книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций
.pdf\dR\t приращению внешних сил {dP\it получаем уравнения для определения приращений узловых перемещений \dq}{:
U<nnh-i{dq}i = {dP}i. |
(31.20) |
|
Отсюда |
|
(31.21) |
1^ь- = |
[^пл]гЛ1^ к - |
|
Приращения напряжений в t-м интервале |
|
|
\da\i = |
Т£ пл]г-1 [£>] \dq\i- |
(31.22) |
Компоненты напряжения к концу t-ro интервала нагружения, от вечающего нагрузке \Р}£ = {Р}£_г + {dP)t,
И / = Wh-i + {do}t. |
(31.23) |
Изложенный процесс последовательных «догружений» продол жается вплоть до интересующего нас значения внешней нагрузки {Р}. Графическое представление метода дано на рис. 1.26.
Использование шагового метода нагружения позволяет описать всю историю изменения напряженно-деформированного состояния тела в процессе возрастания внешней нагрузки.
При использовании этого метода следует иметь в виду, что за висимость (31.16) будет справедлива лишь в условиях активного нагружения, то есть когда приращение интенсивности касательных напряжений при увеличении внешней нагрузки на величину \dP\t будет положительным:
da£ = а£— а£_г > 0. |
(31.24) |
Если же dat <<0, то происходит разгрузка, в процессе которой ма териал, как известно, работает упруго. Поэтому в зависимостях
(31.20), (31.21) и (31.22) вместо матриц [/Спл1 и |
следует ввести |
|
матрицы [/(] и [Е ] |
для конечного элемента, работающего в упругой |
|
области. |
|
|
В рамках изложенного выше метода шагового нагружения легко |
||
учесть любой закон |
поведения материала, в частности влияние вре |
|
мени и температуры на механические свойства материала. |
||
|
|
§ 32 |
|
Вынужденные и свободные колебания |
|
|
пластин |
в своей плоскости |
Любая упругая система, подверженная действию статических на грузок, может быть проанализирована с помощью матричного урав нения метода конечных элементов в форме метода перемещений вида (4.17):
т {q} = \Р}. |
(32.1) |
Каждое t-e уравнение системы уравнений (32.1) выражает усло вие равновесия дискретной системы по направлению i-й связи, равно
203
сильное тому, что сумма реакций в этом направлении от всех схо дящихся в данном узле элементов равна узловой внешней силе. Это условие остается справедливым для любой упругой системы, причем в общем случае нас не-интересует природа самих сил, в част ности и инерционных, возникающих при действии на систему изме няющихся во времени внешних нагрузок.
Согласно известному принципу Даламбера задача динамики упру гой системы может быть сведена к соответствующей задаче статики при условии включения инерционных сил (равных произведению масс на их ускорения, взятых с обратным знаком) в разряд внешних нагрузок.
Следовательно, для решения динамической задачи, в правую часть (32.1) достаточно добавить реакции от инерционных сил:
№ = - Ш Ц Й , |
(32.2) |
где индекс «м» указывает на связь усилий с силами инерции; [М ] — так называемая матрица масс для всей упругой конструкции в общей системе координат. Значение этой матрицы будет определено ниже;
(ч\ =-£*№■ |
(32.3) |
Тогда уравнение равновесия (32.1) при рассмотрении динами ческих задач примет следующий вид:
\K}\~q(t)\ = { ? ( * ) } - Ш] Cq(t)}. |
(32.4) |
Переходим к вопросу определения матрицы масс для произволь ного плоского элемента, положение которого определяется значе ниями его узловых перемещений
\Я ( 0 } = \Ях ( 0 . Яъ ( 0 . • • qr (01 -
Каждый из конечных элементов под действием внутренних и внеш них сил (включая силы инерции и узловые реакции взаимодействия со смежными элементами) находится в равновесии. Следовательно, для определения его неизвестных узловых перемещений qt (t) можно воспользоваться уравнениями Лагранжа П-го рода:
d_ дТ_ |
(32.5) |
|
dt dqi |
||
|
||
где |
|
|
Т = - И J [ m ( w ) 2 + m ( w ) 2] d x ^ |
(32.6) |
|
|
— кинетическая энергия элемента (ш — масса единицы площади элемента; и (х , у, t), v (х , у, t) — компоненты перемещения); V — по тенциальная энергия элемента; Rt — реакция взаимодействия со смежными элементами по направлению i-й связи.
Интеграл в зависимости (32.6) берется по всей площади эле мента F.
204
Выражение для кинетической энергии элемента пластины (32.6) можно представить в следующей форме:
T = ^ - \ \ \ 0 \ '[ m ] \ U \ d x d y , |
(32.7) |
||
|
F |
|
|
где обозначено: |
т (Г |
|
|
|
|
||
{£/} = |
{“ »}, М = |
О т ' |
|
|
|
|
|
Воспользовавшись далее связью между {U( и {д} [см., |
напри- |
||
мер, выражение (25.10)1: |
|
|
|
|
\U\ = [C]{q}, |
|
(32.8) |
окончательно получим |
|
|
|
г = 4 ч й т ш ц ? | . |
(32.9) |
||
где |
J J [С]т [ml [С] dxdy |
|
|
[АП = |
(32.10) |
||
F
— искомая матрица масс конечного элемента в местной системе координат.
Принимая во внимание выражения (32.9) и (3.11), непосредственно из системы (32.5) получаем матричное уравнение
W ],{?}, +[ЯИ <7Ь = {R\n |
(32.11) |
которым и устанавливается связь между узловыми усилиями и узло выми перемещениями конечного элемента при учете его инерцион ных сил. Введенным в (32.11) при каждом члене индексом i указы вается связь с рассматриваемым t'-м конечным элементом. «
Объединим все уравнения (32.11), выписанные для каждого из конечных элементов конструкции, в одно матричное уравнение вида
\Me\ \ q ] + \ K g\\q \ = [R\, |
(32.12) |
где в дополнение к (4.4) обозначено:
\Mg\ = Г[Mli [М ] 2 ••• [M 1J. |
(32.13) |
Исключая далее с помощью (32.12) вектор {R\ из уравнения рав новесия всей конструкции (4.16) и учитывая зависимость (4.8), получаем
|
Ш 1 (q\+ Е Ю \q\ = {Р (* )}, |
(32.14) |
здесь |
__ |
(32.15) |
|
[М 1 = [Я]т \Mg\ [Я] |
— общая матрица масс для всей конструкции в общей системе коор динат.
Уравнение (32.14) есть матричное уравнение равновесия метода конечных элементов в общей системе координат при учете инерцион
205
ных сил конструкции. Оно представляет собою систему обыкновен ных дифференциальных уравнений второго порядка. Для решения этой системы могут быть использованы любые методы решения си стем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений вы сокого порядка.
В частном случае действия на упругую систему гармонических
возмущающих сил |
|
|
{Р (0} |
= {Р0} sin cot |
(32.16) |
решение системы (32.14) можно искать в виде |
|
|
\q (/)} = |
{q°) sin at. |
(32.17) |
Внося (32.16) и (32.17) в (32.14), получаем следующее матричное уравнение для определения амплитудных значений узловых пере
мещений |
{д0}: |
|
|
|
|
[К— со2М] |
{ф>} |
= |Р°}. |
(32.18) |
В случае свободных колебаний |
внешние силы равны нулю, т. е. |
|||
{Р°( = 0. |
Тогда пз выражения (32.18) |
получим |
|
|
|
[К — со2М] |
{ф>} |
= о. |
(32.19) |
Система уравнений (32.19) будет иметь решение, отличное от
нуля, при условии равенства нулю основного определителя: |
|
| К — а 2М | = 0. |
(32.20) |
Определение корней, т. е. частот свободных колебаний из урав нения (32.20), весьма трудоемкая в вычислительном отношении опе рация, особенно, если порядок определителя (32.20) достаточно вы сок. На помощь здесь может прийти специальный прием определе ние собственных чисел в задачах устойчивости и колебаний, изло женный в § 41.
В предыдущих параграфах настоящей главы при решении задач статики использовались два типа плоских конечных элементов: тре угольник и прямоугольник. Поэтому именно для этих двух форм ко нечных элементов целесообразно получить окончательные выраже ния для матриц масс [М ] в местной системе координат.
Матрица масс в местной системе координат для треугольного эле мента. Для определения матрицы Ш 1 следует воспользоваться за
висимостью (32.10). Входящая сюда матрица |
[С] для треугольного |
||||||
элемента, изображенного на рис. IV. 1, определяется непосредственно |
|||||||
из рассмотрения выражений (25.12). Таким |
образом, получим |
||||||
У23(* — |
*3) — |
х23 (у — |
у3) |
0 |
|
||
Уз\ (* |
*i) — |
*3i (У— |
У\) |
О |
|
||
_ _1_ У21 (* — |
* |
2 |
) + |
*21 (У— |
2 |
0 |
|
|
У) |
|
(32.21) |
||||
2F |
|
|
0 |
|
У23 (* — *з) — *23 (У — Уз) |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
0 |
Уз1 (* — * 1 ) — * 3 |
1 |
О |
-У21 (* — * 2 ) + * 2 1 |
|
(У — Ух)
(У — Уз)
206
Внося (32.21) в (32.10) и выполняя все необходимые вычисления, получаем следующее выражение для матрицы Ш ]:
[Р] о- |
|
(32.22) |
|
№ = |
[Я]. |
|
|
о |
|
|
|
где |
|
|
|
2 |
1 |
Г |
|
1 |
2 |
1 |
(32.23) |
1 |
1 |
2 |
|
Матрица масс в местной системе координат для прямоугольного элемента. Для прямоугольного элемента, изображенного на рис. IV.4, выражение для матрицы [С]т определится непосредственно из
(26.13):
|
S- |
Х |
|
1 |
— |
|
£-) |
о |
|
|
|
|
- |
И |
1 - |
* |
) |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а |
JL |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
‘ ~ |
Р |
Н |
|
|
|
|
о |
|
|
|
(32.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
[С]т |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
' - т М |
' |
— |
г ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
о |
|
|
|
|
- |
И |
' |
- |
* |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
JL JL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
b |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Внося (32.24) в (32.10), получаем |
для матрицы масс выраже |
|||||||||||
ние (32.22), в котором матрица |
[Р] определяется зависимостью |
|||||||||||
|
|
|
|
“4 2 1 2 " |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
4 |
2 |
1 |
|
|
|
|
(32.25) |
|
|
|
|
1 2 |
4 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
1 2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
о
ОБЪЕМНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Пусть имеется некоторое объемное тело, загруженное произволь ной внешней нагрузкой. Требуется определить напряженно-дефор мированное состояние этого тела.
Рис. V. 1. Конечный элемент в виде тетраэдра.
При использовании МКЭ, как и в случае решения плоской задачи, на первом этапе необходимо выполнить процедуру идеализации ис ходного тела, т. е. произвести его замену совокупностью конечных
тобъемных элементов, соединен ных между собой лишь в узло вых точках. Простейшим конеч ным элементом будет тетраэдр— фигура, имеющая четыре узло вые точки (рис. V.1).
Возможны более сложные модельные схематизации исход ной конструкции. В частности, при решении различных прак тических задач довольно широко используется идеализация объ емной конструкции совокупно
стью конечных элементов с восемью узловыми точками [140]
(рис. V.2).
Из всех трех основных этапов использования МКЭ для опреде ления напряженно-деформированного состояния объемных тел тре бует более детального рассмотрения лишь вопрос определения мат рицы жесткости для объемных элементов различных форм.
Ниже приводится вывод матриц жесткостей для ряда объемных элементов.
§ 33
Матрица жесткости для тетраэдра
Тетраэдр с четырьмя узловыми точками. Тетраэдральный конеч ный элемент (см. рис. V.1) с вершинами 1, 2, 3, 4 загружен узловыми
усилиями \R\ = {RixRiyRizRzx ■■' Д<и1Введем в рассмотрение также вектор узловых перемещений элемента {<7 } = \ и 1 v x w x u 2 - • • w A \ .
Дальнейшей нашей задачей будет установление связи
\R} = U<]{q}, |
(33.1) |
где [/С ] — искомая матрица жесткости конечного элемента.- |
|
В нашем случае положение тетраэдра |
полностью определяется |
заданием 12 компонентов узловых перемещений. Это позволяет сде лать предположение о линейной зависимости компонентов переме щений для произвольной точки от координат:
и = а 4 + а 2х + а 3У + cc4z, |
|
|
v = а 6 + авх + а7у + asz, |
|
(33.2) |
w = а 9 + а 10х + а 1Ху + а 12г |
|
|
или, в матричной форме, |
|
|
{Щ = И 1 и , |
|
(33.3) |
где |
|
|
l x y z O O O O O O O O ' |
|
|
[А] = O O O O l x y z O O O O |
; |
(33.4) |
O O O O O O O O l x y z J |
|
|
[ccj = {axa 2- • -a12}— вектор обобщенных координат. |
используя |
|
Вектор \U\ легко выразить через {q\. Для |
этого, |
|
(33.2), выписываем выражения для компонентов перемещений узло вых точек:
U1 |
— а 1 + а 2Х1 + |
а яУ1 + CCjZ^ |
|
v i |
= «5 + a e* i + а 7г/4 + a 8z lt |
(33.5) |
|
|
|
|
|
wA — (Xq -|- а 10х:4 -|- осххуА-j- oc12z4 |
|
||
14 В . А . П о с т н о в |
|
|
209 |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
{<?}=[£]{«}. |
|
(33.6) |
||
Матрица |
[В ] легко выписывается |
из непосредственного |
рассмо |
|||
трения выражений (33.5). |
|
|
|
|
||
Из зависимости (33.6) |
получаем |
|
|
|
||
|
|
(а) = |
[В]-1 \ q}. |
|
(33.7) |
|
Приведем в развернутом виде выражение для и {х, у, |
г) [43, 155]: |
|||||
|
и (х, у, z) = |
|(fl! |
Ьгх -j- сху -f- d±z) «х + |
|
|
|
+ (йг |
Ь%х-f- c2y -(- d2z) u2-f- (й3 |
b3x -(- c3y -)- d3z) u3-f- |
||||
|
Л~(а4~\~Ь±х-\-с±у |
4±г)и^, |
4 |
(33.8) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
y2 |
z2 |
|
1 |
хз Уз z3 |
||
1 |
X4 //4 z4 |
||
1 |
A'x |
l j \ |
2x |
Х3 Уз Z3
&2 — Xi У4 Z 4 |
t* |
II |
1 |
||
|
X1 У1 Zx |
|
|
|
|
|
X3 |
1 Zg |
|
|
|
II 1 |
Xi |
1 z4 |
•<3 |
II |
1 |
|
Xx 1 Zx |
|
|
|
|
’
1 Уз zs
1 У4 z 4
1 Ух Zx
*3 Уз 1
Xi У 4 1
Xx Ух 1
(33.9)
(33.10)
Значения других постоянных определяются с помощью круговой перестановки узловых индексов 1, 2, 3, 4.
Порядок их расположения определяется так: находясь в одной из вершин (например, 4-й вершине), производим нумерацию вершин противоположной грани путем последовательного обхода их по ча совой стрелке (в нашем случае будем иметь, например 1, 2, 3). До полняя найденный порядок расположения индексов номером вер шины 4, получаем приведенный выше порядок индексов 1, 2, 3, 4.
Аналогично получаем выражения для v (х, у, z) и w (х, у, г). Дифференцируя компоненты перемещений, можем найти выра
жения для компонентов деформаций:
{*\ =[D]{q\ , |
(33.11) |
210
где
|
|
|
Iе} = |
{^в^гУхвУугУхг}> |
|
|
|
||||
bi |
0 |
0 |
&2 |
0 |
0 |
^3 |
0 |
0 |
bi |
0 |
0 |
0 |
С2 |
0 |
0 |
сз |
0 |
0 |
С4 0 |
0 |
Cl |
0 |
|
0 |
0 |
d3 |
0 |
0 |
di |
0 |
0 |
di |
0 |
0 |
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(33.12) |
Cl |
Ъг |
0 |
с2 |
^3 |
0 |
с3 |
bi |
0 |
|
bi |
0 |
0 |
d2 |
С3 |
0 |
^3 |
Ci |
0 |
di |
Cl |
0 |
di |
c2 |
di |
0 |
^3 |
d2 |
0 |
bi |
^3 |
0 |
h |
di |
0 |
^2 |
В случае тетраэдра принятые нами выражения для компонентов перемещений приводят к тому, что элементы матрицы [D ] оказы ваются постоянными величинами. Поэтому выражение (3.8) можно упростить и привести к виду
|
[К] = |
Ш ]т 1Ее] ID] V, |
|
|
(33.13) |
||
где V —: объем тетраэдра, а |
матрица |
[£е] |
для |
изотропного тела |
|||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г 1 |
1 |
I О |
О О ' |
|
|
|
|
| |
1 |
А,О |
ОО |
|
|
l^el — |
£ ( 1—у) |
I |
1 0 |
0 0 |
|
(33.14) |
|
|
jЦ |
0 0 |
, |
||||
(l + v )(l-2v) |
|
||||||
|
|
С и м м е тр и ч н о | I1 ® |
|
|
|||
где |
|
|
|
|
Пл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к = |
11 = |
1— 2v |
|
|
(33.14') |
|
|
2 (1 — v) |
|
|
||||
Матрицу жесткости тетраэдра (33.13) вряд ли необходимо запи сывать в развернутом виде. Все необходимые вычисления в (33.13) целесообразно оформить в виде отдельной подпрограммы, подклю чив ее к основной программе расчета с помощью ЭВМ рассматривае мой конструкции.
Несколько слов о самой матрице (33.13). При получении этой матрицы мы исходим из предположения о линейном характере измене ния компонентов перемещения по объему тетраэдра [см. выражения
14* |
211 |
(33.2)], что приводит к тождественному выполнению всех условий сплошности по всему объему упругого тела. Из уравнений равно весия не выполняются лишь силовые граничные условия по поверх ности контакта граней смежных тетраэдров: имеются разрывы пер вого рода в значениях компонентов напряжений при переходе через плоскость мыслимого раздела смежных тетраэдров.
Вышесказанное позволяет заключить, что использование матрицы жесткости (33.13) приводит к созданию модели, обладающей большей
Рнс. V.3. Тетраэдр с десятью узловыми точками (в скобках показаны объемные координаты узловых точек).
«жесткостью» по сравнению с «жесткостью» реального тела. Найден ные при этом значения компонентов напряжения будут меньше их истинных значений.
Тетраэдр с десятью узловыми точками. Чтобы найти удовлетво рительные результаты при расчете произвольного объемного тела с помощью полученной выше матрицы жесткости для тетраэдра с че тырьмя узловыми точками, требуется достаточно большое количество конечных элементов, так как напряжения и деформации внутри объема элемента постоянны, а следовательно, при переходе от эле мента к элементу они будут изменяться скачкообразно и претерпе вать разрывы.
Более естественно предположить о линейном характере измене ния напряжений и деформаций внутри объема тетраэдра, что в свою очередь требует задания функций перемещений по квадратичному закону.
Это последнее обстоятельство влечет за собой необходимость за дания дополнительной информации о геометрии тетраэдра. Проще всего для тетраэдра, имеющего четыре узловые точки, ввести в рас
212