книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик

Дисперсия оценки с соответствии с (2.84) будет

і = \

Выбирая числа Л'; оптимальными в смысле минимума стоимости В при условии, что дисперсия Ко оценки равна заданной величине D,

Из (2.82), (2.87) и (2.88) имеем выражение для выигрыша в стои­ мости

Вданной формуле необходимо учитывать, что

п}

90

(2.91)

В табл. 2.1. в качестве примеров приведены значения £ для я= 2

Вопросы применения аналитических методов к части системы были рассмотрены в § 2.3. Как следует из этого параграфа, частичное использование аналитических методов сводится к последовательному чередующемуся применению аналитических методов и метода стати­ стических испытаний. Таким образом, применение этих методов не имеет каких-либо методических особенностей, поэтому мы не будем приводить примеров, а остановимся на иллюстрации того, насколько он эффективен в смысле выигрыша по точности.

Пример 1. Пусть искомая вероятностная характеристика систе­ мы X представляет собой вероятность р попадания в линейную об­ ласть некоторого значения процесса в системе. Систему разобьем на две последовательно соединенные части С и Л. На выходе части С получается указанное значение процесса. Часть А является весьма простой; в ней фиксируется факт попадания значения процесса в ли­ нейную область. В случае его попадания на выходе А вырабатывает­ ся 1, а в противном случае — 0.

В обозначениях § 2.3 для данного примера

причем

р = J ЧУ(и) f (и; q)du = ^ Ф2 (и) / (и; q) du.

Отсюда и из (2.26) получаем дисперсию статистического значе­ ния Я* вероятностной характеристики системы:

Д'=Р(1—P)!N. (2.92)

Если U подчиняется нормальному закону распределения и имеет нулевое математическое ожидание, то в качестве вероятностной ха­ рактеристики q воздействия на А можно принять дисперсию величи­

91

Выигрыш в точности оценки по сравнению со статистическим значением будет

Uпроцесса.

Врассматриваемом примере

(и)=и2п.

в качестве q примем дисперсию U. Нетрудно показать, что в данном случае выигрыш

Значения г\0 для различных п приведены в табл. 2.2.

Как видно из этой таблицы, с увеличением степени нелинейно­ сти части А системы выигрыш в точности оценки возрастает.

92

Пример 3. Пусть искомая вероятностная характеристика системы является вероятностью р того, что модуль двухмерного вектора U значений процессов не будет превышать некоторой величины роКак и в предыдущем примере, систему разобьем на две последовательно соединенные части С и Л. На выходе С получаются две компоненты И\ и U2 указанного вектора. В части А происходит вычисление мо­ дуля р вектора:

и сравнение его р с величиной роЕсли р^ро, то на выходе А вы­

о независимости компонент Ut и U2 и об одинаковом законе рас­ пределения их.

Если Ui и U2 подчиняются нормальному закону распределения, имеют нулевое математическое ожидание и дисперсию D, то в каче­ стве вероятностной характеристики q воздействия на А можно принять дисперсию D величин U\ и U2.

Предполагая, что с частью С проведено N экспериментов, ста­ тистическое значение дисперсии определим по формуле

93

временным использованием априорной информации дает существен­ ный выигрыш в точности.

В. И сп о л ь зо в а н и е в е р о я т н о с тн о й х а р а к т е р и с ти к и , н а й д е н н о й м е т о д о м стати сти ч е ск и х и сп ы та н и й п р и д р у ги х

зн а ч е н и я х п а р а м е т р о в

Вданном примере рассматривается система, уравнения которой приведены в ■§ 1.8, п. Г.

При предварительных исследованиях методом статистических испытаний при числе экспериментов УѴ,=М= 200 было найдено ста­ тистическое значение Я,*і вероятностной характеристики при следую­

щих параметрах системы и воздействий (первая точка):

Оно получилось равным Х*і = 1,04. Кроме того, были зафиксиро­ ваны NLI2=100 реализаций и опорные числа, с помощью которых на вычислительной машине вырабатывались псевдослучайные после­ довательности воздействий. При получении вероятностной характери­ стики для других значений параметров (во второй точке):

94

Стоимость же 'Проведения всех экспериментов, а иногда и необходимое время, особенно для сложных систем, мо­ гут быть столь большими, что определение вероятност­ ных характеристик только по результатам натурных испытаний становится практически невыполнимой зада­ чей.

В подобных случаях обычно прибегают к помощи теоретических исследований. Строят модель системы, используя все накопленные сведения о системе, ' как в ходе ее теоретических исследований, так и при натур­ ных экспериментах. Затем аналитически или, как пра­ вило, методом статистических испытаний находят вероят­ ностные характеристики модели системы. Последние иногда и принимают за вероятностные характеристики самой системы. Обосновывают данный шаг обычно тем, что в модель включены все имеющиеся сведения о си­ стеме, и тем, что результаты небольшого числа натурных экспериментов «подтверждают» (а вернее сказать, не противоречат) результаты теоретических исследований. При более осторожном отношении к полученным резуль­ татам исследователи приводят вероятностные характери­ стики, найденные по натурным экспериментам, указывая на то, что количество их было недостаточным, и вероят­ ностные характеристики, полученные в ходе теоретиче­ ских исследований, напоминая, что достоверность послед­ них определяется близостью модели к системе. Таким образом из-за отсутствия достаточно обоснованных ме­ тодов объединения информации от обоих видов исследо­ ваний и нехватки натурных экспериментов, результаты, полученные по натурным экспериментам, либо заменяют­ ся без достаточного обоснования результатами теорети­ ческих исследований, либо приводятся совместно с по­ следними как две независимые оценки вероятностных характеристик. Поэтому возникает весьма важная про­ блема разработки математически обоснованных методов оценки вероятностных характеристик системы по всей имеющейся у исследователей информации о системе.

Для того чтобы понять задачи, возникающие при оценке вероятностных характеристик, рассмотрим вкрат­ це возможные источники информации, которые могут быть в распоряжении у исследователя.

Первым и наиболее іважным источником являются на­ турные эксперименты, поскольку только они содержат неискаженную информацию о системеНатурные экс­

96

перименты могут производиться как с самой системой, так и с ее отдельными элементами или совокупностями элементов (частями) ори специальных видах воздействий или при тех случайных воздействиях, которые имеют место в реальных условиях функционирования системы. Отметим, что в процессе натурных испытаний, как пра­ вило, осуществляется изменение и уточнение параметров системы, т. е. не все, а только часть экспериментов отно­ сится к окончательным.

Вторым источником информации являются предвари­ тельные теоретические исследования системы. В ходе этих исследований, в частности, могут быть получены с раз­ личной степенью достоверности уравнения элементов и всей системы и описание части или всех воздействий на систему. При этом привлекаются результаты ранее осу­ ществленных исследований, проведенных с аналогичными

элементами и системами.

Обычно информация, содержащаяся в предваритель­ ных теоретических исследованиях совместно с частью информации, полученной при натурных экспериментах, произіведенных при специальных видах воздействий, трансформируется в модель системы. В зависимости от цели исследования модель системы может быть различ­ ной. Далее мы будем рассматривать только модель си­ стемы, предназначенную для определения ее вероятност­ ных характеристик. Данная модель, как и любая другая, в ходе исследований претерпевает изменения и уточнения по мере получения и внесения в нее новых сведений. Ин­ формация о системе, заложенная в модель, может быть получена из модели в результате ее теоретических иссле­ дований. Следовательно, третьим источником информа­ ции, по существу практически полностью использующим информацию второго источника и частично первого, являются теоретические исследования модели системы.

Таким образом, практически вся информация о систе­ ме может быть получена из натуральных испытаний си­ стемы и ее отдельных частей при воздействиях, соответ­ ствующих естественным условиям функционирования си­ стемы, и теоретических исследований модели системы.

В соответствии с изложенным в данной главе рас­ смотрены задачи оценки вероятностных характеристик системы по результатам:

а) натурных испытаний системы следований;

7 -2 8 3

б) натурных испытаний системы и теоретических исследований для случая, когда часть экспериментов произведена при значениях параметров, выбранных не окончательно;

в) натурных испытаний системы и ее отдельных ча­ стей и результатам теоретических исследований.

Перейдем к уточнению некоторых понятий, которыми будем 'Широко пользоваться. К таким понятиям относят­ ся: натурные эксперименты (натурные испытания), измерительная система, модель системы и исследования с помощью модели системы. Ниже дается толкование этих понятий в том значении, в котором они употребля­ ются в книге. Кроме того, при изложении данных поня­ тий будут приняты допущения и некоторые определения.

А . Н а тур н ы е э к с п е р и м е н т ы

Под натурными испытаниями системы будем пони­ мать эксперименты с системой, при которых характери­ стики воздействий на систему соответствуют естествен­ ным условиям ее функционирования. В этом смысле эксперименты, производимые при специальных (типовых, предельных и т. д.) воздействиях, не будут относиться к натурным экспериментам.

Будем считать, что все предназначенные для этой цели эксперименты являются независимыми и проведены в одинаковых условиях [13]. Это означает, что неслучай­ ные воздействия на систему одинаковы, а случайные воздействия в различных экспериментах имеют одинако­ вые вероятностные характеристики, но независимы. Если при экспериментах с моделью системы, особенно при ре­ ализации модели на цифровых вычислительных машинах, создание таких условий не представляет каких-либо за­ труднений, то при натурных экспериментах выполни­ мость их должна быть тщательно проанализирована и в случае необходимости при постановке эксперимента должны быть приняты специальные меры. Это положе­ ние будем относить не только к натурным экспериментам со всей системой, но и с совокупностью ее отдельных эле­ ментов.

Эксперименты с системой или се отдельными элемен­ тами при специальных воздействиях могут быть косвен­ но, путем уточнения модели системы (см. п. В этого параграфа), использованы для оценки вероятностных ха­ рактеристик системы. В конечном счете эти эксперимен-

98

ты при использовании излагаемых в данной главе мето­ дов позволяют повысить точность оценки вероятностных характеристик или уменьшить необходимое для этих це­ лей, число натурных экспериментов.

Б. И з м е р и те л ь н а я си стем а

Важным элементом натурных испытании является из­ мерительная система, под которой будем понимать сово­ купность средств, обеспечивающих измерение значений воздействий и процессов в системе. Основными характе­ ристиками измерительной системы являются: объем по­ лучаемой информации, точность измерений и стоимость измерений.

Применительно к рассматриваемой задаче оценки ве­ роятностных характеристик объем информации, получае­ мой с помощью измерительной системы, определяет воз­ можность извлечения из натурных экспериментов инфор­ мации о вероятностных характеристиках системы, а также возможность и эффективность привлечения резуль­ татов теоретических исследований для оценки этих ха­ рактеристик.

Точность измерений влияет на точность определения вероятностных характеристик системы и на эффектив­ ность использования результатов теоретических исследо­ ваний.

Увеличение объема информации и повышение точно­ сти измерений в конечном счете позволяет повысить точ­ ность оценки вероятностных характеристик по резуль­ татам натурных испытаний и теоретических исследований или уменьшить число экспериментов. Однако движение в этом направлении должно производиться с учетом стоимости измерительной системы и измерений с тем, чтобы полученный выигрыш не оказался фиктивным.

Из изложенного видно, что построение измерительной системы должно вестись с учетом: а) того, какие вероят­ ностные характеристики необходимо получить из натур­ ных экспериментов; б) целесообразности привлечения результатов теоретических исследований при оценке ве­ роятностных характеристик по натурным экспериментам; в) располагаемого арсенала измерительных средств, их точности, стоимости этих средств и измерений; г) стои­ мости натурного эксперимента с системой.

Выбор и исследование измерительной системы с та­ кой точки зрения представляет собой сложную самостоя-