книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

3.3. Точность оценки вероятностной характеристики. Выигрыш в точности оценки или в числе натурных экспериментов за счет использования результатов теоретических исследований

Точность оценки вероятностной характеристики, по­ лученной по результатам натурных испытаний и теоре­ тических исследований, будем характеризовать ее дис­ персией. Оценка К о и практически используемая оценка Кои как указывалось выше, близки по точности. Поэтому дисперсию Ко оценки К о даже при сравнительно неболь­

шом числе экспериментов можно считать с достаточной степенью точности равной дисперсии оценки ?„оі-

Дисперсию Л'о найдем, подставляя с из (3.18) в (3.17):

(3.39)

Учитывая (3.30) и то, что

Если не учитывать результаты теоретических исследо­ ваний, то по натурным испытаниям можно найти только лишь статистическое значение К* вероятнбстной харак­ теристики системы, дисперсия которого равна Кхх. *

Выигрыш в точности оценки К о ( К о і ) от использования

(3.43)

( K R S K R P ) 1_________

КRR (Кss 2^SP+ Kpp)

Очевидно, что г)0 представляет собой также выигрыш в числе экспериментов от использования результатов теоретических исследований при одинаковой точности по­ лучения ее вероятностных характеристик.

112

Так как стоимость натурных экспериментов особенно сложных систем обычно намного превышает стоимость теоретических исследований, то величина т]о, характери­ зующая выигрыш в числе экспериментов, будет также определять выигрыш в стоимости исследования по оцен­ ке вероятностной характеристики системы.

Таким образом, значение rjo определяет эффектив­ ность привлечения результатов теоретических исследова­ ний системы к оценке ее вероятностных характеристик по натурным экспериментам.

Очевидно, что наибольший выигрыш в точности или

вчисле экспериментов будет тогда, когда модель систе­ мы наиболее близка к системе и ошибки измерения не­ существенны. Отметим, что полная идентичность модели и системы в соответствии с введенными ранее понятиями возможна только при условии, что внутренние воздейст­ вия в модели и системе отсутствуют. Это означает, что

всистеме не имеется неисследованных воздействий, а из­ мерительная система обеспечивает измерение всех воз­ действий.

Предельное значение rjoo выигрыша rjo будем опреде­ лять в предположении, что модель и система полностью идентичны и ошибки измерительной системы нулевые. Значения R, S и Р при этих условиях обозначим через Ro, S a и Ра. Очевидно, что

Отсюда и и з '(3.43) получаем предельное значение вы­ игрыша:

Для того чтобы получить представление о возможных значениях предельного выигрыша, рассмотрим частный случай. Пусть система (модель системы) является линей­ ной, а искомая вероятностная характеристика ее — дис­ персия значения У какого-либо процесса. В силу линей­

ности системы

тать независимыми между собой, подчиняющимися нор-

мальному закону распределения с нулевыми математиче­ скими ожиданиями и средними квадратическими откло­ нениями Оі ( /=1 ,2, ... , т).

Так как искомой вероятностной характеристикой си­

г= 1

Учитывая, что Ui независимы и подчиняются нормально­

му закону распределения, из (3.45), (3.47) и (3.50) полу­ чаем

Если величина едет* одинакова для всех г, то

роо — t r i ,

т. е. предельный выигрыш роо равен числу значений воз­ действий, от которых зависит искомая вероятностная ха­ рактеристика системы.

Рассмотрим другой случай. Пусть Ui представляют

собой последовательные во времени значения воздейст­ вий с одинаковыми средними квадратическими отклоне­ ниями (аі = (Т2= ... = От), а коэффициенты сіі удовлетво­

ряют условию

аі = Ае ІІС,

где А — некоторая постоянная величина; с — память си­

стемы дискретного действия (по числу значений воздей­ ствий) ; тогда

1- е - 4'с

Ъо ~ (1 - е - 2'е)*'

На рис. 3.1 представлена зависимость предельного выигрыша от памяти с. При 'больших с

цоо^с.

Из рисунка также видно, что значение предельного вы­ игрыша т]оо в рассмотренном случае не меньше памяти системы с.

Рис. 3.1. Зависимость предельного выигры­ ша г|оо от памяти с.

Перейдем теперь к оценке влияния ошибок измери­ тельной системы на эффективность предлагаемого ме­ тода определения вероятностных характеристик по ре­ зультатам натурных испытаний и теоретических исследо­ ваний системы.

Можно предположить, что наиболее сильное влияние ошибок измерительной системы на выигрыш будет тог­ да, когда при отсутствии ошибок имеет место предельное значение выигрыша.

Для рассмотренного выше частного случая выигрыш г)о при наличии ошибок измерений значений процессов

и воздействий будет

квадратических отклонений ошибок измерений к сред­ ним квадратическим отклонениям измеряемых величин не превышают у.

Из (3.51) — (3.53) нетрудно получить, что при этих

Относительное уменьшение выигрыша за счет оши­ бок измерительной системы при малых у будет удовлет­

Так, например, при -у=0,1 и г]о»=5 относительное умень­ шение выигрыша не будет превышать 0,08.

Рассмотренный частный случай дает представление о влиянии ошибок измерительной системы на эффектив­ ность определения вероятностных характеристик системы по результатам натурных испытаний и теоретических ис­ следований.

116

3.4. Оценка вероятностных характеристик системы по натурным испытаниям и теоретическим

исследованиям ее для случая, когда часть экспериментов произведена не при окончательно выбранных значениях параметров

В ходе натурных испытаний системы на основе ана­ лиза их результатов может уточняться ряд параметров системы. При этом часть экспериментов, в принципе при­ годных для оценки вероятностных характеристик систе­ мы, не может быть непосредственно использована для этих целей, так как произведена не при окончательно выбранных значениях параметров. В данном параграфе такого рода эксперименты будем называть условно пред­ варительными, а эксперименты, проведенные при оконча­ тельно выбранных значениях параметров, — окончатель­ ными. Будем предполагать, что предварительные натур­ ные эксперименты удовлетворяют всем условиям, огово­ ренным в § 3.1.

Информация о вероятностных характеристиках си­ стемы, полученная при предварительных натурных экс­ периментах, содержится ів реализациях внешних воздей­ ствий и в реализациях значений процессов. Использова­ ние реализаций значений процессов, имевших место при предварительных экспериментах, для оценки вероятност­ ных характеристик системы при окончательно выбранных параметрах представляется затруднительным, так как в общем случае зависимость вероятностных характери­ стик от параметров системы неизвестна. Поэтому в на­ стоящем параграфе из предварительных натурных экс­ периментов предлагается использовать информацию, за­ ключенную в реализациях внешних воздействий, с при­ влечением модели системы. Реализации значений про­ цессов в модели системы, которые могут быть получены при данных воздействиях, компенсируют в определенной степени потерю информации за счет неиспользования реализаций значений процессов в системе при предвари­ тельных экспериментах.

Таким образом, будем считать, что по результатам окончательных натурных экспериментов найдено стати­ стическое значение искомой вероятностной характеристи­ ки системы, а по результатам предварительных и окон­ чательных натурных экспериментов и теоретических ис­ следований модели системы определены статистические

117

и расчетные значения вероятностной характеристики мо­ дели системы. Значения вероятностных характеристик системы и модели, полученные по окончательным натур­ ным экспериментам, будем обозначать соответственно через %*, р* и ро, а значения вероятностных характери­

стик модели и системы, найденные по предварительным натурным экспериментам, — через р*п и ропФормулы для X* и р*, а также способ получения ро были приве­

дены в § 3.1 и 3.2. Формула для рп* аналогична форму­ ле для р*. Способ получения р0п в принципе такой же, как и способ получения ро, однако, как будет показано ниже, зная ро, можно роп вычислить значительно проще.

Пусть число окончательных и предварительных экс­ периментов равно соответственно N, и Ап. Тогда в соот­

ветствии с § 3.2 можно написать следующие выражения для X*, р* и рп*:

2* N

/= і

(3.56)

і=і

где Sin—’Значение S в і-м эксперименте с моделью си­ стемы, проведенном по результатам і-го предваритель­ ного натурного эксперимента.

Статистическое значение q* вектора q вероятностных

характеристик измеренных значений воздействий, полу­ ченное по результатам N окончательных натурных экс­

периментов, в соответствии с § 3.2 будет

N

(3-57)

/=1

Аналогично, статистическое значение qn*, найденное

по Ап предварительным натурным экспериментам, будет

Nu

q*a=^YiHUia)’ (3-58)

і=і

118

где Ui n — значение вектора Ü в і-м предварительном на­

турном эксперименте.

Расчетное значение ро вероятностной характеристики модели системы находится по способу, описанному в § 3.1. После того как найдено р0, расчетное значение роп по предварительным натурным экспериментам мо­ жет быть получено более простым путем. Действительно, для ро справедливо соотношение (3.2G). Аналогично для роп можно записать, что

Отсюда и из (3.26) получаем формулу, по которой удобно вычислить р0іІ:

Напомним, что необходимое для вычисления роп по данной формуле значение а находится для других целей

(см. § 3.2). Таким образом, если ро определено, то вы­ числить рок по (3.60) не представляет особого труда.

Оценку Яо вероятностной характеристики системы най­ дем через Я*, р*, ро, рп* и роп в классе несмещенных линейных оценок, оптимальных в смысле минимума дис­ персии.

Таким образом,

Предварительные и окончательные натурные экспери­ менты будем считать независимыми, поэтому Я*, р* и

119