книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций

Приведем некоторые дополнительные разъяснения по содержанию отдельных блоков программы.

Блок «сечение». Учет упруго-пластических деформаций мате­ риала сосредоточен в блоке «сечение», поэтому рассмотрим его более подробно.

Пусть задано произвольное поперечное сечение элемента стержня, для которого известны его геометрические размеры, а также поло­ жение центра тяжести, через который проходит нейтральная ось в случае упругой стадии работы мате­ риала.

В каждом из поперечных сечений бал­ ки, находящейся под действием попереч­ ной нагрузки, должны соблюдаться сле­ дующие два уравнения равновесия:

a dF = О,

(13.1)

| а (г/ — г]) dF = М (х),

где деформации е, согласно гипотезе плоских сечений, могут быть найдены по уравнению

здесь v tt (х) — кривизна.

Подставляя выражение (13.2) в зависимости (13.1), с учетом (13.3) получаем уравнения равновесия для сечения

J £ с (е) (у — 1]) dF = 0,

(13.4)

v ”J Ес (г) (у — I])2 dF = EI*v" (х) — М,

F

Е — модуль нормальной упругости материала.

Уравнения (13.4) содержат два неизвестных параметра (v " и г|), подлежащих определению. Так как эти уравнения не разделяются, то их приходится решать совместно итерационным методом, который заключается в следующем:

а) разбиваем все сечение балки по высоте на п участков; б) задаемся некоторым значением для изгибающего момента Му,

в) задаемся нулевым приближением (например, используем упру­ гое состояние) для v" <°>и ri(°>; г) по этим значениям [у" (0), т](0)] находим все значения

деформациям е„ из диаграм­ мы ст = а (е) определяем для каждого сечения по высоте все величины секущих моду­ лей Ес

д) по полученным в пре­ дыдущем этапе данным можно вычислить произведения типа

для каждого участка п по высоте сечения. Здесь АЕп — площадь части поперечного сечения между уровнями уп+1 и уп\

е) вычисляем интегралы, входящие в уравнения (13.4), числен­ ным интегрированием (например, по формуле трапеций) после под­ становки в них выражений (13.6);

ж) вычисляем из системы уравнений (13.4) новое положение

где — заданное число, учитывающее требуемую точность расчета. Таким образом, вычисляется одна точка искомой кривой М =

= М (v“), которая дает значения v[ и гр для конкретного попереч­ ного сечения при конкретном значении изгибающего момента М х.

Далее берется новое значение изгибающего момента М с, и весь процесс повторяется. В результате удается построить кривую М = -- М (v ") в интересующих нас пределах изменения М (см.

рис. 11.25).

82

Учет разгрузки. Деформирование пластического материала при увеличении и уменьшении нагрузки происходит по различным зако­ нам. При разгрузке упруго-пластический материал является упру­ гим до тех пор, пока напряжение не достигнет стт сжатия, после чего вновь начинается пластическое течение.

Заметим, что в статически неопределимых системах разгрузка иногда реализуется и при увеличении внешней нагрузки.

Согласно теореме о разгрузке [21 ] связь между изгибающим моментом и кривизной (рис. 11.25) при разгрузке упруго-пластиче­

где ь"тах (х) — максимальная кривизна в сечении к моменту начала

разгрузки; Л1П1ах (х) — соответствующий максимальный изгибающий момент; М (х) — истинное значение изгибающего момента, до кото­ рого понизился Мшах (х); (EI)упр — жесткость балки в упругом состоянии в г'-м сечении.

С помощью уравнения (13.8) легко учесть эффект разгрузки, при этом итерационный процесс, описанный выше, остается без изменения.

Нахождение остаточного прогиба балки при упруго-пластическом изгибе сводится к решению задачи изгиба при упругом состоянии этой балки.

Блок «стержень». На основании данных блока «сечение», мы получаем значение кривизны v. (М.) на каждом участке разбиения

стержня по длине. По найденным значениям кривизны v"c уточняем моменты инерции сечений /! [см. формулу (13.5)]. Таким образом,

весь стержень имеет ступенчато-переменную жесткость.

Найдем в общем виде матрицу жесткости для такого стержня. Дважды интегрируя основное дифференциальное уравнение из­

I о— момент инерции какого-либо сечения стержня.

При х = а уравнения (13.10) и (13.11) с учетом обозначений (13.12) принимают вид

Положительные направления для узловых перемещений и уси­ лия приведены на рис. II.4.

Разрешая систему уравнений (13.14) и (13.13) относительно вхо­

кости в (13.15) принимает известный вид (10.12) для призматического элемента балки.

Для стержня переменного сечения коэффициенты ai определяются из формул (13.12) методами численного интегрирования.

Пример. С использованием изложенной выше процедуры для системы пере­ крестных балок (рис. 11.26), нагруженной двумя сосредоточенными силами, были найдены узловые усилия и перемещения. Расчетная схема по МКЭ приведена на рис. 11.27.

В качестве материала для балок использовалась обычная углеродистая сталь с пределом текучести стт = 2400 кгс/см2.

84

6)

ььо

Рис. 11.26. Схема перекрытия в виде системы пересекающихся балок (а) и попереч­ ные сечения балок (б); размеры указаны в миллиметрах

85

Расчеты показывают, что при Р1 = Р г — Р а = 14,8 т появляется фибровая текучесть в заделке 8-го стержня, где изгибающий момент достигает значения М в =

= 12,15 тс-м. Максимальный прогиб при этом в направлении 4-го перемещения q.i — 7,53 мм.

Дальнейшее увеличение нагрузки приводит к развитию и распространению пластических деформаций внутри сечений стержня. Характер изменения прогиба и изгибающего момента показан на рис. 11.28.

§ 14

Учет геометрической нелинейности при расчете стержневых систем

1.При учете геометрической нелинейности возможно примене­ ние одного из итерационных методов, изложенных в § 7.

При использовании, например, метода последовательных прибли­ жений расчет включает следующие основные этапы:

а) вычисление перемещений и внутренних усилий от заданной нагрузки в обычной линейной постановке;

б) определение новых жесткостных свойств элементов с учетом изменений, обусловленных большими перемещениями, геометрией конструкции;

в) повторение этапов а) и б) до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

2.Учет геометрической нелинейности приводит к изменению матриц жесткости элементов конструкции по мере роста внешней

нагрузки. Изменения матриц жесткости связаны с изменением гео­ метрической схемы конструкции и вызваны только общими переме­ щениями узловых точек системы. Связь между компонентами дефор­ маций и компонентами перемещений предполагается линейной. Таким образом, учет больших перемещений связан с построением матриц жесткости в новой общей системе координат (х', у'), тогда как матрица жесткости в местной системе координат (х, у) остается без изменений.

Для переноса сил и перемещений из местной системы координат (х,' у) в общую систему координат (х', у’) воспользуемся зависимо­ стями § 4. Для /-го элемента можно записать:

Матрица преобразования координат [7Д в уравнении (14.3) зависит от перемещений элемента {д},-, которые считаются доста­ точно большими.

Расчетную процедуру можно упростить, если воспользоваться

лучения мгновенной матрицы жесткости, которая могла бы связать

86

87

Из полученных выражений видим, что внутренние усилия яв­ ляются нелинейными функциями от компонентов перемещений и и v.

Коэффициенты мгновенной матрицы жесткости определяются на основании формулы (14.7) с помощью зависимостей

Аналогично могут быть получены значения трех оставшихся коэффициентов мгновенной матрицы жесткости.

Окончательные выражения для приращений внутренних усилий запишутся так:

Выражение в скобках в зависимости (14.15) определяет мгновен­ ную матрицу жесткости [/С 1мгн Для стержня, произвольно ориенти­ рованного на плоскости, воспринимающего только осевую силу.

Заметим, что первая часть [ЛГ ]мг„ определяет изменение внутрен­ них усилий в связи с изменением геометрической схемы конструк­ ции, а вторая часть учитывает влияние внутренних силовых фак­ торов на жесткость конструкции.

С помощью зависимости (14.7), последовательно переходя от ну­ левой ступени нагружения (s = 0) к первой (s = 1), от первой ко вто­

88

Перемещение соответствует точке q\, а приближенное — <7!. С уве­ личением нагрузки погрешность постепенно накапливается.

Для увеличения точности результатов целесообразно внутри каждого шага по нагрузке выполнять итерационный процесс по уточ­ нению значений мгновенных жесткостей. При этом значения [К.]мп,

Рис. 11.30. Шаговая проце­ дура по нагрузке при решении геометрически нелинейных задач.

1 — исти н н ая кр и в ая ; 2 — а п ­ прокси м и рую щ ая л о м ан ая л и ­ ния.

для каждого интервала изменения нагрузки (например, для \+ i К) следует определять по среднему значению вектора узловых переме­ щений в этом интервале:

Многие несущие судовые конструкции набираются из тонкостен­ ных элементов открытых и закрытых профилей, в которых в силу конструктивных особенностей и специфических нагрузок, кроме усилий изгиба, сдвига и растяжения возникают также и значитель­ ные депланационные усилия.

Общая теория кручения и изгиба тонкостенных стержней подробно разработана в многочисленных трудах советских ученых. Вместе с тем, задача кручения и изгиба тонкостенных стержней на уровне современных достижений расчета конструкций еще не решена.

Построение общей теории метода конечных элементов позволяет достаточно просто решить эту задачу в общем матричном виде и довести ее до конкретных числовых решений.

Ниже, по аналогии с предыдущим изложением материала, будет получена матрица жесткости для тонкостенного стержня открытого профиля, выписаны необходимые матричные зависимости и приве­ дены числовые примеры [88].

При выводе матрицы жесткости для тонкостенного стержня мы воспользуемся общей теорией вопроса, изложенной в работах [12,

89

14, 91]. Расчетный узел будет иметь четыре степени свободы; ли­ нейное перемещение, угол поворота, угол закручивания и произ­ водную от угла закручивания (депланацию).

Дифференциальное уравнение равновесия для тонкостенного стержня (рис. 11.31) относительно угла закручивания ■&(х) запи­ шется в виде

здесь

где а — длина стержня; /к — момент инерции свободного кручения:

где со — секториальная координата; т (х) — интенсивность крутя­ щего внешнего момента.

Соответствующие силовые факторы (бимомент В и изгибно-кру- тильный момент М) определяются согласно зависимостям

В = — Д/щ'З", |

(15.4)

М = Glfl' — EIafi”. J

90