книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций

индекс «к» указывает на связь рассматриваемых величин с деформа­

цией кручения.

Последнее выражение есть матрица жесткости элемента стержня при чистом кручении (G IK — жесткость стержня на кручение).

Вектор узловых усилий, эквивалентный действию на элемент

Матрица жесткости элемента стержня при совместном учете деформаций изгиба, растяжения-сжатия и кручения. На элемент стержня длиной а, жесткостью на изгиб Е1У и Е12 (соответственно

г z

Рис. 11.10. Положительные направления узловых перемещений и усилий для эле­ мента стержня, воспринимающего все шесть видов деформационных воздействий:

а— линейных перемещений и сил; б — угловых перемещений и моментов.

вплоскостях ху и xz), растяжение EF и кручение G/K действуют поперечная нагрузка интенсивностью qy и qz (соответственно в на­ правлении осей у и z), продольная нагрузка интенсивностью т и крутящий момент интенсивностью тх.

Если заданные внешние усилия привести к узлам, то положение элемента стержня однозначно определится заданием 12 узловых перемещений; трех поступательных перемещений для каждого узла соответственно в направлении осей х, у, z и трех углов поворота каждого из узловых сечений вокруг этих же осей.

Для удобства дальнейших преобразований получаемой матрицы жесткости при переходе к другой системе координат (в случае, если собственные оси элемента не совпадают по направлению с осями общей системы координат для рассматриваемой конструкции) введем для узловых перемещений и узловых усилий нумерацию (рис. 11.10), отличную от той, которая применялась выше.

Используя полученные выше зависимости (10.25), (10.26) и (10.31), которыми определяется связь между узловыми усилиями и переме­ щениями элемента стержня соответственно при его изгибе в одной из главных плоскостей, растяжении и кручении, можно выписать

61

Здесь [К 1 есть искомая матрица жесткости конечного элемента при его совместном изгибе, растяжении и кручении. Зависимость (10.35) в развернутом виде записывается так:

В рассматриваемом случае вектор узловых усилий, эквивалент­ ный внешней распределенной нагрузке, приложенной к элементу стержня, принимает вид

Выше были получены выражения для матриц жесткости стержне­ вого элемента, ориентированного в собственной системе координат. Использование общей системы координат позволяет упростить со­ ставление уравнений равновесия в узлах. Преобразование получен­ ных выше матриц жесткости к общей системе координат может быть выполнено с помощью зависимости (4.30):

62

Остановимся на вычислении матрицы преобразования коорди­ нат. [Т] для стержневых элементов.

Матрица [Т] для пространственного стержневого элемента и част­ ные случаи. Элемент пространственного стержня изображен на рис. 11.11. Здесь хуг— собственные оси координат элемента стержня; х'у'г' — общие для всех элемен­ тов стержневой конструкции осп координат.

Вид матрицы [Т] однозначно определяется из зависимости

(4.22):

нумерации и те же направления для положительных узловых пере­ мещений (усилий), что и в местной системе координат (рис. 11. 12),

Рис. 11.12, Пространственный стержневой элемент в местной (а) и общей (б) системах координат.

то легко убедиться в том, что матрица преобразования в случае пространственного элемента будет иметь вид

1

ш 1

ш !

(10.40)

m

m

63

где

— матрица ориентации местной системы координат относительно общей. Если известны координаты концов элемента стержня в общей системе координат, то для определения значений направляющих косинусов оси х можно воспользоваться очевидными зависимостями:

к которым уже в качестве дополнительной информации о располо­ жении главных центральных осей инерции сечения элемента следует подсоединить значения двух направляющих косинусов для углов чистого вращения (из числа неизвестных), например,

Углы Р и у показаны на рис. 11.11.

М а т р и ц а [Т] д л я э л е м е н т а п л о с к о й с т е р ж ­ н е в о й с и с т е м ы . На рис. 11.13 показан элемент плоской рамы в местной и общей системах координат. Матрица преобразования узловых перемещений и узловых усилий из общей системы коорди­ нат в местную в рассматриваемом случае имеет вид:

64

то входящая в (10.46) матрица [/] примет вид:

Матрицы жесткостей и матрицы усилий для стержневых элемен­ тов в общей системе координат. Приведем матрицы жесткостей и маттрицы усилий для стержневых элементов в общей системе координат.

Рис. 11.13. Элемент плоской рамы, рабо­ тающей на изгиб с рас­ тяженнем-сжатием

в местной (а) и общей (б) системах коорди­

нат.

Э л е м е н т п р о с т р а н с т в е н н о г о с т е р ж н я . Для определения матрицы жесткости элемента стержня, изображенного на рис. 11.12, б в общей системе координат, необходимо воспользо­ ваться формулой (10.38), куда следует внести значения матрицы [Д] из формулы (10.36) и матрицы [Т] из формулы (10.40).

Вследствие громоздкости общей матрицы жесткости [Л)'] для пространственного стержневого элемента мы представим ее двумя таблицами (табл. II. 1 и II.2). В первой таблице вместо элементов показаны числа, а во второй таблице приведены сами элементы,

Чтобы оценить прочность какого-либо элемента стержневой си­ стемы, необходимо располагать значениями его внутренних усилий в местной системе координат. Для этого достаточно найти значение вектора узловых усилий {Д} в этой же системе координат.

Подставляя (10.39) в (10.35), получаем

Таким образом, нам достаточно й зависимости (10.51) сохранить лишь первые шесть строк:

В выражении (10.53) приняты обозначения, используемые в фор­

мулах (10.49).

Э л е м е н т с т е р ж н я д л я п л о с к о й р а м н о й к о н ­

в общей системе координат для плоской рамной конструкции, необ­ ходимо воспользоваться формулой (10.38), куда следует внести зна­ чение матрицы жесткости элемента в местной системе координат [/С 1 из выражения (10.29) и значение матрицы преобразования [Г] из за­ висимости (10.46). В результате получим

—

£>m2+ S / 2 Sml — Dml —Cm — S I2— Dm2 — Sml Dml — Cm

Для определения матрицы внутренних усилий [Д]д можно воспользоваться формулой (10.52).

Для расчета прочности элемента стержня нам достаточно рас­ полагать значениями узловых усилий R lt R 2, R 3, которым соответ­ ствуют первые трй строки элементов матрицы усилий [Д]^. Тогда

%

Расчет прочности элемента стержня сводится к расчету прочности консольной балки (рис. 11.15), нагруженной на свободном конце узловыми силами R lt R 2, R 3, определяемыми из выражения (10.55).

Матрица жесткости для стержней с учетом сдвига. Прогибы балок возникают не только в результате удлинения их продольных

69

волокон от воздействия нормальных напряжений, но также и в ре­ зультате поперечных смещений (сдвигов), развивающихся под воз­ действием касательных напряжений. Последние имеют существен­ ное значение, когда размеры сечений балок сопоставимы с их длиной.

Получим матрицу жесткости с учетом влияния деформаций сдвига для элемента стержня (см. рис. II.4).

Потенциальная энергия для элемента стержня при учете дефор­ маций изгиба и сдвига

При удовлетворении условий неразрывности перемещений в узло­ вых сечениях необходимо выполнить условие неразрывности изгибных углов поворота и условие неразрывности по суммарным проги­ бам v = vx + v2. Поэтому представив общий интеграл для стрелки прогиба ох (х), через которую однозначно определяется значение потенциальной энергии [см. выражение (10.56)] в виде

целесообразно придать узловым перемещениям элемента балки следующий смысл:

70