

н

Hi

(3.77)

Hm

Из сказанного следует, что по N экспериментам си­

стемы определяются статистическое ѵ* и расчетное ѵо значения вектора ѵ. По экспериментам всех частей систе­ мы находятся статистические и расчетные значения всех, кроме первой, компонент вектора ѵ. С целью упрощения вывода формулы для оценки вероятностной характери­ стики будем условно принимать, что находится и первая компонента, однако ее дисперсию после получения фор­ мулы примем равной бесконечно большой величине. Та­ ким образом, с учетом принятой условности можно счи­ тать, что по экспериментам со всеми частями системы можно получить статистическое ѵі* и расчетное ѵоі зна-

126

чения вектора ѵ вероятностных характеристик моделей. Оценку Яо 'вероятностной характеристики Я системы будем 'получать в классе линейных несмещенных опти­ мальных в смысле минимума дисперсии оценок через Я*, V*, ѵо, Ѵі* и ѵоі. Таким же образом, как и в предыдущих

параграфах, можно показать, что М]А*] = Я,

М [ѵ*] = М [ѵ0] — М [ѵ*,] = М [ѵ01] = V.

В силу (3.78), а также с учетом того, что Я и компо­ ненты вектора ѵ могут различаться, формулу для линей­ ной несмещенной оценки запишем в следующем виде:

оптимальными в -смысле минимума дисперсии К о оценки

Яо при выполнении условия (3.80).

Учитывая (3.80) и сделанные ранее замечания отно­ сительно зависимости Я*, ѵ*, ѵо, ѵі*, ѵоі, получим следую­ щее выражение для дисперсии К о оценки Яо:

где

=M [(v*, — v) (v*j — v)TJ,

^= AJ[(ve, - v ) ( v ei- v ) Tj,

= M [(Л “ V) (VQ1 - V)T],

127

В силу того, что эксперименты с различными частями

столбец 2F множителей Лагранжа, получим следующую систему уравнений для А, В, С и D, дающих минимум

К уравнениям (3.83) и (3.84) необходимо добавить уравнение (3.80). Решая эти уравнения и учитывая, что первые компоненты статистического ѵі* и расчетного ѵОІ значений векторов вероятностных характеристик имеют бесконечно большие дисперсии, получим

Лт = ФДФ, + Фв + Фс + Ф„) - (F, + FB) - F A,

где £ — единичная матрица.

128