Положительные направления узловых усилий совпадают с поло жительными направлениями соответствующих им узловых переме щений (см. рис. VI. 1).
Связь между вектором узловых перемещений и вектором узловых
усилий |
осуществляется |
с помощью матрицы жесткости |
[/(]: |
R2 |
Х11 |
^1, 12 |
<7i |
Х21 |
^2. 12 |
?2 |
(38.19)
^12. 1 ^12. 2 |
^12. 12 |
712 |
Непосредственно из выражения (38.19) нетрудно установить фи зический смысл элементов матрицы жесткости [К]: значение произ вольного элемента kiK равно величине реактивной узловой силы в направлении i-ro узлового перемещения при единичном к-м узло вом перемещении (все остальные узловые перемещения равны нулю).
Матрицы напряжений. Компоненты напряжений от изгиба в эле менте пластины определяются на основании известных зависимостей из теории изгиба пластин:
где 2 расстояние до срединной поверхности по толщине.
|
Если далее учесть |
связь единичных моментов с перемещением |
|
м х = |
- |
Eh3 |
/ |
д2ш . |
d2w |
|
12 (1 — V2) |
\ |
дх2 |
' |
V ду2 |
|
|
|
|
М у = |
- |
Eh3 |
1 d2w |
, |
d2w |
|
1 2 ( 1 — v2) |
\ |
ду2 |
|
V 5х2 |
|
|
Мч/ —■ |
Eh3 |
d2w |
|
(.38.21) |
|
|
6(1 + |
v) |
дх ду |
’ |
то зависимость |
(38.20) перепишется |
в виде |
|
|
|
|
|
|ст} = [Еу] |
\к], |
|
|
(38.22) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2w |
|
|
|
“ 1 |
V |
0 |
|
|
дх2 |
|
|
|
|
|
|
|
[Ек] = |
E z |
V |
1 |
0 |
|
, |
d2w |
(38.23) |
|
|
{ х } = < ду2 |
|
|
0 |
0 |
2(1 — v)_ |
д2ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
дх ду |
|
Компоненты |
вектора |
|
определяются |
дифференцированием |
функции прогиба элемента пластины w (х , у). В результате можно установить связь
С учетом зависимости (38.24) из выражения (38.22) получаем окончательную матричную зависимость
{<г} = [ £ ] { ? } , |
(38.25) |
где
[ E ] = [ E H][D] |
(38.26) |
—матрица напряжений.
Вобщем виде выражение (38.26) весьма громоздко. В практиче ских расчетах вполне достаточно располагать матрицей (38.27), ис пользование которой позволяет определять компоненты напряже ний в узловых точках конечного элемента.
Заметим, что нормальные напряжения ах и ау вдоль сторон опор ного контура конечного элемента изменяются по линейному закону, касательные напряжения %ху — по закону квадратичной параболы.
При достаточно малом размере элемента для оценки напряжен ного состояния можно пользоваться формулой (38.28), которая вы числяет некоторые осредненные значения -для компонентов напря
жения, определяемые
как среднеарифметическое от соответствующих значений узловых компонентов напряжения:
|
|
0 |
2v г |
0 |
2v г |
0 |
h _2_ |
0 |
_2v |
_2_ |
41 |
|
|
Чг |
|
Ег |
|
Ь |
а |
|
ь |
а |
|
ь |
а |
|
ь |
а |
Чз |
|
|
2 |
2v |
0 |
|
2v |
0 |
2 |
|
0 |
.L |
.22 |
|
0 |
i |
а |
Ч* ■(58.28) |
|
'~W-v2) |
" Ь |
а |
а |
Т |
Ь |
а |
|
■ху |
4А 2к 2к ЧК 2k 2к 4 А 2Х 2А 4Л 2к 2к |
|
|
|
ab а Ъ а Ъ а Ь а Ь а Ь |
ай а |
Ъ |
Чп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь X = 1 — V.
Эквивалентные внешние узловые силы. Действие распределен ной внешней нагрузки интенсивностью q (х, у) на поверхность конечного элемента можно заменить совокупностью эквивалентных узловых сил
Pi — J q (х, у) 5,- (х, у) dx dy. |
138.29) |
F |
|
Заметим, что нумерация и положительные направления для экви
валентных узловых сил |
соответствуют таковым для обобщенных |
узловых |
перемещений </,• |
(см. рис. VI. 1). |
Если |
положить, что |
в пределах площади конечного элемента |
q (х, у) |
= q = const, то с учетом зависимостей (38.8) непосредственно |
из (38.29) можно получить матрицу эквивалентных узловых внеш них усилий
\Р\ |
4 \ ’ |
А , |
|
|
6 •’ |
6 ! |
• I* |
6 ’ |
|
|
|
b |
а |
1 |
— . |
(38.30) |
|
<Г' ~6 |
’ |
6 |
' |
|
По аналогии с выражением (38.30) находим матрицу эквивалент ных узловых усилий для внешней силы Р, приложенной в центре прямоугольного элемента:
\р\ = A (l —
\ г \р |
4 \ ’ 4 ’ |
|
|
|
|
|
а |
, |
b |
а ) |
(38.31) |
|
4~ ’ |
’ |
1 ” ’ |
4~J ' |
|
|
«Совместная» матрица жесткости для прямоугольного элемента. При выводе матрицы жесткости (38.14) прямоугольного элемента, изображенного на рис. VI. 1, для упругой поверхности использова лось выражение (38.4), которое хотя и удовлетворяет условиям не прерывности самого прогиба во всей области, но приводит к появле нию «сломов» при переходе через границу двух смежных эле ментов.
В работе [139] для прогиба прямоугольного элемента было пред ложено выражение, которое не приводит к появлению указанных сломов. Матрицу жесткости, полученную с помощью такого выра жения для прогиба, называют «совместной».
Выпишем это выражение
|
|
w (х, |
у) |
= |
12 |
qi3 i (х, |
у), |
|
|
|
У, |
(38.32) |
где обозначено: |
|
|
|
|
|
/ = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 , = |
(1 |
+ |
2 | ) |
(1 - |
Г - |
(1 |
+ |
2 i!) (I - л ) 2, |
Э г = |
(1 |
+ |
2%) (1 |
- |
Е)2 |
Л (1 - |
|
Л )2 |
Ь, |
Эя = - Ы 1 - ! ) 2 (1 + 2ц) (1 — ц )2 а, |
Э, - (1 + 2| ) (1 - |
Е )2 (3 —2П) л 2. |
з ь == — (1 — |
2 Е ) (1 - |
Е )2 Л(1) Л-2Ь, |
э й = — Е (1 — |
|
Е )2 (3 — |
2 ц ) ц 2а , |
Э7 = (3 — 2Е) Е2 (3 - 2ц) ц 2, |
(38.33) |
|
3 8 = — (3 — 2Е) Е2 (1 — ц) цЧ, |
|
З д = (1 - |
I) Е2 (3 - |
2ц) ц 2а, |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 10 = ( 3 - 2 Е ) Е2 (1 + 2ц) (1 - ц ) 2,
Э ц = ( 3 - 2 Е ) Е2л (1 - ь, л ) 2
э 12 = (1 — Е) Е2 (1 + 2ц) (1 — ц)2 а.
Внося выражение для функций 3i (Е, ц) в формулу (38.12), на ходим элементы матрицы жесткости. В рассматриваемом случае матрица жесткости может быть представлена в форме (38.14). Вхо дящие в (38.14) величины а,- определяются по следующим формулам:
а з |
52 |
. 4 |
о I |
8 \ |
ЗБпг5 |
"I” 35 |
т “ ^ |
25") |
Треугольный элемент при изгибе пластин. С помощью треуголь ного элемента можно идеализировать пластину практически любой конфигурации (рис. VI.2), поэтому этот элемент очень важен для практических приложений.
Попытка непосредственного получения матрицы жесткости для треугольного элемента с произвольной ориентацией относительно осей координат приводит к очень громоздким выкладкам. Проще избрать другой путь: сначала получить матрицу жесткости треуголь ного элемента в местной системе координат, одна из осей которой направлена вдоль одной из сторон треугольника, а затем сделать
Рис. VI.2. Идеализация жесткой |
Рис. VI.3. |
Треугольный |
конечный элемент |
плиты произвольной конфигурации |
пластины |
при изгибе. Положительные на |
треугольными конечными элемен |
правления узловых сил |
и перемещений. |
тами. |
|
|
|
переход к основной системе координат, преобразовав соответству ющим образом матрицу жесткости.
При определении матрицы жесткости треугольного элемента, обладающего девятью степенями свободы (рис. VI.о), выражение для нормального прогиба можно задать в виде полинома 3-й степени:
w (х, у) = а х + сс2х + а 3у + а 4* 2 + «з*У + «л*/2 +
+ а 7х3 + |
а3 (х2у + ху2) + аду 3 |
(38.35) |
или |
|
|
|
9 |
|
W (х, |
у) = S а ,-ф« (х <у)- |
(38.36) |
Значения постоянных at в зависимости (38.36) можно выразить через узловые обобщенные перемещения треугольного элемента:
1q\ |
= [В] (а), |
(38.37) |
q\ = |
W i <72?3- |
■-ft); |
(38.38) |
а} = |
• |
• -ав|; |
(38.39) |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
' |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
— 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
0 |
У2 |
0 |
0 |
у\ |
0 |
|
0 |
|
у\ |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 У-2 |
0 |
|
0 |
|
зг/з |
(38.40) |
0 |
— 1 |
0 |
0 |
-У 2 |
0 |
0 |
|
- у \ |
|
0 |
|
1 |
*3 |
Уг |
4 |
хзУз |
у\ |
X3 |
НУ\ + |
*803 |
4 |
|
|
Лз |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
*3 |
2 </з |
0 |
2 |
1 |
*з |
3 |
у\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
*з /з + |
|
|
0 |
— 1 |
0 |
2хз j ~Уг |
0 |
- 3 * з - ( у1 + 2 ЭД,) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначения для узловых перемещений в матрице (38.38) соот
ветствуют обозначениям, |
приведенным |
на |
рис. |
VI.3, |
т. |
е. qj = |
= w (*i. Vi)< Я2 = -Щ- |
{xlt Уi), q3 = |
-----^ |
( x v |
y x) |
и т. |
д. |
Внося (38.36) в выражение для потенциальной энергии изгиба треугольного элемента
|
I/., |
|
|
|
|
d2w d2w |
(38.41) |
|
|
|
|
|
дх2 |
ду2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уа= 4- Ё £ |
|
|
|
|
(38.42) |
|
где |
|
i=1к=1 |
|
а2фг |
э2срк |
|
|
vV |
+ 2 (1 - |
v) [ |
|
|
a?k= d J J{ vV |
|
|
|
|
|
|
|
дх ду |
дх ду |
|
|
J L д2Фг д2фк |
J _ |
д 2ф ; |
а 2ф к |
dx dy. |
(38.43) |
|
2 йх2 |
ду2 |
2 |
ду2 |
дх2 |
|
|
|
Интегрирование в зависимостях (38.41) и (38.43) производится по всей площади F рассматриваемого треугольного конечного элемента.
Выражение (38.42) можно переписать более компактно в матрич ной форме
Матрица [К“], элементы которой определяются по формуле (38.43), в развернутом виде запишется так 1139]:
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
Симметрично |
|
0 |
0 |
0 |
4Л, |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
2 (1 — v) А г |
|
|
|
(38.45) |
0 |
0 |
0 |
4уА х |
0 |
4АХ |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
12А 2 |
0 |
12v A2 |
36A3 |
|
|
0 |
0 |
0 |
4 (v A2 -f- Ад) |
4(1—v)(М2-|-у44) |
4 (А2 + Vi44) |
|
(12—8v) X |
|
12 {v A2 Ч- A4) |
X ( Ag-\-2As-\-Ab)— |
|
|
|
|
|
|
|
— 8(1 — v) Aq |
|
0 |
0 |
0 |
12тЛ4 |
0 |
1244 |
36Vi4B |
12(4e + vA5) |
36Л5 |
